函数的极限和函数的连续性
第一部分 高等数学
第一节 函数的极限和函数的连续性
考点梳理
一、函数及其性质
1、 初等函数
幂函数:y =x a (a ∈R )
指数函数y =a x (a >1且a ≠1)
对数函数:y =log a x (a >0且a ≠1)
三角函数:sin x , cos x , tan x , cot x
反三角函数:arcsin x , arcos x , arctan x , arccot x
2、 性质(定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、有界性)
【注】奇偶性、单调性相对考察的可能性打,但一般不会单独出题,常与其他知识点结合起来考察(比如与积分、导数结合)
二、函数极限
1. 数列极限
定义(略)
收敛性质:极限的唯一性、极限的有界性、极限的保号性。
·类比数列极限,函数极限有唯一性、局部有界性、局部保号性。
单侧极限(左极限、右极限)
【注】函数极限为每年的必考内容,常见于客观题中。一般为2~3题。
2. 两个重要极限
(1)lim sin x =1 x →0x
1
x 类似得到:x →0时,x ~ln(x+1)~arcsin x~arctan x~tan x (2)lim(1+x ) =e x →0
类似得到:lim(1+) =e lim(1-) =x →∞x →∞1x x 1
x x 1 e
·此处,需提及无穷大,无穷小的概念,希望读者进行自学。
三、函数的连续性
1. 概念:函数f(x)在x 0处的连续(f(x)在x 0点左连续、f(x)在x 0点右连续) 函数f(x)在开区间(a,b )上的连续
函数f(x)在闭区间[a,b]上的连续
2. 函数的间断点分类
● 跳跃式间断点:函数f(x)在点x 0的左右极限都存在但不相等。
● 函数在点x 0的左右极限都存在且相等,但不等于该点的函数值(或函数值在该
点无定义)
● 振荡间断点:f(x)在点x 0的左右极限至少有一个不存在。
3. 连续函数的和、积、商,初等函数的连续性
● 有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数。
● 有限个再某点连续的函数的积是一个在该点连续的函数。
● 两个在某点连续的函数的商事一个在该点连续的函数(分母在该点不为零) ● 一切基本初等函数在定义域(或定义区间)上是连续的。
4. 闭区间上的连续函数的性质
● (最大、最小定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。
● (有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。
● (零点定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号(即f(a)·f(b)
那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点。
● 介值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在这区间的端点处取不同的函
数值f(a)=A及f(b)=B,那么,对于A 与B 之间的任意一个数C ,在开区间(a,b)
内至少有一点ξ,使得f(b)=C(a
【注】函数的连续性,一般在客观题目中出现,分值不大,一般1~2题。
典型例题分析
【例1】(2010年真题)(工程类)计算极限lim x -sin x = x →0x +sin x
A. 1 B. -1 C. 0 D. 2
sin x =1这一重要极限。如此,我们不难解x →0x
sin x sin x 1-1-lim x -sin x x →0==0。 出该极限为0. 即lim =lim x →0x +sin x x →01+1+lim x →0x x
x -c x ) =e 6, 则常数c=_________。 【例2】(2010年真题)(工程类)设lim(x →∞x +c
1x 1【解析】解决此类题目,我们要灵活运用lim(1-) =。 x →∞x e 【解析】:解决此类题目,我们要深刻掌握lim
2cx x -c x 2c x
2+c c x +c lim() =lim(1-) =lim e x →∞x +c x →∞x →∞x +c -2c 1+c =e -2c =e 6。则c= -3。
1⎧∂⎪x sin , x ≠0【例3】(2009年真题)(工程类)设f (x ) =⎨若f(x)在点x=0处连续,则αx ⎪⎩0, x =0
的取值范围是
A .(-∞,+ ∞) B.[0,+ ∞] C. (0,+ ∞) D.(1,+ ∞)
【解析】函数f(x)为一个分段函数,要使其在点x=0处连续,只需lim x sin x →0∂1=0,不难x
发现x →0时,sin x 为有界的,我们只需满足lim x =0即可。易得,α>0。但α不能等于x →0∂
0,否则lim sin x →01≠0。 x
提高训练
1、 求下列函数的定义域
(1
)y =
(2)y =1 2x -2x
(3)y=lg (3x+1)
(4) y =1+ 1-x 2
2、 判断一下函数的奇偶性
a x +a -x
(1) y = tan x (2) y =a (3) y = 2x
3、 求下列函数的极限
1x 3+4x 2(1) lim(3x -1) (2) lim 3 (3) lim x sin x →3x →0x →0x +x x
sin 3x 15sin 2x (4) lim (5) lim (6) lim(1+) x →0x →∞x →01-cos x x x
⎧1⎪e x , x
讨论f (x ) =⎨0, x =0在x=0点的连续性。
x >05、 证明方程x -3x =1至少有一个根介于1和2之间。
【答案】1、(1)[-1,1] (2)(- ∞,0) ∪(0,2) ∪(2,+∞) (3)(-1/3,+∞)
(4)[-2,-1)∪(-1,1) ∪(1,+∞)
2、(1)奇 (2)非奇非偶 (3)偶
3、(1)8 (2)4 (3)0 (4)2 (5)3 (6)1
4、连续
5、证明:记f (x ) =x -3x -1,f(1)=-30。由零点存在定理知,至少存在一个零点介于1和2之间。即方程x -3x =1在1和2之间至少有一个根。 555