平面几何动点问题(一)
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一、动态几何
1. (2008河北省,12分)如图,在Rt △ABC 中,
∠C =90 ,AB =50,AC =30,D ,E ,F 分别是AC ,AB ,BC 的中点.点P 从点D 出发沿折线DE -EF -FC -CD 以每秒7个单位长的速度匀速运动;点Q 从点B 出发沿
BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动,过点Q 作射线QK ⊥AB ,交折线
BC -CA 于点G .点P ,Q 同时出发,当点P 绕行一周回到点D 时停止运动,
点Q 也随之停止.设点P ,Q 运动的时间是t 秒(t >0). (1)D ,F 两点间的距离是;
(2)射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分?若能,求出t 的值.若不能,说明理由;
(3)当点P 运动到折线EF -FC 上,且点P 又恰好落在射线QK 上时,求t 的值;
(4)连结PG ,当PG ∥AB 时,请直接..写出t 的值.
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2. (2008江苏省苏州市,8分)如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =DC =5,AD =6,BC =12.动点P 从D 点出发沿DC 以每秒1个单位的速度向终点C 运动,动点Q 从C 点出发沿CB 以每秒2个单位
的速度向B 点运动.两点同时出发,当P 点到达C 点时,Q 点随之停止运动.
(1)梯形ABCD 的面积等于;
(2)当PQ ∥AB 时,P 点离开D 点的时间等于秒;
(3)当P ,Q ,C 三点构成直角三角形时,P 点离开D 点多少时间?
B
C
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向终点C 运动,运动2
3
秒时,动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向
终点O 运动.当其中一点到达终点时,另一点也停止运动.设点P 的运
3. (2007江苏扬州课改,14分)如图,矩形ABCD 中,AD =3厘米,AB =a 动时间为t (秒).
厘米(a >3).动点M ,N 同时从B 点出发,分别沿B →A ,B →C 运动,(1)用含t 的代数式表示OP ,OQ ;
速度是1厘米/秒.过M 作直线垂直于AB ,分别交AN ,CD 于P ,Q .当点
N 到达终点C 时,点M 也随之停止运动.设运动时间为t 秒. (2)当t =1时,如图1,将△OPQ 沿PQ 翻折,点O 恰好落在CB 边上(1)若a =4厘米,t =1秒,则PM =______厘米;
的点D 处,求点D 的坐标;
(2)若a =5厘米,求时间t ,使△PNB ∽△PAD ,并求出它们的相似比;
(3)连结AC ,将△O P Q 沿PQ 翻折,得到△EPQ ,如图2.问:PQ (3)若在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等,与AC 能否平行?PE 与AC 能否垂直?若能,求出相应的t 值;若不能,求a 的取值范围;
说明理由. (4)是否存在这样的矩形:在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN ,梯形
PQDA ,梯形PQCN 的面积都相等?若存在,求a 的值;若不存在,请说明理
由. N
图1
4. (2008浙江省绍兴市,14分)将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中,
O (0,0) ,A (6,0) ,C (0,3) .动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC
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5. (2008浙江省温州市,14分)如图,在Rt △ABC 中,∠A =90 ,AB =6,
A ∥D ,=B 3,C ,=5A =4动点从.D 2M C =B 点4︒A
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- -- _--_-_--_-_----------- -- _--_-_--__线-------------- - -_-_--_-_-__封-_-_----------- -- _--_-_--__密_-_--_-_--_-_--_-_--_-_--_-_--_-_--_-_---------------- -AC =8,D ,E 分别是边AB ,AC 的中点,点P 从点D 出发沿DE 方向运动,
过点P 作PQ ⊥BC 于Q ,过点Q 作QR ∥BA 交AC 于
R ,当点Q 与点C 重合时,点P 停止运动.设BQ =x ,QR =y .
(1)求点D 到BC 的距离DH 的长;
(2)求y 关于x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);
(3)是否存在点P ,使△PQR 为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x 的值;若不存在,请说明理由.
A D E
H Q
C
6.
如
图
,
在
梯
形
A B
中
,
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出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动;动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动.设运动的时间为t 秒. (1)求BC 的长.
(2)当MN ∥AB 时,求t 的值.
(3)试探究:t 为何值时,△MNC 为等腰三角形. A
B
M
7. 如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD =6cm ,CD =4cm ,BC =BD =10cm ,点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动,速度为1cm/s,交BD 于Q ,连接PE .若设运动时间为t (s )(0
(2)设△PEQ 的面积为y (cm 2),求y 与t 之间的函数关系式; (3)是否存在某一时刻t ,使S △PEQ =
2
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S △BCD ?若存在,求出此时t 的值;若不存在,说明理由.
(4)连接PF ,在上述运动过程中,五边形PFCDE 的面积是否发生变化?说明理由.
F
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旋转90 得到线段EG 2.判断直线G 1G 2与直线CD 的位置关系,画出图形 并直接写出你的结论.
8. 如图,在菱形ABCD 中,P 是AB 上的一个动点(不与A ,B 重合),连接DP (2)若AD =6,tan B =
4
3
,AE =1,在①的条件下,设CP 1=x ,交对角线AC 于E ,连接EB . (1)求证:∠APD =∠EBC ;
S △PFC 11=y ,求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围. (2)若∠DAB =60°,试问P 点运动到什么位置时△ADP 的面积等于菱形
ABCD 面积的1
4
?为什么?
D
C E E
B
B
A
P
B
图1
图2(备用)
图
在△ABC 中,点D 是直线BC 上一点(不与B 、C 重合),
9. 在
10. AB =AC ,ABCD 中,过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E ,将线段EC 绕点E 逆时针
以AD 为一边在AD 的右.侧.作△ADE ,使旋转90
得到线段EF (如图1) A D =,A ∠E
D =A ∠,连接
E CE . (1)如图1,当点D 在线段BC 上,如果∠BAC =90°,则∠B C E =度;
(1)在图1中画图探究:
(2)设∠BAC =α,∠BCE =β.
①当P 1为射线CD 上任意一点(P 1不与C 点重合)时,连结EP 1,将线段EP 1绕①如图2,当点D 在线段BC 上移动,则α,β之间有怎样的数量关系?
点E 逆时针旋转90
得到线段EG 1.判断直线FG 1与直线CD 的位置关系,并加请说明理由;
以证明;
②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时,连结EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针
②当点D 在直线BC 上移动,则α,β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论.
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E
E
B
C D
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11. 在边长为6的菱形ABCD 中,动点M 从点A 出发,沿A →B →C 向终点C 运动,连接DM 交AC 于点N .
(1)如图1,当点M 在AB 边上时,连接BN .
①求证:△ABN ≌△ADN ;
②若∠ABC = 60°,AM = 4,∠ABN =α,求点M 到AD 的距离及tan α
的值;
(2)如图2,若∠ABC = 90°,记点M 运动所经过的路程为x (6≤x ≤12). 试问:x 为何值时,△ADN 为等腰三角形. M
B
B
M
A
(图1)
(图2)
12. 如图,在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,∠C =60°,BC =24,点P 是BC 边
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上的动点(点P 与点B 、C 不重合),过动点P 作PD ∥BA 交AC 于
点D .
(1)若△ABC 与△DAP 相似,则∠APD 是多少度?
(2)试问:当PC 等于多少时,△APD 的面积最大?最大面积是多少?
(3)若以线段AC 为直径的圆和以线段BP 为直径的圆相外切,求线段BP 的长.(4分) A
B P
13. 如图(1),已知正方形ABCD 在直线MN 的上方,BC 在直线MN 上,E 是BC 上一点,以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG . (1)连接GD ,求证:△ADG ≌△ABE ;
(2)连接FC ,观察并猜测∠FCN 的度数,并说明理由; (3)如图(2),将图(1)中正方形ABCD 改为矩形ABCD ,AB =a ,BC =b (a 、b 为常数),E 是线段BC 上一动点(不含端点B 、C ),以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ,使顶点G 恰好落在射线CD 上.判断当点E 由B 向C 运动时,∠FCN 的大小是否总保持不变,若∠FCN 的大小不变,请用含a 、b 的代数式表示tan ∠FCN 的值;若∠FCN 的大小发生改变,请举例说明.
A
D
D
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14. 如图,一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行,在A 处测得灯塔C 在北偏西30°方向,轮船航行2小时后到达B 处,在B 处测得灯塔C 在北偏西60°方向.当轮船到达灯塔C 的正东方向的D 处时,求此时轮船与灯塔C 的距离.(结
果保留根号)
北
C D
60
B
A
15. 如图,在直角梯形OABC 中,OA ∥CB ,A 、B 两点的坐标分别为A (15,0),B
(10,12),动点P 、Q 分别从O 、B 两点出发,点P 以每秒2个单位的速度沿OA 向终点A 运动,点Q 以每秒1个单位的速度沿BC 向C 运动,当点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动.线段OB 、PQ 相交于点D ,过点D 作DE ∥OA ,交AB 于点E ,射线QE 交x 轴于点F .设动点P 、Q 运动时间为t (单位:秒). (1)当t 为何值时,四边形P ABQ 是等腰梯形,请写出推理过程;
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(2)当t =2秒时,求梯形OFBC 的面积;
(3)当t 为何值时,△PQF 是等腰三角形?请写出推理过程.
16. 如图,直线l 的解析式为y =-x +4,它与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点.平行于直线l 的直线m 从原点O 出发,沿x 轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动,它与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点,设运动时间为t 秒(0
(2)用含t 的代数式表示△MON 的面积S 1;
(3)以MN 为对角线作矩形OMPN ,记△M P N 和△OAB 重合部分的面积为S 2,①当2
?
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t 的函数关系式;(不必写出t 的取值范围)
(3)在点E 从B 向C 运动的过程中,四边形QBED 能否成
为直角梯形?若能,求t 的值.若不能,请说明理由; 17. 图中是一副三角板,45°的三角板Rt △DEF 的直角顶点D 恰好在30°的三(4)当DE 经过点C 时,请直接..写出t 的值. 角板Rt △ABC 斜边AB 的中点处,∠A =30o
,∠E = 45o
,∠EDF=∠ACB=90 o
,
DE 交AC 于点G ,GM ⊥AB 于M .
19. 如图,有两个动点E ,F 分别从正方形ABCD 的两个顶点B ,C 同时(1)如图①,当DF 经过点C 时,作CN ⊥AB 于N ,求证:AM=DN.
出发,以相同速度分别沿边BC 和CD 移动,问: (2)如图②,当D F ∥AC 时,DF 交BC 于H ,作HN ⊥AB 于N ,(1)的结论仍
(1)在E ,F 移动过程中,AE 与BF 的位置和大小有何关系?并给予然成立,请你说明理由.
证明.
(2)若AE 和BF 相交点O ,图中有多少对相似三角形?请把它们写出
F
E D F C E
B B ① A B ② 20. 如图1,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,E 是AB 的中点,过点
E 作EF ∥BC 交CD 于点F .AB =4,BC =6,∠B =60︒.
(1)求点E 到BC 的距离;
18. 如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC = 3,AB = 5.点P 从点C 出发沿(2)点P 为线段EF 上的一个动点,过P 作PM ⊥EF 交BC 于点M ,CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动,到达点A 后立刻以原来的速度沿过M 作MN ∥AB 交折线ADC 于点N ,连结PN ,设EP =x .
AC 返回;点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动.伴①当点N 在线段AD 上时(如图2),△P
M N 的形状是否发生改变?若随着P 、Q 的运动,DE 保持垂直平分PQ ,且交PQ 于点D ,交折线QB -BC -CP 不变,求出△PMN 的周长;若改变,请说明理由;
于点E .点P 、Q 同时出发,当点Q 到达点B 时停止运动,点P 3),是否存在点P ,使△PMN 为等腰点P 、Q 运动的时间是t 秒(t >0).
x 的值;若不存在,请说明理由.
(1)当t = 2时,AP =,点Q 到AC 的距离是; (2)在点P 从C 向A 运动的过程中,求△APQ 的面积S 与
A N D
A F 班级姓名考场号考号
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21.
如图,在矩形ABCD 中,BC =20cm,P ,Q ,M ,N 分别从A ,B ,C ,D 出发沿AD ,BC ,CB ,DA 方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止.已知在相同时间内,若BQ =x cm (x 0),则AP =2x cm ,CM =3x cm ,DN =x 2cm .
(1)当x 为何值时,以PQ ,MN 为两边,以矩形的边(AD 或BC )的一部分为第三边构成一个三角形;
(2)当x 为何值时,以P ,Q ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形; (3)以P ,Q ,M ,N 为顶点的四边形能否为等腰梯形? 如果能,求x 的值;如果不能,请说明理由.
A P D
B
Q
M
C
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