巧用数形结合解决二次函数问题
■河南牛俊平
一、借助二次函数图象,解决二次方程根的分布问题
二次方程的根其实质就是相应二次函数的图象与z轴交点的横坐标,因此,可以借助于二次函数及其图象,利用数形结合的方法来研究二次方程的实根分布问题.
侧,若方程z2+2mx—m+12—0的两个根均大于2,求实数m的取值范围.
解:令,(z)—z2+2rnx—m+12,如图1得充要
,A一4m2—4(一m+12)≥O,
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条件为{厂(2)一2z+4。一。+12>0,解得一娑<。
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l一。>2,
≤一4.
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图1
实数m的取值范围是(一萼,--4].
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侧2若方程z2—2口z+a2—1—0在区间(一2,4)上有两根,求实数a的取值范围.
解:令,(z)一z2—2nz+a2—1,如图2得充要条件r△一(一2a)2—4(铲一1)≥O,
l一2<n<4,
为<f(--2)a2-t-4a+3>0,解得--1<。<3・o厂(4)一矛一8a+15>O,
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图2
2。
实数a的取值范围是(一1,3).
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侧了若方程70r2一(m+13)z+m2一m一2—0在区间(0,1)、(1,2)上各有一个实根,求实数m
的取值范围.
解:令厂(z)一722一(m+13)z+m2一m一2,
m一2>O,r,(O)一m2如图3得充要条件为<厂(1)一优2—2m一8<o,解
of(2)一m2—3m>0,
人生贵在拼搏,没有随随便便的成功。
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图3
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实数m的取值范围是(一2,~1)U(3,4).
点评:若利用求根公式解出方程两根,再通过解不等式限定根的取值范围,则计算变形较烦琐.而借助二次函数的图象和性质来解题,则简洁
明了.
二、借助二次函数图象,求二次函数在给定区间上的最值问题求解二次函数在给定区间上的最值问题,可结合二次函数的图象、性质利用配方法、分类讨论的思想,要注意函数的定义域,考虑对称轴是否在函数所给的定义域之内等情况.
已知函数,(z)一422—4mec4-m2—2m4-
2在区间[o,2]上有最小值3,求实数m的取值范围.
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解:厂(z)一4(32--署)。一2mq-2的图象开121向
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图4
),
上,对称轴为z一罟.
①当百m>2(如图4),即m>4时,最小值为
|,(2).令厂(2)一3,即4.2z一4m.2+mz~2m+2—3,
解得rn一5q-祈眄或m一5一v厂而(舍去).
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②当。≤等≤2(如图5),即。≤m≤4时,最小值为
(舍去).
③当百m<0(如图6),即m<0时,最小值为
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『,(予).令,(孑)=3,1111--2m+2—3,解得。一一丢
,(o).令,(o)一3,即m2—2m+2—3,解得m一1一
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图5
1
厄或m一1+抠(舍去).
由①②③得m一5+/而或m一1一拉.
倒F若f(oc)一z2—2z+2,在z∈Et,£+2]上的最小值为g(£),求g(£)的表达式.
解:,(z)一(z~1)2+1,对称轴方程z一1,如图7所示.
①当£+2<1,即£<一1时,g(t)一,(t4-2)一t2+
2£+2.
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图6
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②当£≤1≤£+2,即一1≤£≤1时,g(£)一,(1)一1.③当£>1时,g(£)一,(£)一t2—2tq-2.
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图7
《中学生数理化》我拥有,高中学习不用愁。
三、借助二次函数图象,解决有关二次函数应用问题倒6
已知厂(z)一nz2+bx(a≠o),a、b是常数,且厂(2)一0,并使方
程,(z)一z有相等实根.(1)求f(x)的解析式.(2)问是否存在实数m、n,
当m<n时,厂(z)的定义域和值域分别是[m,n]和[2m,2hi.
解:(I)由厂(z)一glEE2+6z且f(2)一0,得4a+2b一0,即2n+b一0①.又方程I(EE)一z,即aEE2+(6一I)z一0有等根,得(6—1)2—0②.
由①②联立解得n一一寺,b—i,故厂(z)一一寺z2+z.
(2)Eh厂(z)一一丢z2+z一一l(x一1)2。T1--;7T1,可得2n≤丢,即n
_<~--4I.
厂(z)的对称轴是直线.27—1,由图8可知厂(z)在区间[仇,”]上是增函数.
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图8
.‘.存在实数m一~2、”一0,使I(EE)在[一2,o]上
值域是[一4,o].
点评:以二次方程形式出现的函数问题,利用二次函数特有的性质,可在疑难的困惑中求得简捷的突破.
(责任编辑郭正华)
会耍,会学习,才能立足于社会。
巧用数形结合解决二次函数问题
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):被引用次数:
牛俊平
中学生数理化(高一版)
MATHS PHYSICS & CHEMISTRY FOR MIDDLE SCHOOL STUDENTS(SENIOR HIGH SCHOOL EDITION)2007,""(7)0次
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下载时间:2010年8月5日