第四次课 二次函数最值
二次函数的实际应用
—最值问题
知识要点:
例3:(2006十堰市)市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品,如果以30元/千克销售,那么每天可售出400千克.由销售经验知,每天销售量y (千克) 与销售单价x (元) (x ≥30)存在如下图所示的一次函数关系式. ⑴试求出y 与x 的函数关系式;
⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元,当销售单价为何值时,每天可获得最大利润?最大利润是多少?
⑶根据市场调查,该绿色食品每天可获利润不超过4480元,现该超市经理要求每天利润不得低于4180元,请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(直接写出答案) .
强化练习:
1、某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:每涨价1元,每星期少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?
2、某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?
3、某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额?
b 24ac -b 2
) +二次函数的一般式y =ax +bx +c (a ≠0) 化成顶点式y =a (x + 2a 4a
2
1、如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值).
4ac -b 2b
当a >0时,函数有最小值,并且当x =-,y 最小值=;
2a 4a
4ac -b 2b
当a
2a 4a
2、如果自变量的取值范围是x 1≤x ≤x 2,如果顶点在自变量的取值范围x 1≤x ≤x 2内,则当x =-
b
,2a
4ac -b 2
y 最值=,如果顶点不在此范围内,则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性;
4a
2
①如果在此范围内y 随x 的增大而增大,则当x =x 2时,y 最大=ax 2+bx 2+c ,
2当x =x 1时,y 最小=ax 1+bx 1+c ;
2②如果在此范围内y 随x 的增大而减小,则当x =x 1时,y 最大=ax 1+bx 1+c , 2当x =x 2时,y 最小=ax 2+bx 2+c .
一、经济方面最值问题
例1:某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量m (件) 与每件的销售价
x (元) 满足一次函数m =162-3x ,30≤x ≤54.
(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式;
(2) 若商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?
例2: 某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x (元) 与产品的日销售量y (件) 之间的关系如下表: 若日销售量y 是销售价x 的一次函数.
⑴求出日销售量y (件) 与销售价x (元) 的函数关系式;
⑵要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?
1
二、面积最值问题 例4:(2012·哈尔滨)小磊要制作一个三角形的钢架模型,在这个三角形中,长度为x(单位:cm) 的边与这条边上的高之和为40 cm,这个三角形的面积S(单位:cm2) 随x(单位:cm) 的变化而变化.
2、在某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m )的空地上修建一个矩形花园ABCD ,花园 的一边靠墙,另三边用总长为40m 的栅栏围成如图,若设花园的BC 边长为x (m )花园 的面积为y (m2)
(1)求y 与x 之间的函数关系式,并求自变量的x 的范围. (2)当x 取何值时花园的面积最大,最大面(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围) ; 积为多少
(2)当x 是多少时,这个三角形面积S 最大? 最大面积是多少?
3、已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE (如图),其中AF=2,BF=1. 点P ,使矩形PNDM 有最大面积
例5:在矩形ABCD 中,AB=6cm,BC=12cm,点P 从点A 出发,沿AB 边向点B 以 1cm/s的速度移动,同 时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm/s的速度移动,如果P ,Q 两点同时出发,分别到达B ,C 两点后就停 止移动.
(1)设运动开始后第t 秒钟后,五边形APQCD 的面积为S ,写出S 与t 的函数关系式,并指出自变量t 的
取值范围.
三、给定义域求最值
(2)t 为何值时,S 最小?最小值是多少? 例7:函数y =-x 2+4x -2在定义域0≤x ≤3上的最大值是?最小值是?
例6:要建一个长方形养鸡场,鸡场的一边靠墙,如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场,设它的长度为x 米.
例8:如果函数y =(x -1) 2+1定义域t ≤x ≤t +1上,求y 的最小值。 (1)要使鸡场面积最大,鸡场的长度应为多少m ?
(2)如果中间有n(n是大于1的整数) 道篱笆隔墙,要使鸡场面积最大,鸡场的长应为多少米?比较(1)(2)的结 果,你能得到什么结论?
强化练习:
强化练习:
1、已知y =x 2
-2x +3,当t ≤x ≤t +1时,求y 的最大值.
1、(2012山东日照,22,9分) 矩形ABCD 的两边长AB=18cm,AD=4cm,点P 、Q 分别从
A 、B 同时出发,P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2cm 的速度匀速运动,Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1cm 的速度匀速运动.设运动时间为x 秒,△PBQ 的面积为y (cm2). (1)求y 关于x 的函数关系式,并写出x 的 取值范围; (2)求△PBQ 的面积的最大值.
2、已知2x 2
≤3x ,求函数y =x 2
+x +1的最值
2
试在AB 上求一
命中篮圈中心,则他与篮底的距离L 是 三、应用题 姓名:__________ 教师:曹老师 电话:[1**********]
一、选择
1.在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕,•某果品批发公司为指导今年的樱桃销售,对往年的市场销售情况进行
2
1.函数y =x +x +1在定义域-1≤x ≤1上的最小值和最大值分别是 ( ) 第四次课二次函数最值问题家庭作业
(1
)在如图的直角坐标系内,作出各组有序数对(x ,y )所对应的点.连接各点并观察所得的图形,判断y 2.函数y =-x +4x -2在定义域1≤x ≤4上的最小值是 ( ) 与x 之间的函数关系,并求出y 与x 之间的函数关系式;
(2)若樱桃进价为13元/千克,试求销售利润P (元)与销售价x (元/千克)之间的函数关系式,并求出当
(A ) -7 (B ) -4 (C ) -2 (D ) 2 x 取何值时,P 的值最大?
8
3.函数y =2的最值为 ( )
x -4x +5
(A ) 最大值为8,最小值为0 (B ) 不存在最小值,最大值为8
(C )最小值为0, 不存在最大值 (D ) 不存在最小值,也不存在最大值
2.有一种螃蟹,从海上捕获后不放养,最多只能存活两天.如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有
22
4.如果实数x , y 满足x +y =1,那么(1-xy )(1+xy ) 有 ( ) 一定数量的蟹死去.假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收购这种活蟹1000 kg
放养在塘内,此时市场价为每千克30元,据测算,此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是,放养一13
(A)最大值为 1 , 最小值为 (B)无最大值,最小值为 天需支出各种费用为400元,且平均每天还有10 kg蟹死去,假定死蟹均于当天全部销售出,售价都是每千克24
20元. 3
(C )) 最大值为 1, 无最小值 (D)最大值为1,最小值为 (1)设x 天后每千克活蟹的市场价为p 元,写出p 关于x 的函数关系式; 4
(2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售,并记1000 kg蟹的销售总额为Q 元,写出Q 关于x 的函数关系式.
2
5.已知函数y =x -2x +3在定义域0≤x ≤m 上有最大值3,最小值2,则m 的取值范围是 (3) 该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润?
( )
(A) [1, +∞) (B) [0, 2] (C) [1, 2] (D) (-∞, 2]
二、填空
1.若函数y =2--x 2+4x , 0≤x ≤4的取值范围是______________________
32
2.已知函数f (x ) =ax +(2a -1) x -3(a ≠0) 在区间-≤x ≤2上的最大值是1,则实数a 的值为
2
2
2
3.若x ≥0, y ≥0, x +2y =1,那么2x +3y 的最小值为__________________
22
4.设m ∈R , x 1, x 2是方程x -2mx +1-m =0的两个实根,则x 1+x 2的最小值______
2
2
311
(A ) 1 ,3 (B ) ,3 (C )- ,3 (D )-, 3
424
12
x +x -1,当y 有最值,这个值是_________. 2
12
6.小明在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y =-x +3.5的一部分,如右图所示,若
5
5.二次函数y =
3