函数f(x)的间断点
07-20
1.定义
设一元实函数f (x )在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一:
(1)在x=x0没有定义;
(2)虽在x=x0有定义,但x →x0 limf(x)不存在;
(3)虽在x=x0有定义,且x →x0 limf(x)存在,但x →x0 limf(x)≠f(x0),
则函数f(x)在点x0为不连续,而点x0称为函数f(x)的间断点。
编辑本段2.类型
几种常见类型。
可去间断点:函数在该点左极限、右极限存在且相等,但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数y=(x^2-1)/(x-1)在点x=1处。(图一)
跳跃间断点:函数在该点左极限、右极限存在,但不相等。如函数y=|x|/x在点x=0处。(图二)
无穷间断点:函数在该点可以有定义,且左极限、右极限至少有一个为∞。如函数y=tanx在点x=π/2处。(图三)
振荡间断点:函数在该点可以有无定义,当自变量趋于该点时,函数值在两个常数间
变动无限多次。如函数y=sin(1/x)在x=0处。(图四)
可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点,也叫有限型间断点。其它间断点称为第二类间断点。
由上述对各种间断点的描述可知,函数f(x)在第一类间断点的左右极限都存在,而函数f(x)在第二类间断点的左右极限至少有一个不存在,这也是第一类间断点和第二类间断点的本质上的区别。