圆与椭圆综合题
1. 已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为
32
,两个焦点分别为F 1和F 2,
椭圆G 上一点到F 1和F 2的距离之和为12,圆C k :x 2+y 2+2kx -4y -21=0(k ∈R ) 的圆心为点A k .
(1)求椭圆G 的方程;(2)求∆A k F 1F 2的面积; (3)问是否存在圆C k 包围椭圆G? 请说明理由.
2. 已知椭圆x +
2
22
y b
左右顶点分别为A,C 上顶点为B ,过F,B,C =1(0
三点作 P ,其中圆心P 的坐标为(m , n ) . (1) 若FC 是 P 的直径,求椭圆的离心率;
(2)若 P 的圆心在直线x +y =0
上,求椭圆的方程.
3. 在平面直角坐标系xOy 巾,已知圆心在第二象限、半径为C 与直线y =x 相切于坐标原点O .椭圆
+=1与圆c 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. 2a 9
(1)求圆C 的方程;
(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ,使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长.若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
x
2
y
2
4. 如图,已知圆C :x +y =2与x 轴交于A 1
、 A 2两点,椭圆E 以线段A 1A 2为长轴,离
2
2
2
心率e =.
(Ⅰ)求椭圆E 的标准方程;
(Ⅱ)设椭圆E 的左焦点为F ,点P 为圆C 上异于A 1、A 2点O 作直线PF 的垂线交直线x =-2于点Q ,判断直线PQ 与圆C 置关系,并给出证明.
5. 已知平面直角坐标系中,A 1(—2,0) ,A 2(2,0)、A 3(1,3) ,△A 1A 2A 3的外接圆为C ;椭圆
22
C 1以线段A 1A 2为长轴,离心率e = (I )求圆C 及椭圆C 1的方程;
.
(II )设椭圆C 1的右焦点为F ,点P 为圆C 上异于A 1、A 2的动点,过原点O 作直线PF
的垂线交直线x =22于点Q ,判断直线PQ 与圆C 的位置关系,并给出证明。
x y C +=1(a >b >0) 上有一点M 到椭圆两焦点的距离和为10. 6. 离心率为的椭圆22
a b 5
4
2
2
以椭圆C 的右焦点F (c , 0) 为圆心,短轴长为直径的圆有切线PT (T 为切点),且点P 满足|PT |=|PB |(B 为椭圆C 的上顶点)。 (I)求椭圆的方程; (II )求点P 所在的直线方程l .
7. 已知椭圆C :
2x a
22
+
y b
22
b ) ,原点O 到直线FA
的距离为=1(a >b >0) 的左焦点F 及点A (0,
.
(1)求椭圆C 的离心率e ;
(2)若点F 关于直线l :2x +y =0的对称点P 在圆O :x 2+y 2=4上,求椭圆C 的方程及点P 的坐标.
8.. 如图,已知椭圆C :
+y =1(a >1) 的上顶点为A ,右焦点
a 22
M :x +y -6x -2y +7=0相切.
2
x
2
2
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q
两点,且AP ⋅AQ =0, 求证:直线l 过定点,并求出该定点N
第21题图
9.. 给定椭圆C :
x a
22
+
y b
22
=1 (a >b >0)
,称圆心在坐标原点O ,半径为
的圆
是椭圆C 的“伴随圆”.
已知椭圆C
的两个焦点分别是F 1, 0
C 圆上一动点M
1满足M 1F 1+M 1F 2=
()
、F 2
, 0,椭
)
(Ⅰ)求椭圆C 及其“伴随圆”的方程;
(Ⅱ) 过点P (0, m ) (m
C 的“伴随圆”所得的弦长为22.求出m 的值.
10. 已知圆C :(x +t ) +y =5(t >0) 和椭圆E :
2
2
x a
22
+
y b
22
=1(a >b >0) 的一个公共点为
B (0,2) .F 为椭圆E 的右焦点,直线BF 与圆C 相切于点B .
(Ⅰ)求t 值和椭圆E 的方程;
(Ⅱ)圆C 上是否存在点M ,使∆M BF 为等腰三角形?若存在,求出点M 的坐标.
11.. 若椭圆
x a
22
+
y b
22
=1(a >b >0) 过点(-3,2),离心率为
33
,⊙O 的圆心为原点,直
径为椭圆的短轴,⊙M 的方程为(x -8) +(y -6) =4,过⊙M 上任一点P 作⊙O 的切线PA 、PB ,切点为A 、B. (Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 若直线PA 与⊙M 的另一交点为Q ,当弦PQ 最大时,求直线PA 的直线方程;(5分) (Ⅲ) 求OA ⋅OB 的最大值与最小值.
22
12. 如图:已知直线l :y =kx +2(k 为常数)过椭圆
x a
22
+
y b
22
=1(a >b >0)的上顶点
B 和左焦点F ,直线l 被圆x +y =4
22
(圆过椭圆的上顶点B )截得的弦长为d (Ⅰ)
若d =,求k 的值;
(Ⅱ)若d ≥
13.
已知椭圆E :
x a
22
,求椭圆离心率e 的取值范围.
+
y
2
3
=1a >
(
的离心率e =
12
. 直线x =t (t >0)与曲线E 交于
不同的两点M , N , 以线段M N 为直径作圆C , 圆心为C . (1)求椭圆E 的方程;
(2)若圆C 与y 轴相交于不同的两点A , B ,求∆A B C 的面积的最大值.
14. 已知椭圆C 的两焦点为F 1(-1, 0) ,F 2(1, 0) ,并且经过点M 1,
⎝⎛
3⎫⎪. 2⎭
(1)求椭圆C 的方程;
(2)已知圆O :x 2+y 2=1,直线l :mx +ny =1,证明当点P (m , n )在椭圆C 上运动时,直线l 与圆O 恒相交;并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围.
15. 设椭圆M :
x a
22
+
y
2
2
=1a >
(
的右焦点为F 1,直线l :x =
a
2
2
与x 轴交于点A ,
a -2
若OF 1+2AF 1=0(其中O 为坐标原点).
(1)求椭圆M 的方程;
2
(2)设P 是椭圆M 上的任意一点,E F 为圆N :x +(y -2)=1的任意一条直径(E 、
2
F 为直径的两个端点),求PE ⋅PF 的最大值.