四边形提高题
1、在△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,M是BC边中点
中点,连接MD和ME
(1)如图24-1所示,若AB=AC,则MD和ME的数量关系是
(2)如图24-2所示,若AB≠AC其他条件不变,则MD和ME具有怎样的数量和位置关系?请给出证明
过程;
(3) 在任意△ABC中,仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,M是BC的中..
点,连接MD和ME,请在图24-3中补全图形,并直接判断△MED的形状.
D
D
E
B
C
2、如图1,在△ABC中, D是AB边的中点,AE⊥BC于点E,BF⊥AC于点F,AE,BF相交于点M,连
接DE,DF. 则DE,DF的数量关系为 .
【拓展】如图2,在△ A B C中 ,C B = C A ,点 D是AB边的 中点 ,点M在 △ A B C的内部 ,且 ∠MBC =∠MAC . 过点M作ME⊥BC于点E,MF⊥AC于点F,连接DE,DF. 求证:DE=DF;
【推广】如图3,若将上面【拓展】中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”,其他条件不变,试探究DE与DF之间的数量关系,并证明你的结论.
B
图1
C
B
图2
C
B
E图3
C
3、(1)如图1所示,在四边形ABCD中,AC=BD,AC与BD相交于点O,E、F分别是AD、BC
的中点,联结EF,分别交AC、BD于点M、N,试判断△OMN的形状,并加以证明; (2)如图2,在四边形ABCD中,若ABCD,E、F分别是AD、BC的中点,联结FE并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M、N,请在图2中画图并观察,图中是否有相等的角,若有,请直接写出结论: ;
A
ME
DB
BF
C
F
图 1 图2 图3
第24题
4.直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形.方法如下(如图10):
①②
D
③C
(图10)
请你用上面图示的方法,解答下列问题:
(1)对任意三角形(图11),设计一种方案,将它分成若干块,•再拼成一个与原三角形面积相等的矩形.
(图11)
(2)对任意四边形(图12),设计一种方案,将它分成若干块,•再拼成一与原四边形面积相等的矩形.
(图12)
5、(1)如图①,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,直线EF过点O,分别交AD,BC于点E,F. 求证:AE=CF.
(2)如图②,将▱ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠,点A落在点A1处,点B落在点B1处,设FB1交CD于点G,A1B1分别交CD,DE于点H,I. 求证:EI=FG.
6、如图,三角形ABC的两条高BD,CE交于点F,点M,N分别是AF,BC的中点,连接ED,MN(1)求证:MN垂直于DE。(2)若∠EBD=∠DCE=45°,判断M,E,N,D为顶点的四边形的形状,并证明你的结论
7、如图1,若将△AOB绕点O逆时针旋转180°得到△COD,则△AOB≌△COD.此时,我们称△AOB与△COD为“8字全等型”.借助“8字全等型”我们可以解决一些图形的分割与拼接问题.例如:图2中,△ABC是锐角三角形且AC>AB,点E为AC中点,F为BC上一点且BF≠FC(F不与B,C重合),沿EF将其剪开,得到的两块图形恰能拼成一个梯形.
请分别按下列要求用直线将图2中的△ABC重新进行分割,画出分割线及拼接后的图形. (1)在图3中将△ABC沿分割线剪开,使得到的两块图形恰能拼成一个平行四边形;
(2)在图4中将△ABC沿分割线剪开,使得到的三块图形恰能拼成一个矩形,且其中的两块为直角三
角形;
(3)在图5中将△ABC沿分割线剪开,使得到的三块图形恰能拼成一个矩形,且其中 的一块为钝角
三角形.
8、、已知:如图①,正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,
过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG. (1)求证:EG=CG;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)
9、四边形ABCD和CEFH都是正方形,连接AE,M是AF中点,连接DM和EM. (1)如图①,当点B、C、H在一条直线上时,线段DM与EM的位置关系是 ,
DM
; EM
(2)如图②,当点B、C、F在一条直线上时,(1)中的结论还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,
说明理由.