伴随矩阵的性质探讨

第二章 伴随矩阵的性质探讨

前言

伴随矩阵是线性代数中的一个重要的基本概念，但教材中及大学学习中所给出的主要应用是在求方阵的逆矩阵上，而关于伴随矩阵本身的性质及其与原矩阵之间的关联，没有系统的讨论和研究．本文主要通过查找现有资料，整理归纳出伴随矩阵的一系列性质．

主要研究内容：n阶矩阵A的伴随矩阵的行列式与秩；n阶矩阵A的伴随矩阵的可逆性，对称性，正定性，正交性，和同性，特征值，特征向量及其与原矩阵的关联；伴随矩阵之间的运算性质以及各性质在题目中的综合应用．

一．伴随矩阵的定义

a11a21

设Aij是ｎ阶矩阵A

...an1

a12a22...a22

............

a1na2n

 中元素a的代数余子式，称矩阵

ij

...ann

A11A12

*

A

...A1n

A21A22...A2n

.........A3n

An1

An2

 为A的伴随矩阵． ...Ann

相关内容：《高等代数》（王萼芳 石生明版）定义９

在一个ｎ阶行列式Ｄ中任意选定Ｋ行Ｋ列（Ｋ≤ｎ），当Ｋ＜ｎ时，在Ｄ中划去这Ｋ行Ｋ列后余的元素按原来的次序组成的ｎ－ｋ级行列式M'称为Ｋ级子式Ｍ的余子式，其中Ｋ级子式Ｍ为选定的Ｋ行Ｋ列（Ｋ≤ｎ）上的K2个元素按照原来的次序组成的一个Ｋ级行列式．

(ii

（1）如果在M'前面加上符号

1

2

......ik)(j1j2......jk)

后称作Ｍ的代数余子式．

二．伴随矩阵的性质

a11a21A设

...an1

a12a22...a22

............

a1nA11

a2nA* A12

......

annA1n

A21A22...A2n

.........A3n

An1

An2

 ...Ann

2.1 伴随矩阵的基本性质

定理2.1 ｎ阶矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化（即A0），当A可逆时，

A

-1



A

*

A

，其中A*为A的伴随矩阵．

性质１

设A*为A的伴随矩阵，则AA*A*AAE 证明：

由行列式按一行（列）展开的公式

n



k1

aikAjk

0,

A,

ijij

0A......

............

0,

aAkikjA,k1

n

ijij

可得

A

...**

AAAA

......0

...

AE...A

注：A可逆时，A*AA1 证毕．

2.2 伴随矩阵的行列式A*

性质2

AA

*

n1

证明:

(i)若A可逆，则A0，

由性质１得，AA*AE,两边同时取行列式得

AA

*

AEA，

n

n

即AA*A，又A0, 则A*A

n1

（ii）若A不可逆，则A*A0 综上所述，A*A 证毕．

n1

．

2.3伴随矩阵的秩的性质研究

矩阵的秩是矩阵的重要特征

定义：设在矩阵A中有一个不等于0的ｒ阶子式Ｄ，且所有ｒ＋１阶子式（如果存在的话）全等于0，那么Ｄ称为矩阵A的最高阶非零子式，数ｒ称为矩阵A的秩，记做R(r)．

如以下例题：

1



求矩阵A1

21

解：由A1

2

224224

3



4的秩． 8

3



4＝0，A的一个二阶子式8

34

0

故R(A)2．

定理2.3 nn矩阵A的行列式为零的充分必要条件是A的秩小于n.(《高等代数》王萼芳 石生明版)

性质3

若用R(A)表示矩阵A的秩,则有以下结论:

n,



设A是n阶矩阵,则R(A*)1,

0,

R(A)n;R(A)n1; R(A)n1.

证明:① R(A)n时,显然A0， 由性质2知

AA

*

n1

0,故R(A)n.

*

② R(A)n1时,由定理知A0,性质1知AA*AE0, 即AA*0和A*的列向量全都为方程组AX0的解,又R(A)n1, 则其次方程组AX0的解向量组的和为n(n1)1. 知A*的列秩为1,即R(A*)1.

i,j1,2,......n） ③ R(A)n1,A*中任一元素A（都是0, ij

因为A中不存在非零的n1阶子式,故R(A*)0. 证毕．

2.4 伴随矩阵的伴随矩阵的性质

性质4

A

为n阶矩阵,A*为A的伴随矩阵,则有

（A*）*

A

n2

A,

特别情况有:当n2时,（A*）*

A.

证明:()i)

当A可逆时,A0;又由性质1AA*A*AAE知

（A*

）(A*)*

A*

E,所以,

（A*）*

A*

(A*

)

1

(两边同时左乘（A*）1

)

A*(AA1)1 A*(

AA)

An1



AA

An2

A

(ii)

当A不可逆时,A0,(A*)*0.

综上所述,

（A*）*

An2

A.

证毕．

2.5 n阶矩阵的伴随矩阵的可逆性 可逆的定义:n阶矩阵

A

称为可逆的,如果有ABBAE

.(E为单位矩阵)．

伴随矩阵可逆性与原矩阵的可逆性有以下联系： 性质５

n阶矩阵

B

使得

A

可逆的充分必要条件是A*可逆．

证明：必要性．

由性质１知，AA*A*AAE．若A可逆，则A非退化，即A0.

（ 两边同时消去A,得

AA

）AA(

*

*

AA

)E.

由以上的可逆定义可知 A*是可逆的． 充分性．

即证A*可逆，则A可逆，此命题与其逆否命题 ＂若A不可逆，则A*也不可逆＂是等价的．

由矩阵不可逆可知A0,则变为证明若A0,则A*0． 这里我们用反正法．

假设A*0,则A*可逆．由性质１知AA*AE０ （两边同时右乘A*）有AA*(A*)1０

1

得A＝0，所以A*=0，所以A*0与假设的A*0矛盾． 故假设不成立，原命题成立．

综上所述，A可逆的充分必要条件是A*可逆． 证毕．

2.6 n阶矩阵A的伴随矩阵的对称性

a11

a21

对称定义：矩阵A

...an1

a12a22...a22

............

a1na2n

为对称矩阵，如果aa，

ijji

...ann

i,j1,2,......n，且有AA

'

．

性质６．若ｎ阶矩阵A是对阵矩阵，则其伴随矩阵A*也为对称矩阵． 证明如下： 设

A

为对称矩阵，可知

**''

AA,aijaji，且AijAji，可知A(A).即

证得A*为对称矩阵． 证毕．

性质７．设A非退化，若A*为对称矩阵，则A也为对称矩阵．即证AA'． 证明如下：A*对称可知A*(A*)'． A(A1)1(A [(A A'

即A为对称矩阵． 证毕．

2.7 伴随矩阵 A*与原矩阵A的正定性之间的联系

1

*

1'

1

A)

*1

[A

1'

1

(A)]

*'1

[(A

1

A)]

*'1

A)]((A))

1

矩阵正定的定义：实对称矩阵A为正定的，如果二次型X'AX正定．

又有，实二次型fx1,x2,......xn正定，如果对于任意一组不全为零的实数

c

1,

c2,......cn都有fc1,c2,......cn0

．

性质８ 若ｎ阶矩阵A是正定的，则A*也是正定的． 证明：因为A是正定的，所以存在可逆矩阵B，使得 B'ABE, 则(B'AB)*E*E

'***'****'

又（BAB）BA(B)BA(B)E

由正定的定义知A*也是正定矩阵． 证毕．

2.8 伴随矩阵A*的正交性与其原矩阵n阶矩阵A的正交性的关系 矩阵正交的定义：n阶实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'AE． 性质9 若A为正交矩阵，则A*也为正交矩阵．

证明：A为正交矩阵，知A'AE， A*(A*)'A*(A')*(A'A)*E*E 由正交的定义知，A*也为正交矩阵． 证毕．

2.9 伴随矩阵A*的特征值的性质

性质10 设为n阶矩阵A（A可逆）的特征值，则其伴随矩阵A*的特

征值1与的关系为1

A



．

证明：设是A的特征值，是A的属于特征值A的特征向量． 则有A

两边同时左乘A*有A*AA*A* 由性质１AA*AE知上式变为AA* 得A*

A





由A的特征值的性质可知 证毕．

A



即为A*的特征值．

推广： 性质11 若1，2，．．．．．．

值，则其伴随矩阵的特征值为

A

ｎ为ｎ阶矩阵A（A可逆）的特征

12

A

，．．．．．．

A

ｎ

． （i1,2,......n）

（)．

是A的特征向量）

证明：由题意知有Aiii(i1,2,．．．．．．ｎ 两边左乘A*，知A*AiA*ii 即AiiAi ，得

A

*

A

i

iAi

*

即

i

为A*的特征值．

A

A

，．．．．．．

A

即A*的特征值是 证毕．

12ｎ

． （i1,2,......n）

2.10 伴随矩阵的运算性质 性质12 (A')*(A*)'.

a11

a21 证明：设ｎ阶矩阵A...an1

a12a22...a22

............

a1na2n

 则 ...ann

A11A12

*

A

...A1n

A21A22...A2n

.........A3n

An1A11

An2A

 (A*)'21

......

AnnAn1

A12A22...An2

............

A1n

A2n

 ...Ann

a11a12

'A...a1n

a21a22...a2n

............

an1A11

an2A

 (A')*21

......

annAn1

A12A22...An2

............

A1n

A2n

 ...Ann

其Aij(i,j1,2,......n)是A中元素aij的代数余子式，由结果分析知 (A')*(A*)'． 证毕．

性质13 设A为nn1阶方阵，k为任意非零常数,则kA

证明 设Aaij，

ka11

kA

kan1



ka1n



，可知 kann



An1



n1*

A. k

n1

kAnnk

n1

*

k

n1

A

*

.

kA

*

kn1A11

n1

A1n

k

证毕．

性质14 (AB)*B*A* 证明：由性质１知，A*

AA

1

,

知(AB)*AB(AB)1ABB1A1AB*A1B*A* 证毕．

......Am(m2)，则 推广 性质15 ｎ阶矩阵A1,A2，

(A1,A2,......Am)(Am)(Am1)......A2A1,证明过程同性质１３的过程．

*****

证毕．

推广 性质16 (Am)*(A*)m 证明：令A1

A2......AmA，则A

*

*

m

A1A2......Am

****m

(A1A2......Am)(Am)(Am1)......A2A1(A)．

证毕．

性质１7 上（下）三角矩阵的伴随矩阵仍为上（下）三角矩阵.

a11a21

an1

a12a22an2



a1n

a2n

,当ij时，aij0.直接计算得，ann

证明 设Aaijnn

A0,i

ij

j.即



*

A



A1100

A21A220



An1

An2

, Ann

则A*亦为上三角矩阵.

同理可证，若A为下三角矩阵，则A*也为下三角矩阵. 证毕．

性质18 若矩阵A与B合同，且A与B可逆，则A*与B*也合同.

证明 因为A与B合同，所以存在可逆矩阵P使PTAPB.又A与B可逆，则有

P

T

AP



1

P

1

A

1

P

T

1

P

1

A

T

1

P

1T

B

1

,即CA1CTB1.其中CP1.

又PTAPPAB,则PCAA1PCBB1,即QTA*QB*,其中

2

QPC是可逆矩阵.故A*与B*也合同.

证毕．

6

三.伴随矩阵的性质在题目中的综合应用

41 例3.1 设A0

040

1



0 求(A3E)1 5040

13

0050

030

01

0130

010

1

0 2

4

1 解：A3E0

1

1

1

010

200

A3E11

002

2

*

12 又(A3E)0

20

0202

0

02

1020

0



0 2

A3E

1



A3E

A3E

*



1

00

010

0

0E1

例3.2 设三阶实数矩阵A(A非退化)的特征值为11,24,31. 求①2(A1)23A* ②2A*A2的值.

此题目应用知识:A1,f(A),A*与A的特征值的关系． 解:由题目条件先知为A的特征值,则

性质10可知，A*的特征值为

A

1



为A1特征值,f()为f(A)的特征值．



.

①设x为A的特征向量，则知Axx，得

（2A）x2

12

1



2

x

2



2

x，3Ax3

*

A



x

3A



6

x．

则(2(A1)23A*)x(

2

3A



2





)x．

又有A12,31(4)(1)4. 然后将４代入(

2

2

3A

)，得到式子(

2

2

12

)(*)

将1，2，3分别代入(*)得2(A1)2-3A*的特征向量分别是

'

'

25'

110，2

8

，314

②设x为A特征向量，则(2A*)x2

Ax

2A



x，A2

x2

x

所以(2A*A2)x(

2A

2



x)x

A4，可知

2A

2





8



2

，可知(2A*

A2

)的特征值分别为９，１４，－７．故，2A*A2914（-7）-882．

6