循环群中剩余类加群的讨论

第21卷 第3期 2003年7月

沈阳师范大学学报(自然科学版)

Jour nal of S heny ang N or mal Univer sity (N atur al Science)

Vol 21, No 3Jul. 2003

文章编号:1008-374X(2003) 03-0169-03

循环群中剩余类加群的讨论

李晓毅1, 黄凤琴2

(1 沈阳师范大学数学与系统科学学院, 辽宁沈阳 110034; 2 沈阳自来水总公司, 辽宁沈阳110002) 摘 要:在循环群的研究中, 整数加群和剩余类加群占有重要位置, 文中对剩余类加群从结构、运算规律、性质等方面加以讨论研究, 给出两个重要结论, 从而将循环群中所有有限循环群的研究归结到对剩余类加群的研究上, 并且两类循环群间是同态关系. 关 键 词:剩余类加群; 循环群; 商群; 同构中图分类号:O 152 文献标识码:A

0 引 言

抽象代数是近世代数的一个重要研究领域, 其主要目的是研究群、环、域、格与布尔代数等代数系统的运算规律、性质及其结构. 研究代数系统时, 不是孤立地对一个一个的具体的代数系统分别加以研究, 而是把这些代数系统分成一些不同的类, 研究一类代数系统所具有的共同性质与运算规律. 在群代数的循环群中, 将所有的循环群分为两大类:一类为无限循环群, 一类为有限循环群, 分别加以研究. 在无限循环群中, 以研究整数加群(I , +) 为重点; 在有限循环群, 以研究剩余类加群(Z m , +m ) 为重点. 对整数加群的研究已趋于完善, 并被人们所接受、熟知; 对剩余类加群的研究却远不乐观, 人们接受起来也比较困难. 本文对剩余类加群从结构、运算规律、性质等方面加以研究, 并给出两个重要结论.

1 剩余类加群的构造

设I 为整数集, 关系R ={(x , y ) |x , y I , x -y 被3所整除}, 或写成x =y (mod3) , 由等价关系R 将I 划分成三个等价类, 它们分别是

[0]R ={ , -6, -3, 0, 3, 6, }, [1]R ={ , -5, -2, 1, 4, 7, }, [2]R ={ , -4, -1, 2, 5, 8, },

由这些等价类构成一个集合, 称为I 关于R 的商集或模3的剩余类集合, 记为I /R 或Z 3, 即Z 3={[0]R , [1]R , [2]R }.

类似地, 可以定义模m 的剩余类集合Z m ={[0]R , [1]R , [2]R , , [m -1]R }, 简记为Z m ={[0], [1], [2], , [m -1]}.

收稿日期:2003 03 10

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m )

第21卷

在Z m 上定义一个加法运算 +m 称为剩余类加法, 由于(Z m , +的运算 +m 按等价类保持, 所

以(Z m , +m ) 为一个代数系统; 又由于运算 +m 满足结合律, 所以(Z m , +m ) 为一个半群; 在(Z m , +m ) 中存在一个单位元素[0], 所以(Z m , +m ) 为一个单元半群; 又由于在(Z m , +m ) 中每个元素[i]都存在一个逆元素[m -i], 所以(Z m , +m ) 为一个群, 称为剩余类加群.

2 剩余类加群的运算

对[i], [j ] Z m 定义加法运算 +m :[i]+[j ]=[(i +j ) (mod m ], 为方便将剩余类加群的运算由下列的群表给出:

表1

+

m

剩余类加群的群表

[2][2][3][4][5] [1]

[3][3][4][5][6] [2]

[m -1][m -1][0][1][2] [m -2]

[0][0][1][2][3] [m -1]

[1][1][2][3][4] [0]

[0][1][2][3] [m -1]

3 剩余类加群的性质

(Z m , +m ) 为可换群:对任意对[i], [j ] Z m 在加法运算 +m 中有:[i]+[j ]=[(i +j ) (mod m ) ]=[(j +i) (mod m ) ]=[j ]+[i], 即运算满足交换律, 所以(Z m , +m ) 为可换群.

(Z m , +m ) 为有限循环群:在(Z m , +m ) 中存在一个单元元素[0], 由群中元素方幂的定义知(Z m , +

m )

中任意元素均可表示成元素[1]的幂的形式, 即对任意小于m 的正整数i, 有[i ]=[1]+[1]+

+[1]=([1]) i , 所以元素[1]是(Z m , +m ) 的生成元; 对于[0]有:[0]=([1]) m , 即生成元的周期为m , 所以(Z m , +m ) 为有限循环群.

(Z m , +m ) 为整数加群(I , +) 的商群:在(I , +) 中, 取H ={3 i |i I }, 显然有H I , 在H 上定义通常意义的加法 + , 可知(H , +) 为一个群, 称为(I , +) 的子群, 因为(I , +) 为可换群, 所以(H , +) 为正规子群, H 的所有陪集为:

H 0=0+H ={ , -6, -3, 0, 3, 6, }=[0], H 1=1+H ={ , -5, -2, 1, 4, 7, }=[1], H 2=2+H ={ , -4, -1, 2, 5, 8, }=[2],

如果用*表示陪集间的运算, 则*相当于模3的加法, 即对任意的陪集[i], [j ]有[i]*[j ]=(i +H ) *(j +H ) =(i +j ) +H =[(i +j ) (mod3) ]

H 的所有陪集组成的集合在*运算下构成一个群, 称为(I , +) 对(H , +) 的商群, 记作I /H , 由以上讨H Z 3{[0]R , [1R [2R }3, 因

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此商群I /H , 就是剩余类加群(Z 3, +3). 类似地, 将所讨论的模3换成模m , 所得的商群I /H , 就是剩余类加群(Z m , +m ).

4 关于剩余类加群的两个重要结论

在研究循环群时, 将所有的循环群分为两大类:一类为无限循环群, 其生成元的周期无限一类为有限循环群, 生成元的周期为m , 然后分别按类加以研究. 结论1:无限循环群均同构于整数加群(I , +) , 有限循环群均同构于剩余类加群(Z m , +m ). 至此, 所有循环群的研究都可归结为对这两个我们所熟知的两类数学模型的研究.

由于(Z m , +m ) 为整数加群(I , +) 的商群, 可以证明一个群与它的商群是同态的, 结论2:整数加群(I , +) 同态于剩余类加群(Z m , +m ). 至此, 两类循环群之间的关系是同态的. 参考文献:

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[2] 刘叙华, 虞思蔚, 姜云飞. 离散数学[M ]. 北京:中央广播电视大学出版社, 1993. 153-154.

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[4] 左孝凌, 李为鉴, 刘永才. 离散数学[M ]. 上海:上海科学技术文献出版社, 1982. 188-189. [5] 陈玉成. 有限群中素数方幂阶子群的个数[J].数学杂志, 2003, 23(1) :57-58.

Discussion on residue class additive group in cyclic group

LI Xiao yi 1, HUANG Feng qin 2

(1 College of M athematics and Syste ms Scie nc e , Shenyang Nor mal Univ ersity , S henya ng 110034, China;

2 S he nyang Water S upply G eneral Compa ny , S henyang 110002, China)

Abstract:Additive group of integers and residue class additive group occupy important places in the study of cyclic g roup. This thesis discusses and studies residue class additive group in the respect of structure, opera tional law and property , and it g ives tw o important conclusions. It indicates the study of all the finite cyclic g roups in the cy clic g roups can be included into the study of residue class additve g roups, and the relation be

tw een the two ty pes of cy clic groups is homomorphic.

Key words:additive group of surplus; g roup of cycles; group of quotients; isomorphism