教育部人才培养模式

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改革和开放教育试点

【数学思想方法】

姓名： _______________ عسعلعماف-مسعظ 学号： _______________ عرعمون شذقوظ 入学时间： ____________ عتقاؤ نةضرعك اقشذقوظ

分校： ________________ صةتكةم ةبإش

《数学思想方法》

平时作业（一）

一、 填空题

1古代数学大致可以分为两种不同的类型，一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以 为典范。

2、在数学中，建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得（ ）

3、《几何原本》所开创的（ ）方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进他们的发展。

4、推动数学发展的原因主要有两个：（1）（ ），（2）（ ）数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。

5、变量数学产生的数学基础是（ ），标志是（ ）

6、（ ）是数学教学的两条主线。

7、随机现象的特点是（ ），看你发生某种结果，也困难不发生某种结果。

8、等腰三角形的抽象过程，就是把一个新的特征（ ）加入到三角形概念中去，使三角形概念得到强化。

9、学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段，（ ）、（ ）、（ ）

10、数学的统一性是客观世界统一性额反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为 （ ）的趋势。

二、判断题（只要答是或否）

1、计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。 （ ）

2、抽象得到的新概念与表达原来的对象的概念之间一定有种属关系 （ ）

3、一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明 （ ）

4、九章算术不包括代数、几何内容 （ ）

5、即没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包括数学思想方法的数学知识 （ ）

6、数学模型方法在生物学。经济学、军事学等领域没应用 （ ）

7、在解决数学解时，往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得效果 （ ）

9、对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类 （ ）

8、如果某一类问题存在算法，并且构造出这个算法，就一定能求出该解的精确解。 （ ）

10、数学思想方法教学隶属于教学范畴，只要贯彻通常的数学教学原则，就可实现数学思想方法的教学目标 （ ）

三、简答题

1. 试对《九章算术》思想方法的一个特点算法化内容加以说明？

答：

2、简述计算机在数学方面的三种新用途？

答：

3. 简述数学抽象的特征？

答：

4. 简述化归方法在数学教学中的应用？

答：化归方法在数学教学中的功能至少可以归结为以下三个方面：

5. 什么是归纳法？

答：

6. 什么是猜想？猜想有什么特点？

答：

四、论述题

1. 为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？

答：

2. 简述将化隐为显列为数学思想方法教学的一个原则的理由。

《数学思想方法》

平时作业（二）

一、 填空题

1、数学的统一性是客观世界统一性额反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为 （ ）的趋势。

1、强抽象就是指通过（ ）加入到某一概念中去而形成新概念的抽象过程。

2、菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征（ ）加入到平行四边形概念中去，使平行四边形概念得到了强化。

3、演绎法与（ ）被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。

4、所谓类比是指（ ）常称这种方法为类比法，也称类比推理

5、反例反驳的理论依据是形式逻辑的（ ）

6、猜想具有两个显著特点：（ ）

7、三段论是演绎推理的主要形式，三段论由（ ）三部份组成。

8、化归方法是指（ ）

10、在化归过程中，应遵循的原则是（ ）

二、判断题（只要答是或否）

1、由类比法推得的结论必然正确 （ ）

2、有时特殊情况能与一般情况等价 （ ）

3、完全归纳法实质上属于演绎推理的范畴 （ ）

4、古希腊的柏拉图曾在他的学校门口张榜声明，不懂几何的人不得入内，这是因为他的学校里所学习的课程要用到很多几何知识 （ ）

5、完全归纳法的一般推理形式是：设s=A1 A2 An ,由于A1 A2 An 具有性质P ，因此推断几何s 中的每一个对象都具有性质P （ ）

三、简答题

1. 简述用MM 数学模型解决实际问题的基本步骤

答：用MM 方法解决实际问题的基本步骤为

（

2、简述计算的意义。

答：

3. 简述化归方法的和谐化原则？

答：

4. 什么是算法的有限性特点？试举一个不符合有限性特点的例子。

答：

5. 简述培养数学猜想能力的途径？

答：

6. 简述特殊化方法在数学教学中的应用？

答： 特殊化方法在数学教学中的应用大致有如下几个方面：

6. 什么是类比猜想？并举一个例子说明

答：

四、论述题

1. 简述确定性现象、随机现象的特点，以及确定性数学的局限性？

答：

2、简述计算工具的发展。

答：

《数学思想方法》

平时作业（三）

一、 填空题

1、算法具有下列特点（有限性、确定性、有效性）

2、算法大致可以分为（多项式算法和指数型算法）

3、匀速直线运动的数学模型是（一次函数）

4、所谓数学模型方法是（利用数学模型解决问题的一般数学方法）

5、分类必须遵循的原则是（不重复、无遗漏、标准同一。）

6、所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，（由数思形、见形思数、数形结合考虑问题的）一种思想方法。

7、所谓特殊化是指在研究问题过程中（从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合）的思想方法。

8、面对一个问题，经过认真的观察和思考，通过归纳或类比提出猜想，然后从两个方面入手（演绎证明此猜想为真、或者寻找反例说明此猜想为假），并进一步修正或否定此猜想。

9、化归方法的三个要素是（化归对象、化归目标、化归途径）

10、根据学生掌握数学思想方法的过程由潜意识、明朗化、深刻理解三个阶段，课相应地将数学思想方法教学设计成（多次孕育、初步理解、简单应用）三个阶段。

二、判断题（只要答是或否）

1. 所谓的是化归方法就是把待解决的问题通过某种转化过程归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中，最终获得原问题解的一种手段和方法。 （是）

2. 计算是指根据已知数量通过数学方法求得未知数。 （是）

3. 算法有多项式算法和指数型算法两大类。 （是）

4. 数学模型是把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来，用数学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构。 （是）

5. 对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类。 （是）

6数学思想方法教学隶属数学教学范畴，只要贯彻通常的数学教学原则就可实现数学思想方法教学目标。 （否 ） 7由类比法推得的结论必然正确。 （否 ） 8有时特殊情况能与一般情况等价。 (是 )

9完全归纳法实质上属于演绎推理的范畴。 (是 )

10. 古希腊的柏拉图曾在他的学校门口张榜声明：不懂几何的人不得入内。这是因为他的学校里所学习的课程要用到很多几何知识。 (否 )

三、简答题

1. 简单叙说《几何原本》的体例。

答：《几何原本》注重知识内在逻辑关系，采用演绎体系的体例，即以一些原始概念和不证明的公设和公理为基础，运用逻辑法则，把几何学中所有定理演绎出来。

2. 简单叙说《九章算术》的体例。

答：《九章算术》注重实用，不注意逻辑结构，采用“问题一答案一算法”的体例，即每章首先提出问题，然后给出答案，对有些问题给出解题的方法与计算步骤。

3. 什么是类比猜想？并举一个例子说明

答：人们运用类比法，根据一类事物所具有的某种属性，得出与其类似的事物也具有这种属性的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为类比猜想。例如，分式与分数非常相似，

只不过用字母替代数而已。因此，我们可以猜想，分式与分数在定义、基本性质、约分、通分、四则运算等方面都是对应相似的。事实也确是如此。

4. 什么是归纳猜想？并举一个例子说明。

人们运用归纳法，得出对一类现象的某种一般性认识的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为归纳猜想。例如，人们在量度了很多圆的周长和半径以后，发现它们的比值总是近似地等于3.14，于是提出了圆周率是3.14地猜想。后来数学家从理论上证明了圆周率地数值为 ，果然和3.14很接近。

5. 什么是公理方法和公理体系？提示：简要地说就是从初始概念和公理出发，按照一定的规律定义出其他所有的概念，推导出其他一切命题的一种演绎方法。公里体系由初始命题、公理、逻辑规则、定理等构成。参见教材。

6. 试述公理方法历史发展的各个阶段。提示：公理方法经历了具体的公理体系、抽象的公理体系和形式化的公理体系三个阶段。参见教材。

四、论述题

1. 简单叙说《几何原本》思想方法的特点。

答：（1）封闭的演绎体系因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。（2）抽象化的内容《几何原本》中研究的对象都是抽象的概念和命题，它所探讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系，不讨论这些概念和命题与社会生活之间的关系，也不考察这些数学模型所由之产生的现实原型。因此《几何原本》的内容是抽象的。

（3）公理化的方法《几何原本》的第一篇中开头5个公设和5个公理，是全书其它命题证明的基本前提，接着给出23个定义，然后再逐步引入 和证明定理。定理的引入是有序的，在一个定理的证明中，允许采用的论据只有公设和公理与前面已经证明过的定理。以后各篇除了不再给出公设和公理外也都照此办理。这种处理知识体系与表述方法就是公理化方法。

2. 简单叙说《九章算术》思想方法的特点？

答：（1）开放的归纳体系从《九章算术》的内容可以看出，它是以应用问题解法集成的体例编纂而成的书，因此它是一个与社会实践紧密联系的开放体系。在《九章算术》中通常是先举出一些问题，从中归纳出某一类问题的一般解法；再把各类算法综合起来，得到解决该领域中各种问题的方法；最后，把解决各领域中问题的数学方法全部综合起来，就得到整个《九章算术》。另外该书还按解决问题的不同数学方法进行归纳，从这些方法中提炼出数学模型，最后再以数学模型立章写入《九章算术》。因此，《九章算术》是一个开放的归纳体系。（2）算法化的内容《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。因此，内容的算法化是《九章算术》思想方法上的特点之一。（3）模型化的方法《九章算术》各章都是先从相应的社会实践中选择具有典

型意义的现实原型，并把它们表述成问题，然后通过“术”使其转化为数学模型。当然有的章采取的是由数学模型到原型的过程，即先给出数学模型，然后再举出可以应用的原型。

新疆电大开放本科小学教育专业（双语）

《数学思想方法》

平时作业（四）

一、 填空题

1、根据学生掌握数学思想方法的过程由潜意识、明朗化、深刻理解三个阶段，课相应地将数学思想方法教学设计成（多次孕育、初步理解、简单应用）三个阶段。

2、（数学思想方法）是联系数学知识与数学能力地纽带，是数学科学地灵魂，它对发展学生的数学能力，通过学生的思维品质都具有十分重要的作用。

3、一个概括过程包括（比较、区分、扩张和分析）等几个主要环节。

4、算法的有效性是指（如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解决）

5、数学从研究对象大致可以分成两大类，（数量关系、空间形式）

6. 所谓数学模型方法是利用（数学模型）解决问题的一般数学方法。

7. 数学模型可以分为（概念型数学模型、方法型数学模型、结构型数学模型）三类。

8. 变量数学产生的数学基础是（解析几何），标志是（微积分 ）

9、数学基础知识和数学思想方法是数学教学的两条主线。

10、随机现象的特点是在9一定条件）下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果

、简答题

1. 分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想，并且比较它们的区别。

答：算术解题方法的基本思想：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。代数解题方法的基本思想是，首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。它们区别在于算术解题参与的量必须是已经的量，而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是列算式，而代数方法的关键之处列方程。

2. 叙说变量数学产生的基本过程。

答：第一、解析几何的产生两位法国数学家笛卡尔和费尔马从不同的角度建立了解析几何，费尔马从方程出发研究其轨迹，而笛卡尔从轨迹出发来寻找其方程。但是这却恰好是解析几何基本原理两个方面。

第二、函数概念的形成实践的需要和各门科学本身的发展使自然科学转向对运动的研究，对各种变化过程和各种变化着的量之间的依赖关系的研究，从而引出了函数概念。

第三、微积分的产生为了处理17世纪的四类主要科学问题，牛顿和莱布尼兹分别以物理学和几何为背景用无穷小量方法建立了微积分。

2. 简单叙说科学证明的结果与数学证明的结果的区别。

答：科学证明依赖于观察、实验和理解力，因此经其证明的结果存在着可疑成分，并且常常随着时间的推移，这些结果可能会被拓展或否定。数学证明是以一些基本概念和基本公理为基础，使用合乎逻辑的推理去决定判断是否正确。它依赖于逻辑，是演绎证明，因此经其证明的结果具有绝对性，经得起时间的考验。

3. 简单叙说公理化的意义。

答：(1)它把数学带入了严密阶段。数学的严密性是通过各个分支的公理化来完成的。数学的许多分支都用公理方法建立它们的体系，数学分支只有用公理方法叙述之后，它才被人们完全接受。

(2)它把逻辑的严密赋予了某些自然科学领域。除了数学以外，物理学比其他经验科学有更好的理论严密传统，许多物理理论均是公理体系。

(3)它体现了人类认识的主观能动性。在一定的条件下，人们在实践的基础上能得到超越当时实际的理论，并在这理论的指导下去进一步认识和改造世界。

4. 康托尔集合理论的概括原则是什么？引起数学的第三次危机的根本原因是什么？ 答：概括原则：集合是指满足某一条件p(x)的x 全体，即{x| p(x)}。

根本原因：逻辑上矛盾的概括原则。

5. 简单叙说哥德尔不完备性定理对数学产生的影响。

答：(1)它推翻了数学的所有重要领域能被完全公理化这个强烈的信念。

(2)它摧毁了沿着希尔伯特曾设想的路线证明数学的内部相容性的全部希望。

(3)它对数学基础研究及数理逻辑的现代发展产生了重大的影响。

(4)它导致了重新评价某些普遍认可的数学哲学。

四、论述题

1. 比较决定性现象和随机现象的特点，简单叙说确定数学的局限。

答：人们常常遇到两类截然不同的现象，一类是决定性现象，另一类是随机现象决定性现象的特点是：在一定的条件下，其结果可以唯一确定。因此决定性现象的条件和结果之间存在着必然的联系，所以事先可以预知结果如何。随机现象的特点是：在一定的条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。对于这类现象，由于条件和结果之间不存在必然性联系。在数学学科中，人们常常把研究决定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学。用这些的分支来定量地描述某些决定性现象的运动和变化过程，从而确定结果。但是由于随机现象条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量描述。同时确定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所蕴涵的规律性。这些是确定数学的局限所在。

2. 数学机械化的含义是什么？简单叙说数学机械化的意义。

答：数学问题的机械化就是要求在运算或证明过程中，每前进一步之后，都有确定的、必然选择的下一步，这样沿着一条有规律的、刻板的道路，一直达到结论。数学机械化的意义在于：(1)数学机械化与公理化一样，对于数学的发展具有巨大现在意义。数学机械化使得一些数学分支成为重要的研究方向，甚至成为数学的主流。这是因为，抽象的数学概念和结论，往往难于掌握和运用。当把抽象的概念变成具体可算的过程，将易于接受和适宜应用。运用机械化思想考察数学，将引导数学家重新认识数学对象，建立新的模式，从而发现新的结论。

(2)数学机械化对于数学发展历程的认识具有深渊的历史意义。公理化的思想导源于古希腊，机械化的思想则贯穿于整个中国古代数学。数学机械化思想是我国古代数学的精髓，它与源于西方的公理化思想，对于数学的发展都发挥了巨大作用。