第12章 最优资产组合

第12章 最优资产组合的选择

组合投资决策的最基本问题是求解资产组合集合和效用函数。在本书第八章和第九章，

我们分析了投资者如何构建和计算资产组合集合的理论和方法。本章我们将论述投资者期望效用函数的求解问题，即在有效资产组合集合已经确定的情况下，投资者如何从中选择最优的资产组合。

一、期望效用的公理基础

（一）、期望效用

众所周知，经济学上的效用是人们从某事物中所得到的主观上的满足程度。投资者效用

则是投资者对各种不同投资方案的一种主观上的偏好指标。可以说，投资者效用是其财富的函数。投资者对每个收益结果所确定的价值U(x)被称为效用函数，它表示每一收益结果给投资者带来的效用大小。所以，效用函数实际是使用数学公式表述投资者对各种收益结果的赋值情况。由于投资者对收益的要求不同，投资者赋予不同收益结果的价值也不同；并且，不同投资者对同一收益结果赋予它的价值也有所不同。所以，各投资者的效用函数是各不相同的。效用函数存在着一些公理基础或称前提条件，并且具有一系列数学性质。人们运用效用的公理基础和数学性质解决组合投资决策问题的基本思想被称为期望效用原理。

（二）、期望效用的公理基础

期望效用原理的前提条件是：

1.投资方案偏好的可比性。任意两种投资方案是可比的。投资者面对全部投资方案的各

种结果时，应能够清楚地表达出对每一方案结果的偏好程度。如果有两种资产A和B供投资者选择，投资者应该能清楚地表达出对资产A更偏好一些，还是更愿意把资金投向资产B，或者对资产A和资产B具有相同的偏好程度。

2.无差异性和偏好关系具有传递性质。如果某投资者愿选择资产A而不愿选择资产B，

愿选择B而不愿选择C，那么该投资者也愿选择A而不选C。

3.投资方案偏好的替代性。假设有两种不同的资产X和Y，其收益分别是Rx和Ry，投资

者对这两种资产的偏好都相同。此时，如果存在第三种资产Z，其收益为Rz。那么，资产Z与资产X和Y可分别构成以下两种资产组合见表10-1所示。

偏好的替代性意味着投资者对组合A和组合B持有同等的满意程度。投资者对其中的每

一个投资方案都感到同等程度的喜欢或者同等程度的不喜欢。例如，如果某一投资者对拥有一辆进口汽车或国产车持无所谓的态度，那么该投资者对花10元钱购买一张有1/500的机会赢得一辆进口车的奖券与花10元钱购买一张有1/500的机会赢得一辆国产车的彩票的两种选择，也应持无所谓的态度。该投资者有可能只喜欢汽车而不喜欢购买奖券，但是一旦投资者做出购买奖券的决定，他将不在意购买何种奖券。

设下列抽奖Q有三种结果：

Q=(P,P25,P310) 11

如果下列关系成立：

5～(13*1,6)=B，符号“～”表示“等价于”。 44

那么，

Q=(P,P25,P310)～［P11,P2(1,111

436),P310］=Q1 4

这样，这条公理断定某投资者在抽奖Q中可用B代替5，并且只要投资者对确定地收取5

和以B代表的风险方案无差异，那么投资者也将无差异于Q和Q1的选择。

4.组合投资存在一个无风险等值收益。对于每一个风险资产组合，都存在一个无风险的

等值收益，简称无风险等值，当风险资产组合的预期收益超过无风险等值的收益时，投资者

将选择风险资产组合；当风险资产组合的预期收益低于无风险等值收益时，投资者将选择无

风险资产或放弃投资；当风险资产组合的预期收益等于无风险等值收益时，投资者并不介意

选择何种资产。

5.若两个风险投资方案涉及相同的两种选择，那么较好的结果或选择是具有较高发生概

率的方案。例如，如果存在

1311Q(5,10),Q1(5,10) 4422

并且假定某投资者宁愿选择10而不选5，那么他也宁愿选择Q而不愿选Q1。因为方案Q中

获得10的概率3/4大于方案Q1中获得10的概率1/2。此假设常被称为单调性公理。

上述5个期望效用公理基础是期望效用原理的5个基本假设。前两个是关于资产收益结

果偏好排序方面的公理，后三个是关于排序合理性的公理。这些公理说明了投资者是按照组

合投资给投资者带来的期望效用的大小进行决策的，而资产组合的期望效用等于资产收益结

果对投资者效用函数的加权平均。所以，期望效用主要取决于资产的收益结果和投资者的效

用函数两个方面。各个投资者都是一样地面临资产组合的收益结果，所不同的只是每一投资

者的效用函数。因此，对于个别投资者而言，在制订组合投资决策的后期阶段效用函数比资

产的收益结果更为重要，效用函数的性质决定着投资者的最后选择。

二、效用函数的数学与经济学分析

（一）、效用函数的性质之一：一阶导数大于零，表明投资者对

待资产收益的态度

根据期望效用的公理基础，投资者对待资产收益的态度往往是喜多厌少的收益极大追求

者。高收益结果比低收益结果对投资者更有吸引力，从而投资者赋予高收益资产比低收益资

产的更高的价值，因而其效用也更大。当收益R的取值为x＋1时，其效用取值U(x1)应

比资产收益为X时的效用取值U(x)大，即U(x1)U(x)，而且，随着R取值的不断增加，

U(R)的取值也应该不断增加。因此，效用函数U(R)应该是一个增函数。根据增函数的特

点，则有：

如果对于自变量x，存在U(x1)U(x)，那么，U'(x)0

这说明，若投资者对待资产收益的态度是喜多厌少，追求极大收益，则效用函数的一阶

导数应该大于0。当然，假如某投资者对收益的态度与此相反，那么其效用函数的一阶导数

就小于0。

（二）、效用函数的性质之二：风险规避者二阶导数小于0，风险

爱好者二阶导数大于0，风险中性者二阶导数等于0，阐述投资者对

待风险的态度问题

设某投资者花费10元钱进行下列投资及其机会选择。见表10-2所示。

表10-2

选择投资方案A的期望收益为：

RA2011010 22

选择投资方案B的期望收益为：

RB1010010

这说明，投资者选择方案A的预期收益是10元，选择方案B的预期收益也是10元。投

资项目的收益期望值等于初始购买价格，换言之，此投资项目的净期望收益为零，期望收益

与投资成本相等。那么，投资者能选择这两个方案吗?从期望收益原理出发，回答是否定的。

若舍弃了期望收益原理而代之以期望效用原理作指导，我们的答案则取决于投资者对待风险

的态度，即取决于投资者“喜欢”或“厌恶”以安全预期换取不确定预期的程度大小。此例

中，选择投资方案A者称为风险爱好者；选择方案B者则称为风险规避者；对方案A和方案

B任选其一皆可，或者两者都可以不选，无所谓，则称此投资者为风险中性者。

1.凹性效用函数(Concave utility function)

效用函数为凹向原点性质的投资者称作风险规避者。风险规避者的边际效用随其财富增

加而下降。这样，每位风险规避者宁愿要完全确定的报酬，而不会选择具有等额期望值的不

确定报酬。即风险规避者绝不参加那种期望奖励等于参赛价格的活动。

凹性效用函数表示投资者希望财富越多越好，但财富的增加给投资者带来的边际效用递

减。见图10-1

图10-1说明，某投资组合A的期末期望财富20元的概率为0.5，效用为23个单位，期

望财富8元的概率为0.5，效用为15个单位，则此投资组合的期末财富期望值为20×0.5＋8

×0.5=14元，效用期望值为：23×0.5＋15×0.5=19；另一组合投资B，可以确定期末得到

14元的财富，B的效用为20。因为U(B)U(A)，投资者将选择B。在期望收益相同情况下，

投资者宁愿选择收益确定性高的投资组合B，这样的投资者就是风险规避者(rishaverter)

如果有第三个投资组合C，它可以为投资者带来效用为19的确定性期末收益F。由图10-1

可知，A与C的效用相同，但C的收益F是确定的，A的期望收益14与C的确定性收益F之

间的差为(14-F)，就是对投资者投资于风险资产A的风险报酬。

图10-1这种凹性效用函数对财富的一阶导数为正，表示财富越多越好；其二阶导数为负，

表示投资者边际效用递减。设X1，X2为任意两个可能的财富值，0＜a＜1，凹性效用函数的

性质为：

U[ax1(1a)x2]aU(x1)(1a)U(x2) （10-1）

图10-1 凹性效用函数

2.凸性效用函数(Convex utility function)

效用函数为凸向原点性质的投资者称作风险爱好者。边际效用随风险喜爱者的财富的

增加而增加。风险爱好者本质上是赌博者，总是愿意参加机会均等的赌博。

设投资组合A在期末得到20元或8元的概率分别均为0.5，效用分别为21

和5，期末财

富的期望值为14元，效用期望值为：21×0.5＋5×0.5=13个单位。另一投资组合B在期末

可确定地得到14元的收益，效用为10单位。由于U(A)U(B)，因此，投资者将选择风险

性投资组合A，而放弃可以得到确定性收益的投资组合B。这种投资者就是风险爱好者(risk

lover)或风险追求者(risk seeker)。

如果有第三个投资组合C可以确定地得到财富F，并且F给予投资者的效用与A相同，

也是13个单位。见图10-2所示。F大于14元，F-14是该投资者选择风险资产组合A而放弃

确定性投资组合B所期望得到的风险报酬。

效用

财富

图10-2 凸性效用函数

凸性效用函数表示投资者喜欢财富越多越好，并且财富增加为投资者带来的边际效用递增。这种效用函数对财富的一阶导数和二阶导数均大于零。其性质是：

U[ax1(1a)x2]aU(x1)(1a)Ux2 (10-2)

3.线性效用函数(Linear utility function)

线性效用函数表示投资者喜欢财富越多越好，但财富增加为投资者带来的边际效用是一个常数。效用函数对财富一阶导数为正，二阶导数等于零，其性质为：

U[ax1(1a)x2aU(x1)(1a)U(x2) (10-3)

见图10-3所示。

图10-3 线性效用函数

图10-3中的A点代表期末期望财富为15元，效用10单位的投资组合，B点代表期末期望财富为21元，效用为14个单位的投资组合。可以看出，两点的边际效用相等，且为一常数。这种类型的投资者称为风险中性者(risk neutral investor)。

上述三种效用函数，都是假设效用是期末财富的函数即U(X)，但使用U(X)进行组合分析时，由于投资数额可能相差很大，所以分析结果常易于使人误解，而收益率R以百分比表示，弥补了资金差异可能带来误解的缺陷。所以，在投资学上，假定效用是收益率的函数，投资分析常对U(R)而不是U(X)进行分析。一般地认为，理性的投资者应是风险规避者。

(三)、效用函数的性质之三：绝对风险敏感度将出现三种状态 随着投资组合收益的变化，投资者的偏好将发生三种情况：

其一，随着投资者收益的增加，如果投资者投向风险资产的资金的绝对数量也随着增加，那么该投资者为绝对风险敏感度下降者。投资者对风险的恐惧心理随其收益的增加而下降。

若令投资者绝对风险敏感度：

A(X)U'''(X) U'(X)

则其效用函数的性质为：A'(X)0

其二，随着投资者收益的增加，如果投资者投向风险资产的资金的绝对数量保持不变，则该投资者绝对风险敏感度不变者。其效用函数的性质为： A'(X)0。

其三，随着投资者收益的增加，投资者投向风险资产的资金的绝对数量不仅没有增加反

凸性效用函数表示投资者喜欢财富越多越好，并且财富增加为投资者带来的边际效用递增。这种效用函数对财富的一阶导数和二阶导数均大于零。其性质是：

U[ax1(1a)x2]aU(x1)(1a)Ux2 (10-2)

3.线性效用函数(Linear utility function)

线性效用函数表示投资者喜欢财富越多越好，但财富增加为投资者带来的边际效用是一个常数。效用函数对财富一阶导数为正，二阶导数等于零，其性质为：

U[ax1(1a)x2aU(x1)(1a)U(x2) (10-3)

见图10-3所示。

图10-3 线性效用函数

图10-3中的A点代表期末期望财富为15元，效用10单位的投资组合，B点代表期末期望财富为21元，效用为14个单位的投资组合。可以看出，两点的边际效用相等，且为一常数。这种类型的投资者称为风险中性者(risk neutral investor)。

上述三种效用函数，都是假设效用是期末财富的函数即U(X)，但使用U(X)进行组合分析时，由于投资数额可能相差很大，所以分析结果常易于使人误解，而收益率R以百分比表示，弥补了资金差异可能带来误解的缺陷。所以，在投资学上，假定效用是收益率的函数，投资分析常对U(R)而不是U(X)进行分析。一般地认为，理性的投资者应是风险规避者。

(三)、效用函数的性质之三：绝对风险敏感度将出现三种状态 随着投资组合收益的变化，投资者的偏好将发生三种情况：

其一，随着投资者收益的增加，如果投资者投向风险资产的资金的绝对数量也随着增加，那么该投资者为绝对风险敏感度下降者。投资者对风险的恐惧心理随其收益的增加而下降。

若令投资者绝对风险敏感度：

A(X)U'''(X) U'(X)

则其效用函数的性质为：A'(X)0

其二，随着投资者收益的增加，如果投资者投向风险资产的资金的绝对数量保持不变，则该投资者绝对风险敏感度不变者。其效用函数的性质为： A'(X)0。

其三，随着投资者收益的增加，投资者投向风险资产的资金的绝对数量不仅没有增加反

而有所减少。该投资者称为绝对风险敏感度上升者。它意味着投资者对风险的恐惧程度随其收益的增加而增加，钱赚得越多心理越害怕。其效用函数的性质为：A'(X)0。

（四）、效用函数的性质之四：相对风险敏感度的三种状况

随着收益的增加，投资者投向风险资产的资金比例也相对变化。通常也有三种情况：

1.随着收入的增加，如果投资者投向风险资产的资金占其总收入的比例同时也随之增大，则称该投资者为相对风险敏感度下降者。令投资者的相对风险敏感度：

R(x)xU'''(x) U'(X)

则投资者效用函数需满足条件：R'(x)0。

2.若投资比例下降，则投资者相对风险敏感度上升，其效用函数必须满足：R'(x)0。

3.若投资比例保持不变，则投资者风险敏感不变，其效用函数必须满足：R'(x)0。 一般地，大部分投资者属于相对风险敏感度下降者，即随着收益的增加，投资者投向风险资产的资金占其收入的比例也将同时增加；有些投资者属于相对风险敏感度不变者；很少有投资者属于相对风险敏感度上升型的。

三、财务环境、财务目标与最优资产组合选择

（一）、资产组合理论的假设、应用及局限性

资产组合现象是人们从事生产活动方式的重大改进。投资活动由单项资产投资扩展到组合资产投资，是人们探索新的财务经济活动实践的创新。随着社会经济、文化、科技的全面发展，这种新的投资实践活动会进一步地发展和普及。资产组合理论将随着投资组合实践活动的创新和发展而得到广泛传播及应用。资产组合理论的科学性和先进性也必然使其发挥指导人们创新的作用。

资产组合理论以微观经济学理论为基础，运用概率论和相关分析方法，对过去一段时间内资产价格变动的数据进行分析，测算参与组合投资的资产收益率和标准离差，找出有效资产组合集合，筛选出最适当的资产组合财务模型。同其他许多经济理论一样，资产组合理论也附有一定的假设条件。①为了构造有效资产组合集合，投资者必须能够对各项资产及其组合的风险和收益进行定量描述。组合收益由构成该组合的各项资产期望收益的加权平均值表示，其权重数为每项资产在整个资产组合中所占比例；组合风险则由其收益的方差和标准离差来衡量。与其期望收益不同，这里的方差或标准差不仅是组合内各项资产方差的加权平均，而且还包含着各项资产之间的相互影响。②组合资产投资者是综合考虑收益和风险，力求效用最大化作为依据来选择最佳组合。③以回避风险、减少风险为前提，追求效用最大化。投资者的效用曲线是投资期望收益和风险的函数。④资产组合理论还假设存在无风险资产，而且投资者可根据需要按相等的利率借入或借出无风险资产。

虽然资产组合理论在财务学中具有重要的地位，其应用也越来越广泛，但这一理论仍有一定的局限性。①现在的资产组合理论将资产组合期望收益值和标准离差作为未来实际收益和风险的代表与真实情况存在一定差距。并且，组合投资决策的选择并非只考虑收益和风险，

还要考虑环境保护、生态平衡、社会经济可持续发展和国家政治与政策。随着知识经济时代的到来，投资收益和风险即资产实绩并不是投资选择的惟一标准。②资产组合集合所含数据多为历史数据，以此为依据预测未来并不是十分准确。③复杂的资产组合项目需耗费较多的人力劳动，即使是利用计算机程序进行分析、测算和规划亦如此。我国有5 000～10 000年的文字记载的光辉灿烂的优秀文化，特别是关于人类社会生存方式与发展的哲学社会科学和生命科学等科学文化非常优秀，遥遥领先世界各国。相对地，自然科学则弱一些，特别是现代高等数学及其新成果的应用不够普及。而资产组合财务模型的数学知识含量较高，这使我国企业使用资产组合理论模型进行组合投资分析存在一定的难度，不具备大学文化科学水平的投资者和管理者尤其感到困难。④一些学者对资产组合理论中的风险及其价值的计算一直存在一些怀疑，而资产组合理论及其专家也一直未给予令人信服地证实。数学上的概率论已很先进了，但经济学上的风险理论却比较落后。我们讨论资产组合理论的局限性，目的在于不断改进和完善资产组合财务模型，提高企业财务管理质量和效率。

（二）、资产组合理论与财务环境

开展资产组合理论的应用，必须要研究组合投资的财务环境。财务环境是财务经济系统之外但与财务系统内财务活动和财务关系有直接、间接联系的各种因素及事物。我们知道，只要谈到财务环境人们便想到：

财务管理的宏观经济环境，包括经济发展周期、财政、金融状况等；

财务管理的中观、微观、行业环境;

财务管理的政治、法律环境；

财务管理的科学技术和教育环境；

财务管理的思想、文化环境；

以及，财务管理的自然地理、自然条件等环境。

公司财务活动如何与环境保持和谐恰当的关系，是公司财务如何以最低的管理成本、最大程度地提高管理效率和质量的问题。这里至少存在四种情况：第一，财务活动简单地适应环境，完全服从于现有环境的制约；第二，主动地利用环境，选择有利环境，避开不利因素的影响；第三是积极开拓环境，不断发现和开拓原有的好环境并充分利用；第四，能动地创造新环境，创造有利条件和形势，为我所用。

历史告诉我们，但凡成事，皆缘于势。得势则事成，失势则事不顺；顺势而行，如顺水行舟；借势而动，如假梯登高；造势而为，如航天技术——九天揽月，最高境界！企业不可一日无势、失势，优势的升级和发展靠的是掌握新的规律规则，适应新的变化。规则是变化着的。赚钱取则，成仁取义。不明规则，寸步难行。研究开发高质量的方案、恰当有效的新规则，满足客户需求，出奇造势、取则行远！有了规则，企业优势就会不断地改版升级，经久不衰，勇往直前！

（三）、资产组合理论与财务目标

微观到企业，资产组合投资行为应符合企业整体财务管理目标。资产组合是企业财务 管理通用战略，但这种管理战略应以企业整体经营战略和财务目标作指导。从而保持企业生 产、经营和财务活动的自然、协调、有序、有效性。资产组合是一种高级的投资方式和经营方式。

经营方式的选择与公司财务活动之间的关联性研究，一直是财务学的薄弱环节。我们知道，企业经营从筹措资金、购置资产到生产和销售产品，是一个经营循环过程。这一过程的运行是以生产条件为基础的。如果以经营对象为基础，则经营方式是从产品经营、资产经营到资本经营，并形成一个不断循环的周期性活动。相应地，财务活动及其目标也具有明显的

周期性。

1.资本经营方式下的财务管理目标

国有企业实行公司制改造之后，国家对国有资产管理变成国有股权管理，对国有资产的经营变成了国有资本经营，但国有资本经营的目标与私营资本有所不同，与生产经营的目标、资产经营的目标也不相同。国有资本的流动不仅以利润为导向，还要考虑社会公益。在现代市场经济中，国家作为出资者调整资产存量，并不是交换资产的物资形态，而是通过股权交易从某个领域退出，把资本转移到预期收益增加的领域或社会效益增加的领域。资本经营的方式是通过资本的流动、组合和交易进行有效运营，其策略是以少控多，其经营对象是具有分割性的资本。相应地，其财务管理目标是企业价值最大化。

2.资产经营方式下的财务管理目标

在市场经济条件下，资产经营的主体是市场竞争主体，是经济利益主体。由于资产和资本的存在形式不同，二者流动的目的及其所采取的形态也不相同，资产流动属于物权交换，资本流动则属于产权交易。那么企业怎样处置所占用的资产，才能达到资产的有效运营，从而实现法人利益？资产经营活动的主要内容是了解企业外部环境和竞争形势，并根据外部环境变化的趋势制定企业目标、战略计划、投资策略，保证所占有资产的有效运营，取得良好的经济效益。所以，资产经营的目的在于变换资产的物质形态，相应地，其财务管理目标是谋求资产的整合效益，最大限度地发挥资产的整体优势，实现利润最大化，即价值创造。

3.产品经营方式下的财务管理目标

产品经营方式人们习惯称之生产经营方式。生产经营的对象是具体的商品和服务，其经营方式是通过生产高质量、大批量、品种多的适销对路产品，扩大市场份额，加速企业发展。相应地，其财务管理目标是销售收入最大化，并且逐渐向利润最大化财务目标转化。现在和过去，我们讨论财务管理目标时总是以生产经营方式为假设。显然，这样存在着很大的局限性。在现代市场经济条件下，资本经营和资产经营都具有广泛的市场和宽广的领域，资本经营方式下的财务目标和资产经营方式下的财务目标将是现代财务管理研究的重要课题。

随着财务管理的实践和理论的不断发展与突变，财务管理目标的机制及其理论也必将得到丰富和发展。要素资本的形成和资本结构理论的改进，以及财务结构理论的建立，价值创造日益成为财务管理的根本任务，价值创造将替代利润最大化而成为财务管理的基本目标。

主要参考文献：

1，陈雨露 赵锡军 《金融投资学》，北京：中国人民大学出版社1996年6月第1版 2，罗福凯 《战略财务管理》，青岛：中国海洋大学出版社2000年

3，郭复初 《经济发展中的财务问题》，成都：西南财经大学出版社2001年

4，[美] 哈里.马克威茨 著,刘军霞 张一驰译 《资产选择——投资的有效分散化》（第2 版），北京：首都经济贸易大学出版社2000年3月

5，[美] 哈姆.勒威 马歇尔.萨纳特 著,陈云贤 朱敢林译 《证券投资组合与选择》，广州：中山大学出版社1997年8月