空间向量运算及夹角
空间向量的坐标运算:
1.向量的直角坐标运算
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)则
(1) a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3); (2) a-b=
(a1-b1,a2-b2,a3-b3);
(3)λa=(λa1,λa2,λa3) (λ∈R); (4) a·b=a1b1+a2b2+a3b3; 2.设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
AB=OB-OA= (x2-x1,y2-y1,z2-z1).
rr
3、设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则
rrrrrrrrrr
aPb⇔a=λb(b≠0); a⊥b⇔a⋅b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0.
1.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),如果a与b为共线向量,则
A.x=1,y=1 B.x=,y=-
2.在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z),下列叙述中正确的个数是
①点P关于x轴对称点的坐标是P1(x,-y,z) ②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2(x,-y,-z) ③点P关于y轴对称点的坐标是P3(x,-y,
1
2
12
C.x=,y=-
1
632
D.x=-,y=
1632
z) ④点P关于原点对称的点的坐标是P4(-x,-y,-z)
A.0
3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k值是
A.1
4.已知点A(1,2,1)、B(-1,3,4)、D(1,1,1),若=2,则| |
B.1 C.2 D.3
B.
1
5
C.
35
D.
75
的值是__________. 空间向量法求角
1、利用空间向量求两异面直线所成的角,直线与平面所成的角的方法及公式为:
(1)异面直线所成角
设分别为异面直线的方向向量,则
(2)线面角设
是直线l的方向向量,n是平面的法向量,
则
2、利用空间向量求二面角的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。 其计算公式为:设
分别为平面
的法向量,则 与
互补或相等,
1.已知空间三点A(1,1,1)、B(-1,0,4)、C(2,-2,3),则与的夹角θ的大小是_________.
2.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成的角为的余弦值
AC1
D.
2
5
A.
3 2
B.
10
C.
35
3.已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的单位法向量_________.
4.如下图,直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,
M、N分别是A1B1、A1A的中点.
(1)求BN的长;
(2)求cos〈BA1,CB1〉的值; (3)求证:A1B⊥C1M.
5.如图,ABCD是边长为a的菱形,且∠BAD
=60°,△PAD为正三角形,且面PAD⊥面ABCD.
(1)求cos〈,〉的值;
(2)若E为AB的中点,F为PD的中点,求||的值; (3)求二面角P—BC—D的大小.
6、 在长方体ABCD中,E、F分别是棱BC,CC1上的点,-1A1B1C1D
CF=AB=2C,EAB:AD:AA1=1:2:4(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦
值;(2)求二面角A1-ED-F的正弦值。
7、如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB//DC,
AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
⑴证明:BE⊥DC;
⑵求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;
⑶若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F-AB-P的余弦值.
8.如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2. (1)求证:EG∥平面ADF; (2)求二面角O﹣EF﹣C的正弦值; (3)设H为线段AF上的点,且AH=HF, 求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.