材料力学第5章剪切和挤压

第5章 剪切和挤压

5.1 剪切的概念和实例

在工程实际中，为了将构件互相连接起来，通常要用到各种各样的连接。例如图5-1中所示的（a ）为拖车挂钩的销轴连接；（b ）为桥梁结构中常用的钢板之间的铆钉连接；（c ）为传动轴与齿轮之间的键块连接；（d ）为两块钢板间的螺栓连接；（e ）为构件中的搭接焊缝连接。这些起连接作用的销轴，铆钉，键块，螺栓及焊缝等统称为连接件。这些连接件的体积虽然比较小，但对于保证整个结构的牢固和安全却具有重要作用。因此，对这类零件的受力和变形特点必须进行研究、分析和计算。

（a ） （b ）

(c) (d)

图5-1 工程中的连接

现以螺栓连接为例来讨论剪切变形与剪切破坏现象。设两块钢板用螺栓连接，如图5-2（a ）所示。当钢板受到横向外力N 拉伸时，螺栓两侧面便受到由两块钢板传来的两组力P 的作用。这两组力的特点是：与螺栓轴线垂直，大小相等，方向相反，作用线相距极近。在这两组力的作用下，螺栓将在两力间的截面m-m 处发生错动，这种变形形式称为剪切。发生相对错动的截面称为剪切面，它与作用力方向平行。若连接件只有一个剪切面，称为单剪切，若有两个剪切面，称为双剪切。为了进一步说明剪切变形的特点，我们可以在剪切面处取出一矩形簿层来观察，发现在这两组力作用下，原来的矩形将歪斜成平行四边形，如图5-2b 所示。即矩形薄层发生了剪切变形。若沿剪切面m-m 截开，并取出如图5-2c 所示的脱离体，根据静力平衡方程，则在受剪面m-m 上必然存在一个与力P 大小相等、方向相反的内力Q ，此内力称为剪力。若使推力P 逐渐增大，则剪力也会不断增大。当其剪应力达到材料的极限剪应力时，螺栓就会沿受剪面发生剪断破坏。

(a) (b) (c)

图5-2 螺栓连接的剪切破坏

5.2剪切和挤压的实用计算

5.2.1剪切的实用计算

受剪切的连接件一般大多为短粗杆，且剪切变形均发生在某一局部，要从理论上计算它们的工作应力往往非常复杂，有时甚至是不可能的。即使用精确理论进行分析，所得结果也会与实际情况有较大的出入。因此为了简单有效，对于连接件的强度计算，通常使用实用计算法或称假定计算法。所谓实用计算，一般包括两层含意：其一是假定连接件剪切面上的应力分布均等，从而算出截面上的平均剪应力，或称“名义剪应力”。即 τ=

Q A

其中：τ—剪切面上的剪应力（MPa ）； Q —剪切面上的剪力 （N ）；

2

A —剪切面面积 （m ）。

其二是用与受剪构件相同的材料制成试件，在试件与受剪构件受力尽可能相似的条件下进行直接剪切实验，用所得到的破坏荷载按照同样的名义应力公式算出材料的极限应力τb , 将此极限应力除以适当的安全系数即得到材料的许用剪切应力[τ]。这样求出的平均剪应力虽然只是近似地表达出材料的抗剪强度，但因工程实际中的受剪构件的受力情况与试件在实验中的受力情况极为相似，所以其计算结果是完全可以满足工程要求的。由此可得出其剪切强度的条件为

τ =

Q A

≤[τ]

式中的[τ]是材料的许用切应力，它的具体数值可从有关设计规范中查找。实验表明，许用剪应力[τ]与拉伸许用应力[σ]L 之间大约具有以下关系：对于塑性材料， [τ]=（0.6～0.8）[σ]L ；对于脆性材料， [τ]=（0.8～1.0）[σ]L 。

5.2.2挤压实用计算

连接件在受到剪切的同时，往往还伴随着局部受压现象。现仍以螺栓连接为例，当螺栓受到剪切的同时，在螺柱的半个圆柱面与钢板圆孔表面相接触的表面上也因承受压力而发生局部压缩变形。若压力过大，就可能导致螺栓或钢板产生明显的局部塑性变形而被压溃。这种局部接触面受压的现象称为挤压，受压的局部表面称为挤压面。如图5-3所示为钢板孔壁受挤压破坏的情形：孔被挤压成为长圆孔，导致连接松动，使构件丧失工作能力。同理，螺栓本身也有类似问题。因此，对受剪构件除进行剪切强度计算外，还必须要进行挤压强度计算。

图5—3 螺栓连接的挤压破坏

挤压面上承受的总压力称为挤压力。它们的压强称为挤压应力，其方向垂直于挤压面。在通常情况下，挤压应力只局限于接触面的附近区域，其分布情况也是非常复杂的，它与连接件的几何形状及材料的性质有很大关系。为简化计算，工程上亦采用实用计算法，即假设挤压力P jy 是均匀分布在挤压面A jy 上。由此得出挤压面上的名义挤压应力为

σ

jy

=

P jy A jy

其中，σ

jy

—挤压面上的挤压应力（MPa ）；

P jy —挤压面上的挤压力(N) ； A jy —挤压面积（m 2）。

挤压面的计算面积A jy 为实际挤压面的正投影面的面积，其大小应根据接触面的具体情况而定。对于图5-1所表示的键块连接，其接触面是平面，就以接触面的实际面积为挤压计算面积，故A jy =

h 2

⨯L ，即图5-4所示的阴影部分的面积；对于像螺栓、铆钉等一类圆柱

形连接件，实际挤压面为半个圆柱面，挤压面的计算面积为接触面在直径平面上的投影面积，即图5-5所示的阴影部分的面积，故投影平面上的。

A jy =dh , 并假定挤压应力σ

jy

是均匀分布在这个直径

图5-4 平面的挤压面积

图5-5 曲面的挤压面积

为了确定连接件的许用挤压应力，我们也是按照连接件的实际工作情况，通过实验来确定其半圆柱表面被压溃的挤压极限荷载，然后按照名义应力公式算出其在直径正投影面上的平均极限应力，再除以适当的安全系数，就得到连接件材料的许用挤压应力[σ]jy 。由此可建立连接件的挤压强度条件为

σjy =

P jy A jy

≤[σ]j y ×

必须指出的是：如果两个接触构件的材料不同，[σ]jy 应按抗挤压能力较弱者选取。各种常用材料的[σ]jy 可在有关设计规范中查得。根据实验，对于塑性材料，许用挤压应力[σ]jy 与材料许用拉应力[σ]L 有如下关系：

[σ]jy =(1.7～2) [σ]L

由于剪切和挤压同时存在，为保证连接件的强度，材料的剪切强度条件和挤压强度条件必须同时满足。运用强度条件公式，可解决受剪构件的强度校核、截面设计、确定许可载荷三类强度计算问题。

5.2计算实例

5.3.1强度计算问题

例5-1 如图5-6表示齿轮用平键与轴连接在一起。已知轴的直径d =70mm ，键的尺寸为b ⨯h ⨯l =20⨯12⨯100 mm , 传递的力偶矩M =2KN , 键的材料许用切应力[τ]=60MPa , 许用挤压应力[σ]jy =100MPa 。试校核键的强度。

(a) (b) (c)

图5-6

解：1）校核键的剪切强度。将平键沿剪切面m-m 假想地分成两部分，以键的下部分和轴一起为研究对象, 如图5-6（b ）所示 。因为假设在m-m 截面上剪应力均匀分布，故m-m 截面上的剪力Q 为

Q =A ⋅τ=bl ⋅τ 对轴心取矩，由平衡条件∑M Q ⋅故有

τ=

2M bld

=

2⨯20020⨯100⨯70

=28. 6 MPa

d 2=bl τ

d 2=M

=0，得

可见平键满足剪切强度条件。

2）校核键的挤压强度。将键的下半部分取出, 如图5-6 (c）所示，由剪切面上的剪力Q 与挤压面上的挤压力P jy 的平衡条件，可得 Q =P jy 即

bl τ=

h 2

l σ

jy

由此求得

σ

jy

=

2b τh

=

2⨯20⨯28. 6

12

=95. 3 MPa

]jy

=100MPa

故平键也符合挤压强度要求。

例5-2 电瓶车挂钩用插销连接，如图5-7所示。已知挂钩部分的钢板厚度δ=8mm . 。插销的材料为20钢，其许用切应力[τ]=60MPa 许用挤压应力[σ]jy =100MPa ，又知电瓶车的拖力F =15KN 。试选定插销的直径d 。

(a) (b) (c)

图5-7

解：1）先按剪切强度条件进行设计。

⑴求剪切面上的剪力。插销有两个剪切面，按截面法将插销沿剪切面截开，见图5-7（c ）. 以插销的中间段为研究对象，根据静力平衡条件可得每一剪切面上的剪力

Q =

F 2

=7. 5 KN

⑵求插销受剪切面的面积。 A =

14

πd

Q A =

Q

≤[τ] 得插销的直径 4

2

⑶求插销的直径。根据τ=

d ≥

4Q

=

4⨯7. 5⨯103. 14⨯60

πd

2

3

π[τ]

=13 mm

2）再按挤压强度条件进行校核

σ

=P jy A jy

=P jy 2d δ

=

15⨯10

3

-6

jy

2⨯13⨯8⨯10

=72. 1MPa ≤[σ

]jy

=100MPa

故挤压强度也是足够的。查机械设计手册，最后采用d =14mm 的标准圆柱销 。

例5-3 图示为一承受横向拉力N 的铆钉接头。每块钢板的厚度δ=8 mm ，宽度b =160 mm , 用6个铆钉连接，设铆钉直径d =16 mm 。已知钢板及铆钉材料均相同，材料的许用切应力[τ]=140MPa 许用挤压应力[σ求此连接的允许荷载N 的大小。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

图5-8

]jy

=330MPa, 许用拉应力[σ]L =170MPa。试

解：由图看出，在这个连接上，每个铆钉只有一个受剪面，故为单剪。

每个铆钉允许承担的剪力为

Q =

πd 4

2

[τ]=

π⨯16

4

2

⨯140=28. 14 KN

每个铆钉允许承受的挤压力为

P jy =d δ[σ

]jy =16

⨯8⨯330=42. 4 KN

比较以上的计算结果，可知在这个接头中，铆钉的抗剪能力低于其承挤压能力，因此，这个连接的允许荷载应由铆钉的允许剪力Q 来决定。假设6个铆钉的受力情况一样，则连接的允许荷载为

N =6Q =6⨯28. 14=168. 8KN

最后，还应该对钢板是否会被拉断进行校核。取其中一块钢板为脱离体, 绘出其受力图和轴力图分别如图5-7(c)和(d)所示. 。由钢板的轴力图，根据其危险截面计算出钢板所受到的最大正应力为

σ1=

P N 1A 1

=

P

=

168. 8⨯10

3

(b -2d )δ(160-2⨯16)⨯8

=164. 8MPa

]L

=170 MPa

因此，该接头的允许荷载为168.8 KN 。

由本例题看出，在结构设计中，对结构可能出现的破坏形式必须进行全面分析。就本例而言，该结构可能出现的破坏形式有：（1）铆钉可能被剪断；（2）钢板或铆钉可能在互相接触处被压溃；（3）钢板可能沿某一削弱截面被拉断等。对这些可能出现的破坏部位必须分别进行强度计算，以满足接头的安全。否则由于某一方面的疏忽，就可能给结构留下隐患，以致造成严重的事故。

5.3.2剪切破坏问题

在工程中我们还会经常遇到利用剪切破坏而达到某一工作目的的情况。如剪床切料；联轴器中安全销过载剪断等。这些都是利用剪切破坏而达到某一工作目的的实例。对于解决这类问题必须要满足剪切的破坏条件，即：

τ=

Q A ≥τb

其中，τb ——材料的剪切强度极限。

例5-4 如图5-9所示为一冲孔装置，冲头的直径d =25mm ，当冲击力F =236KN 时，欲将剪切强度极限τb =300MPa 的钢板冲出一园孔。试求该钢板的最大厚度δ为多少？ 解：冲孔时，钢板的受剪面为直径d =25 mm ，高度为δ（钢板厚度）的圆柱体侧表面（即圆柱面），所以受剪面积为：

A Q =π⋅d ⋅δ 由公式

Q A

≥τb 就可求得钢板的厚度，因F =Q ，即

F 故有：δ≤F

⋅d δ=

≥τb 236⨯10

3

⋅d τb

π⨯25⨯300

=10. 02 mm

图5-9

小结

本章主要介绍各种联接件（如螺栓、铆钉、销轴、键块等）的假定计算方法（或称简化实用计算法）。

这类构件的受力特点是：作用在构件两侧的外力大小相等，方向相反；外力的合力作用线相距很近。其变形特点是：相邻截面产生平行错动，即发生剪切变形。我们把横截面上的内力叫做剪力，剪力的作用面称为受剪面。在剪力的作用下受剪面发成相互错动的现象，就是所谓剪切破坏。在受剪切的同时，联接件和被联接件之间沿挤压面（或接触面）还可能会发生压溃现象，这就是所谓的挤压破坏。

（1）在进行联接件强度计算时，假设剪应力τ在受剪面上均匀分布，并假设挤压应力在挤压面上均匀分布。在此基础上建立了。

剪切强度条件：τ=

Q A

≤[τ]； 挤压强度条件 σ

jy

=

P JY A JY

≤[σ

]jy

（2）利用剪切强度条件和挤压强度条件可以解决三类问题：强度校核、尺寸计算、允许载荷。而且在进行这三个问题计算时，要同时考虑剪切强度条件和挤压强度条件（在两者都满足的情况下）。

思考与练习

5-1简述工程中连接件受剪切时的受力特点和变形特点；受挤压时的受力特点和变形特点。 5-2剪切面上的剪力和名义剪应力有何区别？如何计算？ 5-3挤压面上的挤压力和挤压应力有何区别？如何计算？

5-4解释单剪切和双剪切、挤压和压缩、实际应力和名义应力的区别。 5-5何谓连接件强度的实用计算法？它有何实用价值？

5-6 如图所示轴的直径d ＝80mm ，键的尺寸b ＝24mm 、h ＝14mm ，键材料的许用剂压应力

[σ]jy =90MPa ，许用切应力[τ]＝40MPa ，轴传递的力矩M ＝3.2kN·m 。求键的长度l 。（答案：l ≥

127mm ）

题5-6

5-7一铸铁带轮，通过平键与轴连接在一起，如图所示。已知带轮传递的力偶矩M ＝350N ·m ，轴的直径d ＝40mm ，根据国家标准选择键的尺寸b =12mm ，h =8mm ，初步确定键长l =35mm 。键的材料许用切应力[τ]=60MPa ，铸铁的许用挤压应力[σ]jy =90MPa 。校核键连接的强度。(答案：τ=41.7MPa ≤60MPa ，σ

jy

=125MPa ＞[σ]jy , 不安全。)

题5-7

5-8 如图所示为安装绞刀用的摇动套筒。已知M =50N ·m ，销钉直径d =6mm ，材料的许用切应力[τ]=80MPa 。校核销钉的剪切强度。（(答案：τ=70.7MPa ≤80MPa ，安全）

题5-8

5-9一拉杆与厚为8mm 的两块盖板用一螺栓相连接，各零件材料均相同，其许用应力皆为[σ] =80 MPa,[τ] =60MPa,[σ]jy =160MPa 。若拉杆的厚度t =15mm ，拉力P =120KN 。试设计螺栓直径d 及拉杆厚度b 。(答案：d ≥50mm; b ≥100mm)

题5-9

5-10 图示凸缘联轴节传递的力矩M =200N.m 。凸缘之间用四个螺栓连接，螺栓内径

d =10mm ，对称地分布在D 0=80mm 的圆周上 。螺栓的许用切应力[τ]=60MPa 。试校

核螺栓的剪切强度。（答案：τ=16MPa ≤60MPa ，安全。）

题5-10

5-11 如图所示两块钢板厚度为10mm 和宽度为60mm 的钢板，用两个直径为17mm 的铆钉搭接在一起，钢板受拉力P =60KN 。已知材料的许用应力[τ]=140MPa ，许用挤压应力

[σ]jy =280MPa 。τ=132.2 MPa, 许用拉应力[σ]=160MPa 。试校核该铆接件的强度。（答案：

σ

jy

=176.5 MPa, σ=139.5 MPa,满足强度要求。）

5-12 在厚度δ=5mm 的钢板上，冲出一个形状如图所示的孔，钢板剪断时的剪切强度极限

τ

b

=320MPa 。求冲床所需的冲剪力F 。（答案：F =822.65KN ）

题5-11 题5-12 5-13 车床的传动光杆装有安全联轴器，当超过一定载荷时，安全销即被剪断。已知安全销的平均直径为5mm ，材料为45钢，其剪切强度极限τb ＝370MPa 。求安全联轴器所能传递的力偶矩M 0（答案：M

= 145N.m 。）

5-14 已知图示拉杆头部的D =32mm ，d =20mm ，h =12mm ，杆的许用剪应力[τ] =100MPa ，许用挤压应力[σ]jy =240MPa 。试校核拉杆头部的剪切强度和挤压强度。（答案：

τ=66.3 MPa≤[τ], σ

jy

=102 MPa≤[σ]jy, 安全。）

5-15 若冲床的最大冲力为400KN ，冲头材料的许用挤压应力[σ]jy =440MPa ，被冲钢板的极限切应力τb =360MPa 。试求在最大冲力作用下所能冲剪的圆孔的最小直径d 和板的最大厚度t 。（答案：d =34mm ，t =10mm 。）

题5-13 题5-14

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