矩阵行列式和代数多项式根的计算问题
电子科技大学
硕士学位论文
矩阵行列式和代数多项式根的计算问题
姓名：刘伟
申请学位级别：硕士
专业：计算数学
指导教师：蒋泽云
20080501
摘要
摘要
矩阵行列式和代数多项式根的计算问题，实际上是复杂而又很经典的数学问题之一，很早人们就对其进行了研究。因此，对其进行研究具有很高的理论和应用价值。本文结合最近出现的一些相关结论，对此类问题，在进行深入研究的基础之上，给出了几种简单估计。所得结果推广或改进了一些经典结果。
本文的研究主要分为两大部分：
１．主对角占优矩阵类的行列式估计问题：主要证明了当满足一定条件的时候，通过研究逆元素的估计，获得了一些有趣的主对角占优矩阵类行列式的上下界的几个简单估计，如：
（１）对一般对角占优矩阵，我们获得了如下几个结果：
定理２．１如果Ａ＝‰】ｅＤ，那么对任意指标ｋ∈Ｎ，有
］ｄｅｔＡＩ习ａｋｋ兀（］ａｊｊｉ－ｃ，Ｔｊ）兀（１％一哆‘），
其中哆＝ｍ叫ａｘ｛ｖ，。｝，哆＝龄｛％）和％＝鱼篙≠，Ｊ∈Ⅳ．
ｒｊ＝ｏ（．ｊｆ＝ｌ，…，ｋ—１）和０＝ｏ（ｊｆ＝七＋１，…，嚣）。
ＩｄｅｔＡＩ－ｑａｋｋ
．．，并且等号成立当且仅当定理２．２如果Ａ＝【％】∈Ｄ，那么对任意指标ｋｅＮ，有ＩＬＩ（１ａ∥ｌ＋ｇ芬）兀（Ｉａ／／Ｉ＋哆‘），歹２Ｉ歹＝七＋１
其中Ｄ，，访，同定理２．１（ａ）。并且等号成立当且仅当ｒｊ＝０（歹＝ｌ，．．．，七一１）和‘＝０（歹＝ｋ＋ｌ，．．卅）。
定理２．３如果Ａ＝‰】∈Ｄ，那么Ａ～＝嗡】，并且对任意后∈Ｍ有
Ｉ口舫Ｉ兀（Ｉ％Ｉ－∑Ｉ％ｆ％）ｎ（Ｉ口ｆｆｌ＿∑Ｉ乃１ｗ，ｊ）－－－ＩｄｅｔＡ］＜
ｌａ胜ｌ兀（Ｊ口ｌｆＩ＋∑Ｉａ，ｊ１％）兀（１％ｌ＋∑Ｉａ，ｊ
其中％和嘞（ｉ，ｊｅｆ％），Ｎ）同定理２．１（ａ）．并且上式等号成立当且仅当ｉ＜ｋ，ａｌｌ＝ｏ（／＞Ｄ和，ｌ≥ｆ＞｜ｉ｝，口ｆｆ＝ｏＵ＜Ｏ．
摘要
（２）对双对角占优矩阵，获得了如Ｆ结论：
定理２．４如果Ａ＝［ａｖ］ｅＤＤ，且Ⅳｏ＝ＵＩｌａ口Ｉ＜Ｒｊ（Ａ），ｊｅＮ｝≠ｏ，那么
（Ｉ％Ｉ－ＹＪａ材Ｉ乃）…如［－＜ｌｄｃｔＡＩ－＜（１ａ欣Ｉ＋∑ＩａｌＦＩｐｊ）ＩｄｅｔＡ灶Ｉ，ｋｅＮｏ．
２．关于经典代数多项式的根模估计问题，获得了一系列有趣的结果，推广或改进了一些经典的相关结论。如：
定理３．１对多项式（３．２），其任意实根兄将满足：…鲕ａｘ｛・，Ｆ啊，Ｆ硒’，
ｌＡ其中口＝ｍｉｎ｛ｏ，一ａｊＩ２≤／≤刀｝，ｂ＝ｍｉｎ｛０，ｑ２≤ｊｆ≤刀｝。定理３．３对多项式（３．２），以及任意１≤Ｓ≤ｎ，ｏ－＞０，其任意根旯将满足：（１）Ｉ＜ｍａｘ｛Ｐｌ，Ｐ２），
其中届＝黔…小…竹，ｐｚ＜－－…ｍ—ａｘ．ｎ掣，掣｝．
（２）
Ｉ兄阵ｍａｘ｛・，三［ＩｑＩ＋√ｉＩ面］，去［Ｉｑ¨ｌ＋√：二面］｝．关键词：行列式，主对角占优矩阵类，代数多项式，根Ⅱ
ＡＢＳＴＲＡＣＴ
Ｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｓ・－－－－——ｔｈｅｄｅｔｅｒｍｅｎｔｏｆ
ｏｎｅａｍａｒｘａｎｄｔｈｅｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｉｎｏｎｅｉｎｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｅｅｖａｌｕａｔｉｏｎ・——・——ａｒｅｉｎｆａｃｔｏｆｃｏｍｐｌｅｘａｎｄｃｌａｓｓｉｃａｌ
ｏｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌａｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｍａｎｙｆａｍｏｕｓｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎｓｄｏｌｏｔｓｏｆｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎｔｈｅｍｓｉｎｃｅｌｏｎｇ
ｌｏｎｇａｇｏ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｉｔｉｓｖｅｒｙｉｍｐｏｒｔａｎｔａｎｄｕｓｅｆｕｌｔｏｅｓｔｉｍａｔｅ
ｏｎｔｈｅｍ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｇｉｖｅｌｏｔｓｏｆｅｖａｌｕａｔｉｏｎｓｆｏｒｔｈｅｓｅ
ｒｅｓｕｌｔｓｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｐｒｏｂｌｅｍｓ，ｂａｓｉｎｇｏｎｅｓ．ｓｏｍｅｎｅｗｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎｓ．Ｏｕｒａｎｄｍｏｄｉｆｙｓｏｍｅｃｌａｓｓｉｃａｌ
Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｍａｉｎｌｙｉｎｃｌｕｄｅｓｔｗｏｐａｒｔｓ：
１．Ｂｏｕｎｄｓｆｏｒｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｓｗｉｔｌｌ
ｎｅｗｕｐｐｅｒｄｏｍｉｎａｎｔｐｒｉｎｃｉｐａｌｄｉａｇｏｎａｌ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｒｔ，ｓｏｍｅａｎｄｌｏｗｅｒｂｏｕｎｄｓ
ａｒｅｆｏｒｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｓｗｉⅡｌｄｏｍｉｎａｎｔｐｒｉｎｃｉｐａｌｄｉａｇｏｎａｌａｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｔｈｅｓｅｂｏｕｎｄｓｓｏｍｅ
ｆｉｒｓｔｌｙｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔｓｏｆｓｏｍｅｇｉｖｅｔｈａｔ
ａｌｌｓｉｍｉｌａｒｂｏｕｎｄｓ．Ｆｏｒｅｘａｍｐｌｅ：（１）ＩｎＣｈａｐｔｅｒｔｗｏ，ｗｅＴｈｅｏｒｅｍ２．１．ＩｆＡ＝略］ｅＤ，ｔｈｅｎ，ｆｏｒ
ｋ－Ｉａｒｂｉｔｒａｒｙｉｎｄｅｘｋ∈Ｎ，Ｗｅｈａｖｅ
－ＤＴＪ）兀（１ａ口一哆‘），ｄｅｔＡｌ４ａ船兀（Ｉ％Ｉ
ｊ＝ｌｊ＝ｋ＋１
ｗｈｅｒｅ１１１ｅ唧１ａｌｉ够Ｄ，：ｘ｛ｖＡ，仍ｆ：燃｛ｗⅣ）册ＪｗⅣ：冬生牟，＿，∈Ⅳ．１１ｌｅ唧ｌａｌｉ够ｈｏｌｄｓｇ２。，哆２龄｛～）册Ｊ坳２２盖ｆ’，∈Ｍｉｆ髓ｄｏｎｌｙｉｆｒｊ＝ｏ（／＝ｌ，…，Ｊ｜｝一１）ａｎｄ‘＝ｏ（＿，＝七＋ｌ，…，以）．
Ｔｈｅｏｒｅｍ２．２．ＩｆＡ＝【ａＦ】∈Ｄ，ｔｈｅｎ，ｆｏｒ
ｋ－Ｉａｌｌａｒｂｉｔｒａｒｙｉｎｄｅｘｋ∈Ⅳ，＾
ｄｅｔＡｌ４ａａＩＨ（１ａ∥Ｉ＋ｔ５ｆｊ）兀（１％Ｉ＋谚／Ａ，
Ｔｈｅｏｒｅｍ２．１．Ｔｈｅｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｈｏｌｄｉｆａｎｄｏｎｌｙｉｆｗｈｅｒｅ巧ａｎｄ髟（，∈Ｎ）ａｒｅｔｈｅｓａｍｅ船ｔｈｏｓｅｉｎ
吩＝ｏ（，＝ｌ，…，Ｊ｜｝一１）ａｎｄ‘＝ｏ（／＝七＋１，…，咒）・
Ｔｈｅｏｒｅｍ２．３．Ｉｆ
ｋ－ＩＡ一［吩］ｅＤ，ｔｈｅｎＡ一＝［ｂｏ．］ｅｘｉｓｔｓ，ａｎｄ，ｆｏｒａｎａｒｂｉｔｒａｒｙｉｎｄｅｘｋ∈Ⅳ，“
口肚皿（１ａ。Ｉ－Ｙ，ｌａｕＩ％）Ｉ－Ｉ（１ａｕＩ－∑｝嘞Ｉ嘞）ｓｌｄｃｔＡＩ＜＿
ｌ＝ｌｊ＞ｉｉ＝ｋ＋ｌｋｓｊ＜ｉ
ｋ－１月
口船Ｉ兀（１口ｆｊＩ＋∑ｌ％Ｉ％）兀（Ｉ魄ｌ＋∑ｌａＦ
ｉ＝ｌＩ嘞），ｊ＞ｉｉ＝ｋ＋ｌＩｓ，《ｆＩＩＩ
ｗｈｅｒｅ％ａｎｄ～（ｉ，ｊａ忉ａｓｉｎＴｈｅｏｒｅｍ２．１．Ｔｈｅｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｈｏｌｄｉｆａｎｄｏｎｌｙｗｈｅｎｉ＜ｋ，ａ／ｊ＝０（ｐｆ）ａｎｄｗｈｅｎｎ≥ｉ＞ｋ，嘞２０（歹＜ｆ）．
ａｌｓｏｓｈｏｗｔｈａｔ（２）Ｆｏｒｄｏｕｂｌｙ（ｒｏｗ）ｄｉａｇｏｎａｌｌｙｄｏｍｉｎａｎｔ，ｗｅ
Ｔｈｅｏｒｅｍ２．４．Ｉｆ
（ＩａａＡ＝【嘞】∈ＤＤ，ａｎｄＮｏ＝｛川ａ／／峰Ｒｊ（Ａ），．，∈册≠０，ｔｈｅｎｌ－∑１％Ｉｐｊ）ｔｄｅｔＡ艟Ｉ＜＿１ｄｅｔＡｌ＜（Ｉａ娃Ｉ＋∑ｊ％Ｉ＆）ｌｄｅｔＡ特ｊ，七∈Ⅳ０．
，靠户Ｉ
ｉｎｏｎｅ２．Ｅｖａｌｕａｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｉｎｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｅ：Ｗｅｇｉｖｅｓｏｍｅｓｉｍｐｌｅ
ｂｏｕｎｄｓ，ｗｈｉｃｈｇｅｎｅｒａｌｉｚｅａｎｄｍｏｄｉｆｙｓｏｍｅｃｌａｓｓｉｃａｌｏｎｅｓ．Ｆｏｒｅｘａｍｐｌｅ：
Ｔｈｅｏｒｅｍ３．１．Ｆｏｒｔｈｅｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ（３－２），ｉｔｓａｎｙｒｅａｌｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ允ｓａｔｉｓｆｉｅｓｔｈａｔ：
那一｛－，
ｗｈｅｒｅ口＝ｍｉｎ０，一ａｊ２≤／≤刀），ｂ＝ｍｉｎ０，哆１２＿＜ｊ－＜玎）．
ｏｆ１≤ｓ≤ｎ，盯＞０，ｉｔｓＴｈｅｏｒｅｍ３．３．Ｆｏｒｔｈｅｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ（３—２）ａｎｄａｎｙａｎｙ
ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ五ｓａｔｉｓｆｉｅｓｔｈａｔ：
（１）
五｜＜ｍａＸ｛岛，岛），
砒ｅｒｅ亿ｍ华ａ州ｘ｛１＋Ｉ吼…＋仃）∥州ｍ华ａｘ川｛－＋掣，料
（动
兄降ｍ觚Ｌ１—２ｑ＋
一¨一
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｅｔｅｒｍｅｎｔ，ｄｏｍｉｎａｎｔｐｒｉｎｃｉｐａｌ一Ｈ小
ＩＶｄｉａｇｏｎａｌｍａｔｒｉｘ，ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ，ｖａｌｕｅ
独创性声明
本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。
签名：．一生堑笙——日期：≯。。６年厂月ｐ日
关于论文使用授权的说明
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签名：导师签名：蝎缉么导师签名：筠主聋亟
日期：≯矿略年厂月ｆ，）日
第一章引言
第一章引言
１．１选题背景
随着科学技术的迅猛发展，特别是计算机的广泛应用，矩阵理论越来越受到数学工作者，科技和工程人员的重视。它不仅是一门重要的数学分支，而且在数值分析，最优化方法，微分方程，控制理论，数学模型等分支及各种工程科学领域有者极其重要的应用。
矩阵行列式和代数多项式根的计算问题，实际上是复杂的而又很经典的数学问题之一，很早人们就对其进行了研究。因此，对其进行研究具有很高的理论和应用价值。如在线性代数一些问题研究中，如线性方程组、矩阵秩和特征值等问题，常要用到行列式作为工具。
关于矩阵行列式的计算问题，自从矩阵出现以来就是人们研究的热点之一。至今在几乎所有的矩阵或线性代数教材中对其皆有非常详细的介绍【１‘５１。有关它的相关理论也几乎家喻户晓，如二、三阶行列式的计算，拉普拉斯展开定理以及求解线性方程组的克莱默法则等等。然而，对高阶行列式计算来说，虽然目前随着高性能计算机的发展有所改善，但对于某些较病态的行列式来说，采用目前的计算机算法来计算，数值并不稳定。因此，目前对矩阵行列式的估计问题仍然是国内外研究的热点之一。
代数方程是最古老的方程，有着重要的应用。代数多项式根的计算问题，已经有着更加悠久的历史。比方说对一元二次多项式根的计算问题，很久以前就有了根的判别式和求根公式（韦达定理）。到了１６世纪，意大利一个靠自学成才的数学家塔尔塔利亚发现了一般一元三次方程的求根公式‘２，４】：
１．给定方程ｚ３—１＝０，则其三个根为：
而：ｌ，恐：国：—－１丁＋以ｉ，ｘ３＝ｃ０２－—－１丁－’ｖｆ３ｉ．
且玉＋恐＋毛＝１＋∞＋∞２＝Ｏ，ｊｃｌ・恐・ｘ３＝１・国・∞２＝０）３＝１．
２．给定方程≯＋∥＋ｂｘ＋ｃ＝ｏ．令ｘ＝ｙ一：ａ，代入得Ｙ３＋ＰＹ＋ｑ＝０．设其根为Ｙｌ，Ｙ２，Ｙ３，则有：
（１）根：炉丽＋丽。
Ｊ，２２电子科技大学硕士学位论文
式中国：＿－１＋ｘ／３ｉ．一：＋一
Ｙｌ＋此＋乃：Ｏ，１＋１＋１：一旦，乃耽咒－－－－ｑ．
ｆ＞０，有一个实根与一对共轭复根．
Ａ｛＝０，有三个实根，其中有两个相等．
Ｉ＜０，有三个不相等的实根．
Ｙ３一秒２＋（耐一４力ｙ—ｂ２Ｐ＋４钟一ｄ２＝０（３，笋ｎ别式：△＝（兰］２＋（詈）３．路［２’４１：给定方程ｐ＋Ｗ＋“：＋ｄｘ＋ｃ＝０．先求出方程
的任一实根Ｙ。，当ｂｙ．一２ｃ＞０时，再解下列两个方程：
，＋圭（６±乒ｉ石＂芝１帆±－４ｃ）＝ｏ．
当砒一２ｃ＜０时，再解下列两个方程：
ｘ２＋三（６±４—ｂ２－４ｃ—＋４ｙｏ）ｚ＋（Ｙｏ干√；Ｆ二石）＝ｏ．
随后在他们工作的鼓舞下，人们开始继续寻求更高次数的多项式的求根公式。然而，三百多年过去了，仍没有太大的进展。１８２４年，天才的挪威青年数学家阿
定理１．１（阿贝尔定理）四次以上的文字系数的代数方程，没有一般的由方程２
第一章引言
的系数经有限次四则运算和开方运算求根的方法１。
随后，法国数学家伽罗瓦（ＥｖａｒｉｓｔｅＧａｌｏｉｓ，１８１１．１８３２）在其２０岁时，彻底解决了这一问题一给出了一般ｎ次方程能用根式解出的充分和必要条件。其研究论文“关于用根式解方程的可解性条件＂，于１８４６年发表在“数学杂志＂上。其发表后，并没被人们所理解，直到１８７０年法国数学家若尔当详细解释了这篇论文后，才被人们所广泛接受。其解决这一问题所用的工具“伽罗瓦群”，现己被公认为１９世纪数学的最杰出的成就之一。
然而，由代数基本定理知道，每个次数不小于１的复系数多项式，在复数域上至少有一个根。然而要把这些根全部求解出来，一般来说还是很难的。目前，一般都采用代数方程的牛顿算法【４】：
给定多项式
ｆ（ｘ）＝ａｏｘ”＋ａｘｘ４＿１＋…＋ａｎ＿ｉＸ＋ａ。．（１－１）
式中的ｑ（ｆ＝０，１，．．卅）均为实数。
利用迭代公式：
‰２而一器舷－ｌ，２，…）・
计算（１．１）的根。
进行求解。（１－２）显然，这需计算厂（讫）及厂仇）。对此一般地采用多项式求值的秦九韶算法，来
然而，正如上面所看到的，牛顿算法对初值区间的选择要求是很高的，在某些情况下，对初值也十分敏感。因此，若能给出初值区间的一个较好的选择，必将对牛顿算法十分有益。
１．２对角占优矩阵与友矩阵简介
由前所述，对矩阵行列式和代数多项式根的估计问题，有着重要而广泛的应用，对其进行研究具有很高的理论和应用价值。在本论文中，我们将针对某些有着广泛应用背景的矩阵类一一般对角优势矩阵类和与代数多项式求根密切相关的友矩阵进行展开研究。在此我们先对本文所涉及的一些矩阵类和基本概念，作以简单介绍。
１注：一般的一元ｎ次方程的根，可以用福克斯函数表示。五次方程的根可用椭圆函数表示。３
电子科技大学硕士学位论文
众所周知，许多实际问题最后常常归结为一个或一些大型系数矩阵为特殊矩阵的线性方程组的求解问题【３】，如在控制论及神经网络大系统的稳定性、线性时滞系统的稳定性研究中常常需要Ｈ．矩阵和正稳定矩阵；在生物学、物理学、数学和社会科学、偏微分方程中的有限元方法、经济学中的投入一产出分析和增长模型、运筹学中的线性互补问题、概率统计中的马尔科夫过程中需要的Ｍ．矩阵等。这些特殊矩阵在矩阵分析和科学计算中占有十分重要的地位，它们在计算数学、经济学、物理学、生物学、应用数学等方面都有着广泛的应用。本文所涉及的一般对角优势矩阵类就是与这些特殊矩阵密切相关的一类矩阵。
为了叙述上的方便，让４是一个ｎＸｎ阶复矩阵，并记作Ａ＝【ａＯ】∈ｒ”。定义Ｎ：｛１，２，．．棚），并且在此文中我们定义如下两个常用符号：
墨（彳）＝∑Ｉａｏｌ，ｃ；（４）＝∑ｆ％Ｉ，ｆ∈Ⅳ．
ｊ≠ｉｊ｛ｉ
定义１．１设彳＝【口｛『】∈Ｃ…，若ＩａｕＰ－置（么），ｉ∈＜ｎ＞，则称么为（行）对角占优矩阵，记为Ａ∈Ｄｏ。若上式中均为严格不等号，则称彳为（行）严格对角占优矩阵，记为Ａ∈Ｄ。若存在正对角矩阵ｘ，使Ｂ＝似为严格对角占优矩阵，则称彳为广义严格对角占优矩阵【３，６】（也就是Ｈ．矩阵），记为Ａ∈西。
定义１．２【７】设彳＝‰】∈Ｃ～，若ｌ嘞怕ｆ序Ｒ，（Ａ）Ｒｊ似），ｖｉ≠ｊｅ＜刀＞，则称彳为（行）双对角占优矩阵，记为Ａ∈ＤｏＤｏ。若上式中均为严格不等号，则称彳为（行）双严格对角占优矩阵，记为Ａ∈ＤＤ。
显然，（行）对角占优矩阵一定是（行）双对角占优矩阵；（行）严格对角占优矩阵也一定是（行）双严格对角占优矩阵。但反之，不一定成立。然而，他们都是Ｈ．矩阵。在本文中，我们通称他们为主对角占优矩阵类。
另外，这些对角占优矩阵类也与下半强对角占优矩阵，半强对角占优矩阵，非零元素链对角占优矩阵和口一对角占优矩阵等有着天然和密切的联系，有兴趣的读者可参见文献【ｓ】，在此不再详述。
行列式是矩阵理论中，最早出现的概念之一，一般定义为：
定义１．３Ｅｕｎ阶行列式４
第一章引言
口ｌｌａ２１
ｑ２
ａ２２
●
…口ｌｎ…口２＾
●
●
％％～
．
＝
●
‘‘’
ａｉｌａｆｌ
●
ａｉｎ
∑（一１）７‘＾，止’…・＾’口ｌ＾口２矗…口峨．（１－３）
（＾，Ｊ２，…，＾）
％～
●
ａｎｌａｎ２
～，
…％。
即取自不同行、不同列的ｎ个元素乘积的代数和。
从行列式的定义可以看到，若直接采用（１．３）式来计算行列式的值计算工作量是
很大的。
下面我们介绍，一元ｎ次多项式的根与矩阵特征值之间的关系。定义１．４【６１对于多项式以（ｚ）＝ｒ＋ａｌｘ剃＋．．．＋％一。ｘ＋ａｎ，称１１阶矩阵
－ａＩ
－ａ２
１０ｌ
…一口＾一ｌ…Ｏ…
０
－ａ＾
Ｏ０
ｌ０
…
’．
ＯＯ１Ｏ
０Ｏ０１
－ａＩ
．
００
ｑ＝
Ｏ
或
０
０
…１
（１－４）
ＯＯ
…
１Ｏ
一口ｎ—口＾一１。。。－ａ２
为多项式Ｐｎ（ｘ）的友矩阵，利用数学归纳法可以证明：对于，ｚ≥２，恒有
（一１）”ｐａｘ）＝ｄｅｔ（Ｃｖ—ｘ，）或Ｐｎ（Ｘ）＝ｄｅｔ（ｘ／一ｃ：）．
（１—５）
其中Ｊ表示ｎ阶单位矩阵。
从上面（１．５）式可知，多项式见＠）＝∥＋ａｌｘ”１＋．．．＋口州ｘ＋ａ。的根实际上就是其所对应的友矩阵的特征值。因此，目前关于多项式根的估计问题都是从其所对应的友矩阵的角度来研究的。另外，关于友矩阵的研究常常用到如下几个性质
性质１．１【６】每个首一多项式既是它的友矩阵的极小多项式又是其特征多项式。性质１．２【６】矩阵彳相似于特征多项式的友矩阵，当且仅当么的极小多项式与特征多项式恒等。
性质１．３【６】矩阵彳相似于特征多项式的友矩阵，当且仅当彳是非减次矩阵。
１．３本文主要工作
已有的文献已经表明，关于主对角占优矩阵行列式的估计，以及一元ｎ次多项式根的估计问题，仍然是一个十分活跃的研究领域。目前已取得的很多优美的结果。在本文中，我们将在这些研究的基础上，进一步开拓思路，得出一些更好
５
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的结果。我们的安排如下：
第二章主要介绍主对角占优矩阵行列式的估计问题，通过研究逆元素的估计，获得了一些有趣的主对角占优矩阵类行列式的上下界的几个简单估计。
第三章关于经典代数多项式的根模估计问题，提出一系列有趣的结果，推广或改进了一些经典的相关结论。
第四章展望未来，总结所得结果。
６
第二章主对角占优矩阵类的行列式的界
第二章
主对角占优矩阵类的行列式的界
２．１引言与记号
让彳是一个ｎＸｎ阶复矩阵，记作彳＝ｋ】∈Ｃ““。定义Ⅳ＝｛ｌ，２，．．．，刀），并且在此章中我们定义如下几个常用符号：
州）＝驯，ｃｌ（铘＝渺№＝等，ｃ：ｆ＝筲＇ｆ∈Ⅳ．
（２．１）
众所周知，对矩阵彳来说，如果对任意ｉ∈Ｎ，皆有届≤１，那么矩阵彳被说成是行对角占优矩阵，记作Ａ∈或；若对任意ｉ∈Ｎ，皆有岛＜１，则被称为行严格对角占优矩阵，记作Ａ∈Ｄ。同样地，对参数ＣＩ（ｆ∈Ｎ）类似地可以定义列对角占优矩阵和列严格对角占优矩阵。显然，行对角占优矩阵的任意阶主子矩阵亦是行对角占
优的。
近几十年来，对主对角占优矩阵行列式的研究一直是矩阵代数与计算数学领域里的热门课题之一，无论是主对角占优的等价表征，判定条件，还是更深入的性质研究，都出现了一系列既有重要的理论价值，又在实际计算中有广泛用途的
重要成果。如：
对严格对角占优矩阵类一些优美的行列式不等式已被获得：首先，国际著名数值代数专家Ａ．Ｍ．Ｏｓｔｒｏｗｓｋｉ教授在文献‘９】中，首次给出了如下著名的不等式：
［ｄｃｔＡＩ≥兀［１ａ豇Ｉ一足（铆
（２－２）
这个不等式提供了一个简单的下界。随后，Ｇ．Ｂ．Ｐｒｉｃｅ［１０１和Ｏｃｄｅｒ＿【１１１分别采用如下不
同的表达式
Ｈ
ｉ－１
ｅ
，；＝∑ｈＩ，‘＝∑ｌ嘞Ｉ，ｉｊ≠ｔ＋ｌ
１＝１
Ｎ．
Ｇ．Ｂ．Ｐｒｉｃｅ在假设彳∈Ｄ情况下，表吲１川）：
兀［Ｉ
ｉ＝ｌ
ａｉｔ
ｈ】习ｄｏｔＡｌ＞ｎ【｜ａｉｉＩ－ｒ，］．
ｉ＝１
（２—３）
Ｏｃｄｃｒ在假设么∈域情况下，获得了【ｌｌ】：
７
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ＩｄｅｔＡ巨］ａａ。Ｉ丌（ｈｌ＿ｆｆ）．（２－４）
然而，在文献【１２】中，所有的上述结果又可以以这样的方式做进一步的改进，即对任意指标ｋ∈Ｎ，有：
Ｉ％Ｉ讨（％Ｉ＋ｐｒ；）卉（Ｉ口ｆｆ＋Ｐ１，）－＞１ｄｅｔＡ辟１口肚Ｉ兀ｋ－Ｉ（１％Ｉ—ｐ，；）ｎ（Ｉ
其中Ｐ＝ｍ衅｛岛ｊ．
ａｔｉ
Ｉ一矾）．（２－５）
受这些工作的鼓舞，下面我们将对此类问题作迸一步的研究。改进上述结果，并获得一些新的行列式上下界估计。
２．２一般对角占优矩阵的情形
首先，给出如Ｆ几个定义和引理：
定义２．１【１３】矩阵Ｂ＝【龟，】∈Ｃ…是非负矩阵（记为Ｂ≥０），若对任意口≥ｐｐ），其中ｐ（Ｂ）表示矩阵Ｂ的谱半径，矩阵彳＝ｋ】∈Ｃ“”满足
Ａ＝ａｌ—Ｂ，口＞０，
则称矩阵彳为Ｍ．矩阵，这里Ｊ表示单位矩阵。
引理２．１ｔ７１设矩阵么＝‰】∈∥“，记４∈ｃ‘¨脚哪是位置为（ｉｊ）处的余子式，
则对任意ｆ∈Ｎ，有
ｄｅ％．ｄｅｔＡ－Ｙ．（一１）‘Ｈ力嘞ｄｅ％，或ｄｅｔＡ－∑（一１）‘Ｈ力ａｉｊ
产ｌ
Ｊ２１
（２－６）
引理２．２１７１若矩阵Ａ＝【％】∈Ｃ”，相对于Ｍ．矩阵Ｂ＝【％】来说，若满足玩＜１％Ｉ，
且对任意ｆ≠，，有ｌ口ｆ，Ｉ－＜１％Ｉ，那么
ｌｄｅｔＡ除ｄｅｔＢ≥０．（２－７）
引理２．３如果么＝‰】∈Ｄ，那么Ａ一１＿【％】存在，并且（ａ）（见文献【１４】中的引理２．２）
１％匿乃ｌ玩Ｉ＜１％ｌ，对任意ｆ≠歹・１％Ｉ＜－ｐ；１％Ｈ％Ｉ，对任意ｆ≠．，．
（２．８）（２・９）
∽（见文献【１５】中的引理４）
８
第二章主对角占优矩阵类的行列式的界
耶丽面１砺，对某～／“
下面为了叙述上的方便，现在对任意ｆ∈Ⅳ，我们引入下列记号：
（２－１０）
吩２融１咖ｊ窆＝ｉ＋ｌｈ旧２等／／ｌ妒掣ｔ４
产
Ｉ“
ｌⅣｌ，
其中４．，（ｆ＜＿，）表示矩阵彳的由集合｛ｉ，ｉ＋ｌ…．，ｊ）所决定的主子矩阵。
定理２．１（ａ）如果彳＝［ａＵ］ＥＤ，那么对任意指标ｋｅＮ，有
ＩｄｅｔＡＩ到ａ肚兀（Ｉ％Ｉ－ｇ乃）兀（Ｉ％一嘭‘），
其中哆２
（２．１１）
ｚ学｛％），哆＝ｍ…ａｘ，｛ｗ．｝和ｗｊ，＝鱼篙半，＿，∈Ⅳ．
并且等号成立当且仅当
乃＝ｏ（／＝１，…，Ｊｊ｝一１）和‘＝ｏ（，＝Ｊｉ｝＋１，…，ｎ）。
（ｂ）若Ａ７∈Ｄ，那么对任意ｋ∈Ｎ，有
ＩｄｅｔＡＩ＞＿ｌａ船ＩＩ－［（Ｉ％Ｉ－乃乃）兀（Ｉ％Ｉ－ｒ。／：ｕ＾
（２－１２）
其中膨２蛩｛心），彩＝畏焉｛旦高半），，∈Ⅳ－并且等号
嘭＝ｏ（，＝１，．．．，七一１）和“，＝ｏ
Ｕ＝ｋ＋ｌ，．．．，，１）。
成立当且仅当
证明：我们的方法是简单的，注意到
因此，从引理２．３０），我们获得对任意ｉｅＮ有
％＝警＇ｆ，＿，∈Ｍ…＝黜≤丽１，对某些删纠
Ｉ拙Ａｌ＞Ｉ晋（１ａ“Ｉ－／≈（Ａ）ｐ：）ｌｄｅｔ４，Ｉ，ｉｅＮ．
（２・１３）
即
ＩｄｅｔＡＩ＿＞（Ｊ％Ｉ嵋（Ａ）ｐｊ）Ｉｄｅｔ４－，－Ｊ，对某些，ｅＮ，，≠ｆ．
既然对任意ｉｅＮ，和某些歹ｅＮ，，≠ｆ，上面的不等式总是成立，因此
（２—１４）
（２—１５）
现在我们从ｆ－１开始，对Ｉｄｅｔ
Ａｎｌ在使用卢２，如此继续下去，到徘ｌ为止。然
后，从ｉ＝ｎ开始，类似上述过程到到ｆ＝甜１为止。这样就不难获得不等式（２．１１）。
９
电子科技大学硕士学位论文
（ｂ）既然Ａ７∈Ｄ，那么对∥重复以上的证明，那么不等式（２．１２）也不难得到。
证毕。
注２．１．－有时候为了获得更好的结果，（２．１１）和（２．１２）可以混合使用，见后面的数值试验部分。
另外，利用下面的引理２．４，我们也可获得一个相似的行列式上界。引理２．４如果４＝【嘞］∈Ｄ，那么Ａ叫＝【６：ｆ『】存在，并且
Ｉ％巨西南，对某些歹≠￡
ｊ＝ｌ
（２。６）
证明：由引理２．３（ａ），我们知道Ｉ％巨啦蟹｛‰｜｝．因此，我们可以假设
１％剐％圈％ｌ，对任意ｆ≠－，≠七．
由彳爿’１：，，可知
∑％％＝ｌ，对任意ｉｅＮ，∑吩％＝０，对任意ｊ≠ｋ．
这样，对任意ｉ≠，≠ｋ，有
『Ｉ％ｌＩ６ｆｌＩ＋写（么）ｌｂｆｉ险１，
【１％ＩＩ％｜＿弓（４）Ｉ％｜＜０．
解上面的不等式，我们获得
悱鬲‰２雨面１砺，对某些川・
（２－１７）
这样证明被完成。
现在，由上面的引理２．４，类似于上面的定理２．１的证明，不难得到：定理２．２（ａ）如果Ａ＝［％】∈Ｄ，那么对任意指标七∈Ｎ，有
Ｉｄｅｔ彳匡Ｉ％ＩⅡ（Ｉ％Ｉ＋哆弓）ｎ（１ａｊｊＩ＋哆‘），
其中哆，髟同定理２．１（ａ）。并且等号成立当且仅当乃＝０（．，＝ｌ，．．．，ｋ－１）和‘＝０（，＝七＋１，．．卅）。
（ｂ）若Ａｒ∈Ｄ，那么对任意ｋ∈Ｎ，有
１０
第二章主对角占优矩阵类的行列式的界
［ｄｅｔＡ［４ａ肚Ｉ兀（１ａ∥Ｉ＋／西ｊａｊ）Ｈ（Ｉ％Ｉ＋帝ｊｕｊ），
ｊ＝ｌ
』＝ｔ＋ｌ
（２—１８）
其中廖，彩同定理２．１（ｂ）。并且等号成立当且仅当嘭＝ｏ（＿『＝１，．．．，七一１）和
ｕｊ＝０（，＝七＋ｌ，…，玎）。
定理２．３如果Ａ＝［口｛，】∈Ｄ，那么Ａ一＝【６：ｆ『】，并且对任意后∈Ⅳ，有
ｌａ肚Ｉ兀（Ｉ％Ｉ－∑１％Ｉ％）兀（Ｉ％Ｉ＿∑ｌ嘞１ｗ。ｊ）－＜ｌｄｅｔＡＩ＜
ｉ＝１
ｊ＞ｉ
ｉ＝ｋ＋ｌ
ｋ＜ｊ＜ｉ
ｋ一１
Ｈ
Ｉ＋∑Ｉ％１ｗ，ｊ），Ｉ口齄Ｉｎ（Ｉ％Ｉ＋∑Ｉ％ｆ％）兀（Ｉ口ｉｆ
ｊ＞ｉ
ｉ＝ｌ
ｉ＝ｋ＋ｌ
ｋ￡ｊ＜ｉ
其中％和％（ｆ，Ｊ∈忉同定理２．１（ａ）．并且上式等号成立当且仅当ｉ＜七，口｛『＝ｏ
（＿，＞ｉ）和以≥ｆ＞ｋ，ｄｅ＝ｏ（－，＜Ｏ．
证明：首先，我们考虑上述不等式的左手边，由引理２．２，我们可以假设矩阵彳是个Ｍ．矩阵。下面由引理２．１，可得
ｄｅｔＡ－－－Ｉａ．Ｉ
ｄｅｔＡ．一∑（一１）‘“叫吻Ｉｄｅｔ４ｉ．
ｊ－＇｛ｉ
（２・１９）
注意到Ａ是一个Ｍ．矩阵，因此对任意ｆ，ｊｅＮ，ｂ０≥ｏ和ｄｅｔ４ｉ＞ｏＢ３１．这样由
（２．１３），可知
（一１）‘Ｈ７’ｄｅｔ４≥０．
现在，由引理２．３（ａ），可得
Ｉｄｅｔａ口Ｉ－＜ｐｊｄｅｔ４，对任意ｉ≠／．（２－２０）
因此，由（２．１９）推出
ＩｄｅｔＡｌ２（Ｉａｕ—ＺＥａＦ
』耐
ＩＰ，）ｌｄｅｔ％ｊＩ，对任意ｆ∈Ⅳ．
（２－２０
以下的证明相似于定理２．１，在此不再详述。现在我们考虑上述不等式的右手边，由引理２．１，有
ＩｄｅｔＡＩ＿＜）－？１ａｕ
ｊ＝ｌ
ＩＩｄｅｔ
Ｉ，对任意ｉ∈Ⅳ．
注意至ｌＪ（２．２０），那么有
ＩｄｅｔＡ［＿＜（Ｉａ．Ｉ＋∑ｌ勺ｔＰ，）ｌｄｅｔ４ｉＩ，对任意ｆ∈Ⅳ．（２－２２）
ｊ＝１．≠ｆ
重复前面定理２．１（ａ）的相应的证明过程，易知结论成立．
注２．２：特征值是关于元素的连续函数，因此行列式也是关于元素的连续函数。
电子科技大学硕士学位论文
这样对上述定理２．１—２．３来说，在更弱的条件～一般主对角占优下也是成立的。
２．３双对角占优矩阵的情形
现在我们将上述结果推广到双对角占优矩阵的情形。为此我们先定义双对角
占优矩阵如下：
定义２．２【７１设矩阵Ａ＝［ａｖ］ＥＣ一，那么矩阵Ａ被称作双对角占优的（记为ＡＥ坟坟），如果对任意ｉｓ，，有
Ｉ％１１％巨ｇ（ａ）Ｒｊ（铘．
如果上述不等式是严格的，则称之为严格双对角占优矩阵，记为彳∈ＤＤ。
引理２．５若么：ｆ鬈】∈肋，并且鹄＝０＂１１％Ｒｊ（Ａ），Ｊ∈奶≠０，那么Ａ～＝晦］满
足
（ａ）
％巨型等掣Ｉ吮匿以Ｍｆ∈Ⅳ０，七∈Ⅳ＼鼢
％笛肛ＩｋＩ，ｉ∈Ⅳｏ，ｋ∈Ⅳ＼｛ｉ）；
（２—２３）（２－２４）
‰巨型铲㈧，ｆ∈ｗ雕砌．
４胜Ｉ
（２－２５）
其中ｄ是一个满足
蹴
证明：（ａ）既然Ｎｏ≠０，因此彳仨Ｄ。不失一般性，我们可以假设第ｉ行非严格
对角占优（即，ｆ∈Ⅳｏ），记
而：承ｌ砺乳阵志，‘涎Ⅳｏ小Ⅳ＼（。，止踊揣小揣．
Ｌ＜ｄ＜，≤１．
１２
嵩刚
习
％
正数
（２．２６）
既然么＝魄】∈ＤＤ，这里存在～个正数ｄ使得
现在，构造一个正对角矩阵Ａ＝ｄｉａｇ（人，，人：，．．．，Ａ。），其中
第二章主对角占优矩阵类的行列式的界
中｛Ｌ嚣
让ｃ＝【ｃＦ】＿么人，那么我们有ｃ｛，＝～人Ｊ，ｉ，ｊｅＮ。容易证明ＣｅＤ。下面对于矩阵
ｃ，由引理２．３（ａ），我ｉｆ］．－７ｐＡ获得
（１）Ｉｋ
（２）Ｉ％Ｉ＜型型竺酱塑掣ｌｂ．｜＜以Ｉ％ｌ，ｆ∈Ⅳ０，后∈Ⅳ＼｛班
Ｉ＜竽．掣：辟Ｉｂａ胁Ⅳ０，七∈Ⅳ＼｛ｆ｝；
ａｉｉ
ｌ
口
（３）Ｉ％Ｂ型尘掣１６删悱Ⅳｏ，，，ｍ∈Ⅳ＼”
ａ
ａｏ
因此，结论（ａ）成立。
（ｂ）相似地，我们可以获得ｃ＝ｂ】－从∈Ｄ．由引理２．３（ｂ）和引理２．４，对于矩阵
ｃ和ｉ∈Ⅳｏ，／∈Ⅳ＼｛ｆ＞，我们有
ｌａ。Ｉ＋皿（４）形
其中
她｜＜丽丽１
ａｊｊ
，
（２—２７）
ｄ？：垫丝±！！二型丝
。ｄ
Ｉ
对任意ｉ∈Ⅳ０，，ｅＮ＼｛玑我们又有
蟛型等型≤等嘶
’
ｌ口口ｌ
Ｉ口Ｆｌ
叫
（２－２８）
、
。
这样由（２．２７）和（２．２８），可知结论成立。…
定理２．４如果彳＝［口｛，］ｅＤＤ，且％＝｛Ｊｌｌａ／／｜＜吩（栅，ｊｅＮ｝≠ｏ，那么
（｜口肚Ｉ一∑ｌａ茸Ｉ乃）Ｉｄｅｔ如Ｉ＿＜ＩｄｅｔＡＩ＜（Ｉａ艟Ｉ＋Ｘｌ
ａ眵Ｉｐｊ）ＩｄｅｔＡ，，ｌ，ｋ
ｅ
Ｎ。．
（２－２９）
证明：由引理２．５（ａ），相似于定理２．３的证明，结论不难获得。证明完毕。注２．３：注意到在定理２．４中如ｅＤ，因此我们对如可以连续执行定理２．１—２．３的界，获得矩阵Ａ的行列式的界，见下一节中的例４．２．
２．４数值例子
例２．４．１令
１３
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７３
Ａ＝：
—２２
Ｏ－３
７０
４８
Ｏ６
—１０
１—２
应用上面的结果到它，其中当ｋ＝ｌ我们可以获得如下结果：
表２—１在不同定理下行列式的界
相关结果
（２—２）
行列式的界ＩｄｅｔＡ巨１５
６３３６＞ｌｄｅｔＡ｜＞４８０ｌｄｅｔＡＩ＞３１５
６４２３．７＞ＩｄｅｔＡ巨４７１．１８４１２８＞ｌ
ｄｅｔＡ
（２—３）（２＿４）（２－５）
（２．１１）和（２．１７）定理２．３
Ｉ＇ｚ－９３６
３３８７．９＞ｌｄｅｔＡ陲１３８９．９
另外，在同样的假设ｋ＝－Ｉ下，若我们首先应用（２．１１）然后应用（２．１２），那么我们获
得ＩｄｅｔＡ险９８０．５７，这皆好于直接使用（２．１１）或（２—１２）的结果。
例２．４．２．考虑双对角占优矩阵
彳＝㈠］．
现在，应用定理２．４，我们获得
［ｄｅｔＡＮ（４＋警＋扣ｅｔ如鲫６，
这接近于真实值ｄｅｔＡ＝９８。因此，定理２．４是文献。乒１２】的推广和改进。
１４
第三章代数多项式的根的几个简单估计
第三章代数多项式的根的几个简单估计
３．１引言与记号
代数方程是最古老的方程，有着重要的应用。正如前面第一章所述，古代就已知一次、二次代数方程的解法。然而，直到１６世纪意大利一个靠自学成才的数学家塔尔塔利亚发现了一般一元三次方程的求根公式，在他的启发下，
意大利数
学家费拉里也很快给出了一元四次方程的求根公式。随后在他们工作的鼓舞下，人们开始继续寻求更高次数的多项式的求根公式。然而，三百多年过去了，仍没有太大的进展。直到１８７０年法国数学家若尔当介绍了法国数学家伽罗瓦的论文“关于用根式解方程的可解性条件”后这一问题才得以解决。以此文为基础的研究已成为近世代数所研究的最重要的课题之一。
由代数基本定理知道，每个次数不小于１的复系数多项式，在复数域上至少有一个根。然而要把这些根全部求解出来，一般来说还是很难的。目前，一般都采用代数方程的牛顿法算法，然而，正如第一章所述，牛顿算法对初值区间的选择要求是很高的，在某些情况下，对初值也十分敏感。因此，若能给出初值区间的一个较好的选择，必将对牛顿算法十分有益。
一般说来，实数域上的代数方程可以设为
只（ｚ）＝ａｏＸ”＋口ｌ，一１＋…＋ａｎ＿ｉＸ＋ａｎ，
（３・１）
式中的ａｔ（ｆ＝０，１，．．棚）均为实数，且ａ。≠ｏ。在本节中为了研究的方便，且不失一般
性，我们可以假设：
只（功＝Ｘ“＋ａｉｘ”－１＋…＋ａｎ—ｌｘ＋巳，
且ａ。≠０。
（３—２）
在很多数学理论与实际应用中需要对（３—２）的根的模进行估计。如齐次常系数线性差分方程
厂（ＤＵｋ＝Ｕｔ＋Ｈ＋ａｌｕＩ＋月一ｌ＋…＋％一ｌｕｋ＋ｌ＋ａｎＵｋ
２０
其所对应的特征方程就是上述的ｎ次方程（３．２）。
关于上述ｎ次方程（３．２）的根模的估计，最早由Ｃａｕｃｈｙ给出【１６】：
１５
一一一＿一———————————————————————————————————————————————————————————————一
（３・３）１名｜＜ｍａｘ｛ｌａ．１，１＋ＩａＩＩ，…，１＋Ｊ口。一。０．
其中１名Ｉ表示上述多项式（３．２）的任意根的模。近来的主要结果有Ｃａｒｍｉｃｈａｅｌ－Ｍａｓｏｎ的估计【７】：
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ＩＡ阵、ｆｌ＋∑Ｉ口ｉ１２，（３－４）
’
ｉ＝１
厂—ｉ—一
Ｆａｒｍｅｒ．Ｌｏｉｚｏｕ的估计【１７】：
［３．１＜２ｍ。；。ａ；ｘ。［ａｔ
Ｉｌ
７‘，
（３－５）
还有Ｍｏｎｔｅｌ的上界估计：
ｒ
。
１
ｌＡ
ｍａｘ｛ｌ，∑ｌａ，ｌ｝
Ｌ
ｉ＝１
Ｊ
（３－６）
等等。这些界形式简单，却有着很广泛的应用。
在本节中，我们将利用有关实矩阵特征值估计的几个最新结果，结合已有的研究技巧，改进上述的几个结论，这些结果对某些矩阵来说，有着更好的上界。
３．２主要结果
为了书写方便，我们将采取下边的记号：对任意Ａ＝［ａｇ］ＥＲ脒“和ｆ∈Ｎ，分别
定义矿＝ｍａｘ｛０，ａ０．１ｊ『≠ｆ），ｒ－＝ｖａｉｎ｛０，ａ／ｊＩＪ＊ｆ）和哆＝ａＩ口，一口川，歹∈Ｎ（ａ州２ｏ）。
首先我们介绍几个有趣的引理如下：
引理３．１ｔ１７】设矩阵么＝［嘞］∈Ｒ棚，名为矩阵Ａ的任意实特征值，那么
旯∈Ｇ垒Ｕ［％一矿－Ｙ．１ｒ，＋一％ｌ，ａｔｔ－－ｒｌ一寸∑Ｉ，；一一％Ｉ】．（３－７）
引理３．２【１８】让１≤ｓ≤ｎ，仃＞０，设
ｑｌｃｒ＝ｒ—ｌａｌＩｘＰｌ一…一Ｉａｓ—ｌｌｘ一（１ａｓｌ＋仃）
（３＿８）（３－９）
％彳’一掣厂１…一掣
分别取其唯一正根岛。，，０２矿。则多项式（３—２）的根满足：
Ｉ兄阵ｎｌａｘ以仃，岛口）．
引理３．３【１８】对多项式（３．２），其任意根允将满足：
（３－１０）
１６
第三章代数多项式的根的几个简单估计
……㈦ｈＩ＋盯面］）．
首先，我们先给出多项式（３．２）的任意实根的几个估计。定理３．１对多项式（３．２），其任意实根力将满足：
ｍ阵叫ＬＦ可，Ｆ硒，，Ｂ，・，
－ａＩ
－ａ２
其中口＝ｍｉｎ｛０，一ａＩ２≤，≤，ｌ｝，ｂ＝ｍｉｎ｛Ｏ，勺ｌ２≤／≤，ｚ｝。
证明由第一章可知，多项式ｆ３．２１的根即为其友矩阵
…一口ｎ一１…Ｏ…
０
一ａｎ
１Ｏ１
ＯＯ
ｑ＝
０
（３—１２）
０Ｏ
…
１Ｏ
所对应的特征值。那么允２将是矩阵ｑ‘１９１：
６ｌ
－ａＩ
６２
－ａ２
一
２
吃一。
０
吃
０
屯
玎、Ｊ
－ａ＾一１—口ｎ
ｑ＝
１Ｏ
（３・１３）
ＯＯ
址％ｏ；●
Ｏ０
对上述矩阵，显然有
ｍｉｎ｛Ｏ，哆Ｉ２≤歹≤珠ｆ＝１；ｍｉｎ｛Ｏ，－ａｙＩ２≤歹≤以｝，ｆ＝２；
０，
ｉ≠１，２．
因此，由引理３．１不难得到
咫懋∞ｍ驴刮，－ａ：－ａ＋Ｚ脚Ｉ…。Ｉ），
从而，易知结果成立。证毕。
注３．１：由定理３．１的证明可知，当多项式（３．２）的系数相差不大时。在此条件下的定理３．１的估计结果是很好的，见下面数值试验部分。
１７
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下面，我们用“广义友阵”的定义，进一步优化上述结果。
定义３．１Ｃ２０１令只（ｘ）是一型如（３．２）的多项式，那么这里存在复数ｃ１，ｃ２，ｏ．．ｇＣｎ和不
为零的复数ｄｌ，畋，．．．，ｄｎ，且满足
－ａ１．＝ＣＩ，
＿％≥ｃ２西’
：
（３．１４）
一ａｎ暑ｑｄ。一ｌ…以西．
使得矩阵彳：
０以一，
：
・．
‘
Ｏ
●●
●
…
Ａ＝
：
：
●●
●
●●
●
（３－１５）
０
・・・
…
０
ｑｑ一１…ｃ２
的特征多项式就是多项式只（功。在本文中，我们称矩阵４为多项式￡（功的广义友
阵。
利用广义友阵和引理３．１，我们可以类似地得到如下定理３．２，其在一定程度上改进Ｙ（３．５）式。
…一ｐ乒可，Ｆｉ礴丽，，ｐ旧
定理３．２对多项式（３．２），其任意实根五将满足：
ｌ
其中扛ｍ：鲻ａｘ。ｌ％ｌｉ，ｑ＝劳，Ｈ，２，…咒，ｅ＝ｍｉｎ
证明类似于定理３．１的证明，可知
ｏｏ
４２＝
：
●
０，ｄｃｊ
ｌ
ｌ＜＿ｊ＜ｎ）和
ｆ＝ｍｉｎ｛Ｏ，ＣｌＣｊ＋ｄｃｊ＋。Ｉ１≤歹≤咒｝（艺：。＝ｏ）。
００
：
●
以一，吒一２
Ｏ
。．
●
…
Ｏ…
’．
●
●
０ｏ
：
以一：吒一３
‘．
吐乞
ｃｌｃ；
匾巳一。ｑｃｏｌ＋以一ｌＣｎ
……
盔ｃ３ｑｃ３＋以ｃｊ
磊ｃ２
ｑｃ２＋ｄ２ｃ３
西ｃｌｑｑ＋吐ｃ２
令
第三章代数多项式的根的几个简单估计
ｄｎ＿｜－，ｏ．－西乖戮㈣÷），
ｑ＝寿，
推出结论成立。证毕。
下面，对所有根的模进行估计。
定理３．３对多项式（３．２），以及任意１≤ｓ≤ｎ，盯＞０，其任意根兄将满足：
（１）
拈ｌ，２，…见
由文献【２０ｌ可知，上述选择满足定义３．１的相关条件。因此，由引理３．１，不难
Ｉ旯Ｉ＿＜ｍａｘ｛，ｏｌ，岛｝，
（３—１８）
其中ｎ：罂ｍ儿…＋仃｝∥，器。ｆｔ＋掣，掣｝ｏ
（２）
ｌ见Ｉ≤ｍａｘ｛・，三［Ｉ
０１
００
ｑ
ｌ＋√ｌ：『面］，三≥［Ｉ％¨ｌ＋√ｌ≤面］＞．
（３—１９）
ｑ
证明根据前面第一章中，关于多项式友阵的定义，可知引理３．２中多项式ｇ。，和ｑ：。所对应的友阵，可分别写成如下形式‘１８１：
０……Ｉ
０……
ｌ＋盯
；
Ｏ１
Ｏ……∑型
盯
Ｉｑ一。ｌ
，Ｅ＝
０……
１：ｊ：
；ｉ
（３－２０）
１’．
互＝
‘．
’．
：
‘．０
１
Ｉａ２ｌ
ａｌ
Ｉ
１也Ｊ
仃
对上述矩阵，分别采用行和范数（即州ｌ。），易得
胪。ｍ蚓ａｘ川吼…竹＂０２＂－＜ｓ班ｍ“ａｘ・＋掣，掣＞
因此，由引理３．２易知，结论（１）成立。
类似地，对（３．２０）分别采用引理３．３的结论，易知，结论（２）成立。证毕。推论３．４对多项式（３．２），其任意根名将满足：
１９
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Ｉ五Ｉ＜ｍａｘ｛［口。ｌ，１＋ＩｑＩ，…，１＋Ｉ口。一。Ｉ）．
证明只要令定理３．３（１）中，Ｊ＝ｎ，仃＝１，即可。证毕。
注３．２：在定理３．３中，对Ｊ和仃取不同的值就会得出许多不同的根的估计，如：推论３．４。因此，定理３．３可以说是对一些多项式根模估计式（如（３．３）等）的进一步推广或改进。
３．３数值例子
例３．３．１考虑一个简单多项式只（ｘ）＝工３＋ｘ２—６ｘ一６，估计此多项式根模的最大值。
解：易知其友阵为
ｑ＝㈧．
利用Ｍａｔｌａｂ７．１直接计算，它的３个根分别为：
它们皆为实根。显然这些根的模的最大值为：２．４４９５。
应用上面的结果到它，我们可以获得如下结果：
表３－１在不同定理下多项式根模的界
相关结果
Ｃａｕｃｈｙ（３－３）
多项式根模的界
。
７．００００８．６０２３４．８９９０１３．００００４．３５８９
Ｃａｒｍｉｃｈａｅｌ－Ｍａｓｏｎ（３－４）
Ｆａｒｍｅｒ－Ｌｏｉｚｏｕ（３—５）
Ｍｏｎｔｅｌ（３－６）
定理３．１（３．１１）
显然，我们的结果皆好于这些经典结果。
例３．３．２．考虑圪（ｘ）＝∥一，一２ｘ４—３ｘ３—４ｘ２—５ｘ一６，估计此多项式根模的最大值。
解：易知其友阵为
２０
第三章代数多项式的根的几个简单估计
ｌｌ０
ｃ＝
００Ｏ
０００
１０Ｏ
０ｌ０
Ｏ０ｌ
００Ｏ
２０１
３０Ｏ
４０Ｏ
５０Ｏ
６ＯＯ
利用Ｍａｔｌａｂ７．１直接计算，它的６个根分别为：
毛＝０．８３１７＋１．１７１９ｉ，
ｘ２＝０．８３１７－１．１７１９ｉ．ｘ３＝－０．２１１７＋１．３３４１ｉ，ｘ４＝一０．２１１７－１．３３４１ｉ．ｘ５＝一１．１２００＋０．５８１３ｉ．
黾＝一１．１２００－０．５８１３ｉ．
这些根的模的最大值为：１．４３７０。
既然，它没有实根，下面我们利用定理３．３对根模的最大值估计如下：
表３－２在不同ｓ，仃取值下定理３３（１）的结果
ＳＳ＝ｌＳ＝２ｓ＝３Ｊ＝４ｓ＝５ｓ＝６
仃＝０．８７．５７．５７．５７．５７．５７．５７．５
仃＝１．０６．Ｏ６．Ｏ６．Ｏ６．０６．０６．０６．０
盯＝２．０３．５４．Ｏ５．０６．０７．Ｏ８．０
仃＝３．０４．Ｏ５．Ｏ６．Ｏ７．Ｏ８．０９．０４．Ｏ
最小值瓠Ｓ
２１
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表３－３在不同Ｓ，盯取值下定理３．３（２）的结果
Ｊｓ＝ｌＳ＝２Ｓ＝３ｓ＝４ｓ＝５ｓ＝６
仃＝０．８６．１５５４６．５９３６１１．５２４７１９．５２４７２９．５２４７４１．５２４７６．１５５４
盯＝１．０５．３５８９５．６５３３１１．６１８０１９．６１８０２９．６１８０４１．６１８０５．３５８９
盯＝２．０３．５４１４６．０１２．０２０．０３０。Ｏ４２．０３．５４１４
仃＝３．０２．８０５４６．３０２８１２．３０２８２０．３０２８３０。３０２８４２．３０２８２．８０５４
最小值
在这些估计中，最小值是２．８０５４，其已非常接近最大模根１．４３７０。这表明在
某些情况下，定理３．３的估计也是很精确的。
第四章结论和展望
第四章结论和展望
４．１本论文研究总结
本文的研究主要分为两大部分：
１．在第二章中，主要证明了当满足一定条件的时候，主对角占优矩阵行列式界的问题。通过研究逆元素的估计，获得了一些有趣的行列式估计式。如：
（１）对一般对角占优矩阵，我们获得了如下几个结果：定理２．１如果Ａ＝【口ｆ『】∈Ｄ，那么对任意指标ｋ∈Ｎ，有
ＩｄｅｔＡＩ到ａ肚Ｈ（１ａ∥Ｉ－嘭乃）Ｈ（Ｉａ／／一哆‘），
其中ｇ＝ｔ学｛％｝，哆＝嬲｛％）和％＝鱼篙≠，＿，∈Ⅳ－
乃＝０（＿，＝１，．．．，ｋ－１）和，，＝０（，＝ｋ＋１，．．．，以）。
ｋ－Ｉ
Ｈ
并且等号成立当且仅当
定理２．２如果Ａ＝ｋ】∈Ｄ，那么对任意指标ｋ∈Ｎ，有
ｄｅｔＡＩｑａａ
ＩＬＩ（Ｉ％Ｉ＋ＯｊＳ）兀（Ｉａ／／Ｉ＋哆‘），ｊ＝ｌｊ＝ｋ＋ｌ
其中岛，髟同定理２．１（ａ）。并且等号成立当且仅当，：『＝ｏ（．，＝１，．．．，ｋ－１）和‘＝０（Ｊ＝ｋ＋１，．．・，ｎ）。
－
定理２．３如果彳＝ｌａｙ］∈Ｄ，那么Ａ～＝【％】，并且对任意尼∈Ⅳ＇有
Ｉ口肚ｆ兀（１口ｆｆＩ－∑ＩａｖＩ％）ｎ（Ｉ％Ｊ＿∑ｌ吩１ｗｏ）－＜ｌｄｅｔＡＩ＜
ｉ＝ｌ
ｊ＞ｌ
ｉ＝ｋ＋ｌ
Ｉｓ，可
ｋ－１
ｎ
Ｉ％Ｉ兀（１ｑ；Ｉ＋∑ｌ嘞Ｉ％）兀（Ｉ％Ｉ＋∑Ｉ口｛『Ｉ～），
１＝１
ｊ＞ｉ
ｉ＝ｋ＋ｌ
ｋ≤ｊ＜ｉ
其中％和嘞（ｆ，－，∈加同定理２．１（ａ）．并且上式等号成立当且仅当ｉ＜后，％＝０
（歹＞力和以≥ｉ＞ｋ，口Ｊ，＝Ｏ（ｊ＜ｆ）．
（２）对双对角占优矩阵，获得了如下结论：
定理２．４如果彳＝心】∈肋，且Ⅳｏ＝Ｕｌｌａ口｜＜吩（彳），，∈奶≠ｏ，那么
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（Ｉａｒｔ
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２．在第三章中，我们研究了经典代数多项式的根模估计问题，获得了一系列有趣的结果，推广或改进了一些经典的相关结论。如：
定理３．１对多项式（３—２），其任意实根五将满足：
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（１）
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其中ａ＝ｍｉｎ｛０，－ａｙ２≤ｊｆ≤以），ｂ＝ｒａｉｎ｛０，岛ｌ２ｓ／≤，ｚ｝。
定理３．３对多项式（３－２），以及任意１≤Ｊ≤ｎ，仃＞０，其任意根兄将满足：
其中Ｅｍ华ａ¨ｘｍ＾ｈｍ舻川ｍ轳ａｘ州｛・＋掣，掣）ｏ
（２）
４．２前景展望
…≤一㈦旧ｌ＋一Ⅲ‰ｌ＋阿］）．
矩阵的行列式和代数多项式的根模估计问题，在科学研究中已有着悠久的历史和广泛的应用背景。国内外很多著名学者都曾对其进行过深入而细致的研究，如著名法国数学家伽罗瓦等。对其研究的成果，也在一定程度上影响了数学的发展，如群论的出现。
如今，矩阵的行列式和代数多项式的根模估计问题也仍备受国内外学者的青睐。总的来说，随着研究的越来越深入，对这些量的刻画也越来越细微，所用知识也越来越复杂。本文所论结果，只能说是“管中窥豹”，还有待继续对其深入研究。望同行多加斧正。
致谢
致谢
在短暂的几年多的学习和生活中，我得到了来自导师，亲人，朋友及同事对我多方面的关怀及帮助，使我得以顺利地满怀自信地投入到工作和学习中，且不断进步和提高，在此我将深深地感谢他们，并以此不断激励自己不断进取！
首先，感谢我的导师蒋泽云副教授，在我生活上，学习上给予我细心的关怀和极大的精神鼓励。每当我科研陷入困境时，是他给予我最诚挚的帮助和热情洋溢的鼓励。可以说我每一点小小的成绩都凝聚了他无数的心血！且他对工作和科研的一丝不苟，追求完美的精神也使我终身受用！他严谨的科学态度，渊博的专业知识，开阔而活跃的思维方法，高度的敬业精神以及对科学问题敏锐的洞察力都深深的影响了我。在此，谨向他表示衷心的感谢和敬意！
最后，我要深深感谢我的父母和家人，是他们的关爱和理解始终激励着我刻苦学习，不断进取！衷心感谢所有帮助或支持过我的人们！
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参考文献
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攻硕期间取得的研究成果
［１】刘伟，主对角占优矩阵行列式的估计与应用，已投《工程数学学报》［２］刘伟，有关代数多项式根的几个简单估计问题研究，已投《大学数学》
矩阵行列式和代数多项式根的计算问题作者：
学位授予单位：刘伟电子科技大学
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下载时间：2010年4月2日