最后的冲刺3
苏州大学2014届高考考前指导卷(2)
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题..卡相应位置上. ......
1.设全集U=R,集合A= { x | x > 1},则集合∁UA=________. 2.设复数z满足z(4-3i)=1,则z的模为________.
3.右图是某算法流程图,则程序运行后输出的结果是______. 4.抛物线x22y的准线方程为________.
5.将参加夏令营的500名学生编号为001,002,…,500,采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003,这500名学生分住在三个营区,编号从001到200在第一营区,从201到355在第二营区,从356到500在第三营区,则第三个营区被抽中的人数为________.
6. 已知函数yf(x)是奇函数,当x0时,f(x)x2ax(aR),且f(2)6,则a= .
7.一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面,以它们的公共顶点P为顶点,加工成一个如图所示的正四棱锥形容器.当x=6 cm时,该容器的容积为________cm3.
8.已知数列{an}的前n项和Sn=n-7n,且满足16<ak+ak+1<22,则正整数k=________.
2
2xy1,*
9.若x,y满足约束条件xy2,目标函数zkx2y(kN)仅在点(1,1)处取得最小值,则k的值为
yx2,
_______.
10.已知函数f(x)=sin x+cos x的定义域为[a,b],值域为[-12],则b-a的取值范围是________. tanA→→→→2
11.已知△ABC中,3(CA+CB)·AB=4AB .
tanB
y-1≥0,B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1},则A∩B所表示的平面图12.设平面点集A=x,yy-xx
形的面积为________.
13.设曲线yax1ex在点A(x0,y1)处的切线为l1,曲线y
1x
在点B(x0,y2)处的切线为l2.若存xe
在x00,,使得l1l2,则实数a的取值范围是 .
2
3
72n2
对任意nN*恒成立,则所有这样的解x构成14.若关于x的不等式(组)0≤xx2
92n19
2
的集合是 .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、........
证明过程或演算步骤.
C45,D为BC中点,BC2.15.如图,在△ABC中,记锐角ADB.且满足cos2
(1)求cosCAD;
(2)求BC边上高的值.
C
D
16.如图,正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直,EF∥BD,AB2EF.
(1)求证:BF∥平面ACE; (2)求证:BF⊥BD.
7
. 25
A
B
17.如图,某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向东北方OB,现要修筑一条铁路L,L在OA上设一站A,在OB上设一站B,铁路在AB部分为直线段,为了市民出行方便与城市环境问题,现要求市中心O到AB的距离为10 km,设OAB.
(1)试求AB关于角的函数关系式;
(2)问把A、B分别设在公路上离市中心O多远处,才能使AB最短,并求其最短距离.
x2y2
18.已知椭圆C:=1(a>b>0)上任一点P到两个焦点的距离的和为3,P与椭圆长轴两顶点连线
ab2
的斜率之积为-l过椭圆C的右焦点F,交椭圆C于两点A(x1,y1),B(x2,y2).
3
4→→
(1)若OA·OB=O为坐标原点),求|y1-y2|的值;
tan∠AOB
(2)当直线l与两坐标轴都不垂直时,在x轴上是否总存在点Q,使得直线QA,QB的倾斜角互为补角?若存在,求出点Q坐标;若不存在,请说明理由.
19.已知函数f(x)=x3-2x+1,g(x)=ln x.
(1)求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间和极值;
(2)是否存在实常数k和m,使得x>0时,f(x)≥kx+m且g(x)≤kx+m?若存在,分别求出k和m的值;若不存在,说明理由.
20.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2=6,3Sn=(n+1)an+n(n+1).
(1)求a1,a3;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)已知数列{bn}的通项公式是bnan,cn=bn+1-bn,试判断数列{cn}是否是单调数列,并证明对任意的正整数n,都有1<cn≤6-2.
苏州大学2014届高考考前指导卷(2)参考答案
一、填空题
11
3.27 4.y 5.1 6.5 7.48
25
3π23π,3π 11.1,8.8 9.1 10.712 13.[] 14. {1,} 42229
1.{ x | x≤1} 2.二、解答题
2
15.解(1)∵cos22cos1
9
3742
,∴cos,∵(0,),∴cos,sin,
2525255
CAD45,∴cosCADcos
45
. cossin
102
(2)由(1)得,∴sin
CADsin()sincoscossin,
44410CDAD
在ACD
中,由正弦定理得:,
sinCADsinC1CDsinC
5, 则高hADsinADB544. ∴AD
sinCAD516.证明 (1)AC与BD交于O点,连接EO.正方形ABCD2BO=AB,又因为AB=2EF,∴BO=EF,又因为EF∥BD,∴EFBO是平行四边形,∴BF∥EO,又∵BF⊄平面ACE,EO⊂平面ACE,∴BF∥平面ACE.
(2)正方形ABCD中,AC⊥BD,又因为正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直,BD⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面ACE=AC,∴BD⊥平面ACE,∵EO⊂平面ACE,∴BD⊥EO,∵EO∥BF,∴BF⊥BD.
17.解(1)如图,作OM垂直AB,垂足为M,则OM=10,
由题意AOB135,(0,45),
OBA45. 在
AOB中,由正弦定理得
ABOBOB
,即AB.
sin135sin2sin
10
在
MOB中,OB
, 所以
sin(45)
AB
OB10. 2sin2sinsin(45)
10
2sin(sin45coscos45sin)
10
20 . 2
sincossinsin2cos21
因为(0,45),所以当22.5时有AB
的最小值1).
10
此时,OAOB
sin22.5
(2)AB
答:A,B
都设在公路上离市中心处,才能使AB最短,其最短距离是1)km.
yy2y22
18.解 (1)由椭圆的定义知a3,设P(x,y),则
33x-3x+3x-3
x2y244→→→→→→
∴化简得椭圆C的方程是=1.∵OA·OB=∴|OA|·|OB|cos∠AOB=,∴|OA|·|OB
32tan∠AOBtan∠AOB1→→1
|sin∠AOB=4,∴S△AOB=|OA|·|OB|sin∠AOB=2,又S△AOBy1-y2|×1,故|y1-y2|=4.
22
(2)假设存在一点Q(m,0),使得直线QA,QB的倾斜角互为补角,依题意可知直线l斜率存在且不为零,
y=kx-1,22
直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),由xy消去y得(3k2+2)x2-6k2x+3k2-6=0,
3+2=13k2-66k2
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1·x2=.∵直线QA,QB的倾斜角互为补角,∴kQA
3k+23k+2
yy+kQB=0,即+=0,又y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),代入上式可得2x1x2+2m-(m+1)(x1+
x1-mx2-m3k2-66k2
x2)=0,∴2×2m-(m+1)×=0,即2m-6=0,∴m=3,
3k+23k+2
∴存在Q(3,0)使得直线QA,QB的倾斜角互为补角.
3x3-2x-13
19.解 (1)由F(x)=x-2x+1-ln x(x>0),得F′(x)=x>0),令F′(x)=0得x=1,易知F(x) 分
x
别在 (0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,从而F(x)的极小值为F(1)=0.
(2)易知f(x)与g(x)有一个公共点(1,0),而函数g(x)在点(1,0)处的切线方程为y=x-1,下面只需验证fx≥x-1都成立即可.设h(x)=x3-2x+1-(x-1)(x>0),则h′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)(x>0). gx≤x-1
易知h(x) 分别在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以h(x)的最小值为h(1)=0, 所以f(x)≥x-1恒成立.
1-x
设k(x)=ln x-(x-1),则k′(x)=(x>0).易知k(x) 分别在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递
x
减,所以k(x)的最大值为k(1)=0,所以g(x)≤x-1恒成立.
故存在这样的实常数k=1和m=-1,使得x>0时,f(x)≥kx+m且g(x)≤kx+m.
20.解 (1)令n=1得3a1=2a1+2,解得a1=2;令n=3得3(8+a3)=4a2+12,解得a3=12.
(2)由已知3Sn=(n+1)an+n(n+1), ①
3Sn+1=(n+2)an+1+(n+1)(n+2), ② ②-①得3an+1=(n+2)an+1-(n+1)an+2(n+1), 即(n-1)an+1-(n+1)an+2(n+1)=0, ③
所以nan+2-(n+2)an+1+2(n+2)=0, ④ ④-③得nan+2-(2n+1)an+1+(n+1)an+2=0, 即n(an+2-an+1)-(n+1)(an+1-an)+2=0, ⑤ 从而(n+1)(an+3-an+2)-(n+2)(an+2-an+1)+2=0, ⑥
⑥-⑤得(n+1)(an+3-an+2)-2(n+1)(an+2-an+1)+(n+1)(an+1-an)=0, 即(an+3-an+2)-2(an+2-an+1)+(an+1-an)=0,
即(an+3-an+2)-(an+2-an+1)=(an+2-an+1)-(an+1-an), ⑦
所以数列{an+1-an}是等差数列,首项为a2-a1=4,公差为(a3-a2)-(a2-a1)=2,
所以an+1-an=4+2(n-1)=2n+2,即an-an-1=2n,an-1-an-2=2(n-1),…a3-a2=6,a2-a1=4,a1=2,相加得an=2+4+6+…+2(n-1)+2n=n(n+1).
2n+1n+2n
(3)数列{cn}是单调递减数列,证明如下:因为cn=bn+1-bn(n+1)(n+2)-n(n+1)=所以cn+1=
n+2n+3n+1
,要证明cn+1<cn,等价于证明
n+1n+2n
<
n+2
,
(n+1)(n+3)>n+2n(n+2);(n+1)(n+3)n(n+2)>1
>1;
(n+1)(n+3)+n(n+2)
n+3n+12n+3
n+1+
2n+3>(n+1)(n+3)+n(n+2),(n+1)(n+3)=(n+2)-1<n+2n(n+2)=(n+1)-1<n+1,所以2n+3>(n+1)(n+3)+n(n+2),于是cn+1<cn,所以cn≤c162.
n+12n+1
下面证明cn>11 2n+1n+2n2(n+1)>n(n+2) n+1
n+2+nn+2+(n+1)-1=n(n+2).