高一数学上 幂函数和分段函数
综合专题8 幂函数和分段函数
【知识要点归纳】
一.幂函数 1. 幂函数的定义
2. 请在同一坐标系下画出y=x、y=x 、y=x2、y=x-1、y=x3的图象
12
3. 总结幂函数图像的画法
4. 幂函数的性质
二.分段函数
【经典例题】
例1:下面六个幂函数的图象如图所示,试建立函数与图象之间的对应关系.
(1)y =x ;(2)y =x ;(3)y =x ;(4)y =x ;(5)y =x ;(6)y =x
3
2
13
23
−2
−3
−12
.
(A ) (B ) (C ) (D ) (E ) (F )
例2:下列说法不正确的命题的序号是 .
①幂函数一定是奇函数或偶函数 ②任意两个幂函数图象都有两个以上交点
③如果两个幂函数的图象有三个公共点,那么这两个幂函数相同 ④图象不经过(-1,1)的幂函数一定不是偶函数
例3:已知函数f(x)=(m2-m-1)x -5m-3,m 为何值时,f(x)是幂函数,且是(0,+∞) 上的增函数?
例4:点(2,2)在幂函数f (x )的图象上,点(-2,,f (x )=g(x ),f (x )<g (x )? (x )>g (x )
1
在幂函数g (x )的图象上,问当x 为何值时,有f )4
例6:已知幂函数f(x)=xm (1)求函数f(x); (2)讨论F (x )=af (x )−
b xf (x )
2
−2m −3
(m ∈Z )为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调减函数.
的奇偶性.
|lnx |
例7:函数y =e −|x −1|的图像大致是( )
A
C
D
函数f (x ) =⎨例8:已知实数a ≠0,
⎧2x +a , x
,若f (1−a ) =f (1+a ) ,则a 的值为________
x a x 2, 1−−≥⎩
例9:设函数
⎧21−x , x ≤1
f (x ) =⎨,则满足f (x ) ≤2的x 的取值范围是
1log x , x 1−>2⎩
A .[−1,2] B .[0,2] C .[1,+∞] D .[0,+∞]
⎧1, x ∈Q
则f (f (x ) ) =______;下面三个命题中,所有真 例10:已知函数f (x ) =⎨
0, x C Q ∈R ⎩
命题的序号是 .
① 函数f (x ) 是偶函数;
② 任取一个不为零的有理数T ,f (x +T ) =f (x ) 对x ∈R 恒成立;
③ 存在三个点A (x 1, f (x 1)), B (x 2, f (x 2)), C (x 3, f (x 3)), 使得ΔABC 为等边三角形.
【课堂练习】
1.函数y =x 的图象是 ( )
43
A . B . C . D .
α
2.如图1—9所示,幂函数y =x 在第一象限的图象,
比较0, α1, α2, α3, α4, 1的大小( ) A .α1
3.若(a +1)
4. 若幂函数f(x)的图象经过点(3,) ,则其定义域为
5. 已知幂函数y=xn
2
α1
α4
α2
α3
−
12
−
12
,则a 的取值范围是19
−2n −3
的图象与x 、y 轴都无公共点,且关于y 轴对称,求整数n 的值并画出该函数的草图.
6.
设集合
1⎧
11⎪x +, x ∈A ,
若x 0∈A ,且A =[0,) ,B =[,1],函数f (x ) =⎨2
22⎪⎩2(1−x ), x ∈B .
f [f (x 0)]∈A ,则x 0的取值范围是
7.
已知函数(A )(0,
1] 4
(B )(
11, ] 42
(C )(
11, ) 42
(D )[0,
3] 8
⎧2, x >0
,若f (a ) +f (1)=0,则实数a 的值等于 f (x ) =⎨
⎩x +1,x ≤0
x
A .-3 B.-1 C .1 D .3
8. 已知
⎧x 2x >0
,则f (2)+f (−2)的值为f (x )=⎨
⎩f (x +1), x ≤0
A .6 B.5 C.4 D.2