3.2-3一元二次不等式的解法(3)
高二数学必修五 编号:SX—05--09
§3.2 一元二次不等式及其解法(三)
【学习目标】掌握不等式的恒成立问题
这类问题涉及函数,方程,不等式等,一般处理方法如下:
(1)利用函数在区间的最值解决
(2)分离出参数再去求函数的最值来处理。
若mf(x)对一切xD恒成立,则m[f(x)]min;
若mf(x)对一切xD恒成立,则m[f(x)]max。
(3)变换主元:把已知范围的元素看成自变量,从而转化为一个简单易解的问题。
一、函数思想(转化为函数的最值问题)
1.一次函数f(x)=kx+b在xm,n上恒大于0
例1. 已知函数f(x)=2mx+m-3在
1,1上恒大于0,求实数m的取值范围
2.二次函数f(x)=ax2bxc
例2.(1)对一切实数x,
均有意义,求常数k的取值范围
(2)已知f(x)=x2-2ax+2 (a∈R),当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.
2axx2
3对任意的实数x恒成立,求t1t2的值 变式训练:(1)当a∈(t1,t2)时,不等式21xx
(2)若2x9xa0,对一切x∈2,3都成立,求实数a的取值范围
2
二.参数分离法
x22xa例3 已知函数f(x)= ,对任意的x∈1,,f(x)≥0都成立,求实数a的取值范围 x
变式训练: (1)关于x的不等式4x+m
x2-2x+3
(2) 已知函数f(x)= mx2mx1
① 若对于一切实数x,f(x)
② 对任意的x∈1,3,f(x)
三.变换主元法
2例4 若不等式mx2xm10
(1)对所有的实数x不等式恒成立,求实数m的取值范围.
(2)对满足m2的所有实数都成立,求实数x的取值范围.
2变式训练:若不等式x+px>4x+p-3对一切0≤p≤4均成立,试求实数x的取值范围.
能力提升:
(a1)xaxa0对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范围为1. 若不等式
2. 已知函数f(x)= lg(ax2ax1)
① 若函数的定义域为R,求实数a的取值范围
②若函数的值域为R,求实数a的取值范围
3. 已知函数f(x)= log2
范围
4. 已知函数f(x)=
2212xa4x,其中a∈R,若x∈,1时f(x)有意义,求实数a的取值ax22ax1的定义域为R,解关于x的不等式x2xa2a0