图形推理之空间技巧
【分享】立方体折叠专题一
判断给定的平面图形是否属正方体表面展开图
1．最长的一行（或列）在中间，可为2、3、4个，超过4•个或长行不在中间的不是正方体表面展开图．
2．在每一行（或列）的两旁，每旁只能有1个正方形与其相连，超过1个就不是．
3．规律：
每一个顶点至多有3个邻面，不会有4个或更多个．
“一”形排列的三个面中，两端的面一定是对面，字母相同．
“L ”形排列的三个面中，没有相同的字母，即没有对面，只有邻面．
快速确定正方体的“对面” 口诀是：相间、“Z”端是对面 如下图，我们先来统一以下认识： 把含有图（1）所示或可由其作旋转后的图形统称为“I”型图；把所给平面图中含有（2）、（3）、（4）所示或可由其作旋转后的图形统称为“Z ”型图。
结论：
如果给定的平面图形能折叠成一个正方体，那么在这个平面图形中所含的“I”型图或“Z”型图两端的正方形（阴影部分）必为折成正方体后的对面。 应用上面的结论，我们可以迅速地确定出正方体的“对面”。
例1．如图，一个正方体的每个面上都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“超”相对的字是 ．
分析：自—信—沉—着—超，构成了竖着的Z 字型，所以“自”与“超”对应，故应填“自”．
三. 间二、拐角邻面知
中间隔着两个小正方形或拐角型 的三个面是正方体的邻面．
例2. 如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图可以是（ ）
分析：我们把画有圆的一面记为a 面，正方形阴影面记为b 面，三角形阴影面记为c 面． 在选项A 中，由Z 字型结构知b 与c 对面，与已知正方体bc 相邻不符，应排除；在选项B 中，b 面与c 面隔着a 面，b 面与c 面是对面，也应排除；在选项D 中，虽然a 、b 、c 三面成拐角型，是正方体的三个邻面，b 面作为上面，a 面为正面，则c 面应在正方体的左面，与原图不符，应排除，故应选（C ）．
四. 正方体展开图：
相对的两个面涂上相同颜色
五. 找正方体相邻或相对的面
1．从展开图找．（1）正方体中相邻的面，在展开图中有公共边或公共顶点．如或在正方形长链中相隔两个正方形．如
，•
中A 与D ．（2）在正方体中相对的面，
在展开图中同行（或列）中，中间隔一个正方形．如ABCD 中，A 与C ，B 与D ，或和中间一行（或列）•均相连的两正方形亦相对．
例1 右图中哪两个字所在的正方形，在正方体中是相对的面．
解 “祝”与“似”，“你”和“程”，“前”和“锦”相对． 例2 在A 、B 、C 内分别填上适当的数．
使得它们折成正方体后，对面上的数互为倒数，则填入正方形A 、B 、C •的三数依次是：
1111
（A ）2，3，1 （B ）3，2，1 1111
（C ）1，2，3 （D ）2，1，3
分析 A 与2，B 与3中间都隔一个正方形，C 与1分处正方形链两边且与其相连，选（A ）． 例3 在A 、B 、C 内分别填上适当的数，使它们折成正方体后，对面上的数互为相反数．
分析 A 与0，B 与2，C 和-1都分处正方形链两侧且与其相连，∴A ─0，B ─-2，C ─1．
例4 找出折成正方体后相对的面．
解 A 和C ，D 和F ，B 和E 是相对的面． 2．从立体图找．
例5 正方体有三种不同放置方式，问下底面各是几？
分析 先找相邻的面，余下就是相对的面．
上图出现最多的是3，和3相连的有2、4、5、6，余下的1就和3相对．再看6，•和6相邻的有2、3、4，和3相对的是1，必和6相邻，故6和5相对，余下是4和2相对，•下底面依次是2、5、1．
例6 由下图找出三组相对的面．
分析 和2相连的是1、3、5、6，相对的是4，和3相连的是2、4、5、6，相对的是1，和6相连的是1、2、3、4，相对的是5．
五. 由带标志的正方体图去判断是否属于它的展开图
例7 如下图，正方体三个侧面分别画有不同图案，它的展开图可以是（ ）．
分析 基本方法是先看上下，后定左右，图A 图B 都是□和+两个面相对，不合题意，图C “□”和“○”之上，从立体图看“＋”在右，符合要求．图D •“□”和“＋”之上，“○”在右，而立体图“○”应在左，不合要求，故选（C ）．
例8 下面各图都是正方体的表面展开图，若将它们折成正方体，•则其中两个正方体各面图案完全一样，它们是（ ）．
分析 首先找出上下两底，（1）是+和*，（2）是+和*，（3）（4）都是□和×，排除（1）（2），再检查侧面，（3）（4）顺序相同，所以选（3）（4）．
【分享】立方体折叠专题二
专题一的知识主要是介绍了如何寻找各种正方体及其展开图的对面。 专题二的内容将是具体的解题方法的介绍。
在这里，我不推荐用剪纸折叠的方法去做，因为不适合在考场使用；而橡皮擦也只适用部分题目。
首先要说明的是：数字在正式命题中一般不考虑方向性，此专题的数字考虑方向性，主要是因为阴影部分的绘图不是很方便，采用数字便与绘图和理解。 首先介绍几个知识点： ① 不相对则相邻。
结论1： 一个正方体有六个面，每个面都只有一个对面，因此，不是它的对面，那么就是邻面。
找对面的方法已经在立方体折叠专题（一）详细诠释。 比如：和1相对的面是3，那么其它的面全是1的邻面。 和6相对的面是4，那么其它的面全是6的邻面。
结论2：任意3个面，两两之间无对面，则它们可以折叠为正方体。 比如：(1、4、5) ，(2、3、6) 可以折叠为正方体 相反的：（1、4、6）不可以折叠为正方体，因为4和6是对面。 ② 三个固定的图形的面，旋转摆放后，只有三种视图。
视图二 视图一 视图三
下面详细演示视图一是如何变化成视图二的： ⒈ ABC 所在平面均顺时针移动。
⒉ 平面位置移动之后，平面内的字母顺时针旋转90°。
⒊视图一到视图三原理相同，不同的是全部逆时针转动。
重要结论：如果展开图能够折叠成以上的立方体，则只交换两个面的位置，立方体不成立。 例如：
③ 从平面到例题的基础模型。
提出基础模型，是因为这个模型是人人都能掌握的。
图1
为了做题方便，统一将图形变换为图1模式思考，这样可以避免视觉差异。
要注意的是：下图是不能折叠成以上正方体的，如果A 是我们看到的正面，那么B 面我们是看不到的，这是一个视觉差异。
④ 平面图的翻转等效方法。
我们需要验证的是：1 、图2能否折叠成图3？
图2 图
3
解析：
①题目只要我们判断1，5，6面的情况，因此其他平面略去不考虑。
②5，6两个面连在一起，因此，我们只需考虑将1面翻转到和5，6面相连。
③翻转的过程，就是然1面沿着2，3，5面的上边线翻滚过去，每翻滚1次旋转90°。 ④本题的1翻滚到5的右边，共记4次，360°，故1的方向不变。 ⑤将1翻滚到6的右边，化为标准形式。
图5
2 、图2能否折叠成图4？
图4
解析：有了上题的结论，此题就比较简单了。
根据图5和知识点②的三种视图旋转方法，正确的正方体应该是下图
结束语：
解题方法介绍完毕。以上的详细步骤，主要是写的思维的具体过程，熟练以后， 是可以省略很多步骤直接得出结论的。
从历年国考、省考真题来看，大部分的题目可以用知识点1：对面原则排除解题。
但是如果再考查立体思维，不排除题目难度加大的可能，所以需要系统掌握此知识点。 无论题目难度多大，立体思维的题目都将成为几秒钟就可以解决的送分题。
正方体折叠的展开图等价
刚看到的一道题：选出不能折成的一项是：
本题应该选择A ，因为命题人考虑了数字的方向。 那么如何不通过空间构想快速判断呢？
原图可以直接将 1 的正方形向左翻叠90°，等效于以下图形
将3翻转到5的右边，为什么3的位置不发生变化呢？理由是3实质经过了4*90°=360°的翻转，这个以后详细解释。
大家一定要掌握第①步的等效方法，可以大大提高解题速度。 相信第②步大家是很容易理解的。