八年级上册数学[平方根与立方根]例题

平方根与立方根

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一、知识回顾

1、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，

x 2=a (a ≥0) 时，我们称x 是a 的平方根，记做：x =±a (a ≥0) 。把x =+a 叫做x

的算术平方根。

① 当a =0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；

② 当a >0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：x =±a 。

③ 当a

2立方根：如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。记做：a ，

读作，3次根号a 。注意：这里的3表示的是开根的次数。一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。

3、平方根与立方根：每个数都有立方根, 并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。

二、典型例题

例1：下列语句中，正确的是（ ）

A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数

B ．负数没有立方根

C ．一个实数的立方根不是正数就是负数 D ．立方根是这个数本身的数共有三个

分析：根据平方根、立方根的定义即可判定；

解答：A 、一个非负数的平方根有两个，它们互为相反数，故选项A 错误；

B 、负数有立方根，故选项B 错误，

C 、一个数的立方根不是正数可能是负数，还可能是0，故选项C 错误， D 、立方根是这个数本身的数共有三个，0，1，-1，故D 正确． 故选D ．

例2：下列说法正确的是（ ）

A ．-2是（-2）2的算术平方根 C ．16的平方根是±4

分析：根据算术平方根的定义、平方根的定义、立方根的定义即可判定． 解答：A 、一个数的算术平方根为正，故选项A 错误；

B 、负数没有平方根，故选项B 错误； C 、16的平方根是±4，故选项正确；

D 、立方根的符号和本身的符号相同，即立方根只有一个根，故选项D 错误． 故选C ．

例3： 求下列各数的算术平方根 （1）64；（2）(-3) 2；（3）1

B ．3是-9的算术平方根 D ．27的立方根是±3

15

. 49

分析：根据算术平方根的定义，求一个数a 的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a 的正数.

解答：（1）因为8=64，所以64的算术平方根是8，即64=8；

2222

（2）因为(-3) =3=9，所以(-3) 的算术平方根是3，即(-3) =3；

2

（3）因为1

[1**********]158=，又() =，所以1的算术平方根是，即=.

[1**********]97

2

注意：这类问题应按算术平方根的定义去求. 要注意(-3) 的算术平方根是3，而不是3. 另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似

164

=1的错误. 497

例4：求下列各式的值

（1）±； （2）-； （3）

92

； （4）(-4) . 25

分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；－表示16的负平方根，

故其结果是负数；

992

表示的算术平方根，故其结果是正数；(-4) 表示(-4) 2的算

2525

术平方根，故其结果必为正数.

解答：（1）因为9=81，所以±81=±9.

（2）因为4=16，所以－=-4.

22

⎛3⎫993

（3）因为 ⎪=，所以=.

525⎝⎭255

222

（4）因为4=(-4) ，所以(-4) =4.

2

例5：已知|x-2|+

A ．第一象限

分析：根据非负数的性质列式求出x 、y 的值，从而得到点P 的坐标，再根据坐标位置的确定即可解答．

解答：根据题意得，x-2=0，y+3=0，

解得x=2，y=-3，

∴点P 的坐标是（2，-3）， ∴点P 位于第四象限． 故选D ．

例6：（2012•宁波）已知实数x ，y 满足=0，则x-y 等于（ ）

2

，则 点P （x ，y ）在直角坐标系中（ ）

B．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

A ．3

B ．-3 C ．1 D ．-1

分析：根据非负数的性质列式求出x 、y 的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 解答：根据题意得，x-2=0，y+1=0，

解得x=2，y=-1，

所以，x-y=2-（-1）=2+1=3． 故选A ．

例7：下列说法中正确的是（ ）

A ．4是8的算术平方根 B．16的平方根是4 C 6的平方根

分析：如果一个数x2=a（a ≥0），那么x 就是a 的一个平方根．根据定义知道一个非负数的平方根有两个，它们互为相反数．

解答：A 、∵4是16的算术平方根，故选项A 错误；

B 、∵16的平方根是±4，故选项B 错误； C 、∵ 6 是6的一个平方根，故选项C 正确； D 、当a ≤0时，-a 也有平方根，故选项D 错误． 故选C ．

例8：计算

（1）64的立方根是

3

（2）下列说法中：①±3都是27的立方根，②y =y ，③64的立方根是2，

D ．-a 没有平方根

④±8=±4。其中正确的有

2

（ ）

A 、1个 B、2个 C、3个 D、4个

分析：（1）我们知道4的3次方等于64，所以64的立方根就是4；

（2）①立方根只有一个，27的立方根是3，而不是正负3，-3的立方等于-27，错；

② 根据立方根的定义可知对；

③ 根号64开方等于8，立方根是2，正确；

④ 先把3次根号里面的化简等于3次根号下64，那么应该等于4，错。

三、解题经验

本节重点是要理解平方根和立方根的概念，很多同学对平方根的概念仍存在模糊不清，做题时才导致错误，不妨举两个例子认真推敲。

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