考研数学线性代数强化习题-逆矩阵与初等矩阵

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模块四 逆矩阵与初等矩阵

Ⅰ经典习题

一．逆矩阵的计算

9061、设A,B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知AB2A3B，A0150，

0021

则B2E

1

.

0

0

2、设A...

0an

3、设M

a1

0...

0a2............00

00

......

00

...，其中 ai0,i1,2,,n，求A1. an10

AB1

MA,DA,D可逆，其中皆为方阵，求证：可逆，并求. 

0D

二．伴随矩阵

4、设A为正交矩阵，则下列矩阵中不为正交矩阵的是（ ）. （A）A （B）A （C）A （D）2A

T

2

*

5、设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式中，必定成立的是（ ） （A）ABABAB （B）AB

2

2

*1

A1B1

**

（C）ABAB （D）ABBA

6、设A为n阶可逆矩阵(n2)，则(A)*

（A）|A|A （B）|A|A （C）|A|A （D）|A|A

7、已知三阶矩阵A的行列式为3，A为A的伴随矩阵，A为A的转置，如果kA的逆矩阵为A*

*

T

1

1111

1T1

AA，则k. 2

8、已知ABC

1

D，其中A00

000111111,C010D,02，则2

10000013

B*_____________.

100

**1

9、设A220,A为A的伴随矩阵,则(A).

34511111A*

10、设A，B123，则

23O149



O

. B*

*

10

11、假设A

00

21003210

43

，求A的所有代数余子式之和. 21

1111*

12、已知三阶矩阵A的逆矩阵为A121,试求其伴随矩阵A的逆矩阵.

113

13、设A为n阶可逆矩阵，A为A的伴随矩阵，证明：(A)(A). 14、设A为n阶方阵，则有|A||(A)|,(n2).

15、A为n(n3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，证明：下列结论：

*

*

*

*TT*

（1）aijAijAAE且A1; （2）aijAijAAE且A1.

T

T

三．可逆性的讨论

16、下列命题中

①如果矩阵ABE,则A可逆且AB；

②如果n阶方阵A,B满足(AB)E,则(BA)E； ③如果方阵A,B均n阶不可逆，则AB必不可逆 ④如果方阵A,B均n阶不可逆，则AB必不可逆

正确的是（ ）

（A）②，④ （B）①，④ （C）②，③ （D）①，③ 17、设A,B均为n阶矩阵，且ABAB，则下列命题中

①若A可逆，则B可逆；②若AB可逆，则B可逆；③若B可逆，则AB可逆； ④AE恒可逆

正确的有（ ）个.

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 18、设A为mn矩阵，B为nm矩阵，且mn则必有（ ） （A）AB0 （B）BA0

（C）ABBA （D）BABABABA 19、已知X,Y是相互正交的n维列向量，证明EXY可逆.

T

1

22

四．矩阵方程

1/51

20、设三阶方阵A、B满足关系式ABA6ABA，且A0

0

B_____________.

0

1/70，则 01/13

111

2

21、A011,且AABE.其中E是三阶单位矩阵，则B．

001

22、设(2ECB)AC，其中E是4阶单位矩阵，A是4阶矩阵A的转置矩阵，

1T1T

10B

00

则A .

2321

0123，C0012



0010

2

1000210

10 21

111，矩阵X满足AXA12X，其中A是的伴随矩阵，

123、设矩阵A11A

111

则X .

01011



24、已知XAXB,其中A111,B20,求矩阵X.

10153122

*

25、设A,B满足ABA2BA-8E，其中A024，求B.

001

五．初等变换与初等矩阵

a11

26、设Aa21a31

a12

a22a32

a13a21

aa23，B11a33a31a11

a22

a12a32a12

a23010

100，a13，P1

a33a13001

100

，则必有（ ）

P2010

101

（A）APP12B （B）AP2P1B （C）PP12AB （D）P2PA1B

27、设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的1倍加到第2列

110



得C，记P010，则（ ）

001

（A）CPAP （B）CPAP

1

1

（C）CPAP （D）CPAP

28、设A=α1,α2,α3为3阶矩阵，A1，B=α2,α1,2α3，试计算BA.

*

TT

29、设n阶矩阵A,B等价，则下列说法中，不一定成立的是（ ） （A）A0，则B0

（B）如果A可逆，则存在可逆矩阵P，使得PBE（C）如果AE，则B0

（D）存在可逆矩阵P与Q，使得PAQB

Ⅱ参考答案

一．逆矩阵的计算

1、【解析】：由AB2A3B移项并提公因式可得AB2E3BO.

再在等式两边同时加上6E可得AB2E3B2E6E，也即

A3EB2E6E，进一步有

A3E

B2EE. 6

101

A3E1

020 可知B2E6003



0

0

2、【解析】：A...

0an

a10...00

0...

a2.........00

.........

00

0...Can10

B

0

a10



a2

其中C(an)，B

......

00a11

1

则C1(an)，B1

...0

又因为

1

0

...0

......



...an10...1a2.........0

 1...an1

00...A1O

OOB

1AOB

O

故A1

B

1

01a1

C1

0O

0

001a20

0...0...0...

000

1

0...

an1

1an0. 00

3、【解析】：M可逆MA.D0A0,D0A,D可逆. 设M的逆矩阵为M1X

X1

X3X2E10

，由于,得 MXX40E2

1

AX1BX3E1X1AAXBXO11

A12X2ABD41

，所以M

DXOXO3O3XD1 DX4E24

A1BD1

. 1

D

二．伴随矩阵

4、【答案】：（D）

【解析】：A为正交矩阵，可知AAAAE. 因此，A

T

T

T

A

TT

AAE，A

T

TT



ATAATE，可知AT为正交矩阵.

T

A2A2AAATATAATE，A2A2ATATAAATAE，故A2也为正

T

交矩阵.

AAAAA

T

*1T

，

2

故

AA

*2

*T

AATAAAATAAE

2

2

2

，

A*A*AAAATAAATAE.由AATATAE可知，A1.因此

A*A*A*A*E.可知A*也为正交矩阵.

T

T

T

最后，2A2A4AA4E，可知2A不为正交矩阵.

T

5、【答案】：（D） 【解析】：

AB

*

ABABABB1A1B*A*

1

同时，易知其余选项均不成立，故选（D）. 6、【答案】：（D）

【解析】：当B为n阶可逆矩阵时，有B*|B|B1，故

、（B）、（C）都不对. (A1)*|A1|(A1)1|A1|A，从而（A）

【评注】：当A为n阶可逆矩阵时，一般直接使用公式A*|A|A1. 7、【答案】：

8

21

3

3

1311

【解析】：由于A3，可知ATATA，A*AA13A1.

2822

也即kA的逆矩阵为A*

1T121AAA1. 28

1

由逆矩阵的公式可得：kA

k1A1，可知k

8

. 21

002

8、【答案】： 035

633

【解析】：B

1



B*|B|

B*|B|B1

13

15

 26

11220

0

11111 B(ADC)CDA0

10 所以B*601

1

3002

15

035 26

63311

22

1101

9、【答案】：

5310

01

525

00 12

01

525

00 12

1

10A1*1*1

【解析】：AAA(A)

A5

310

10、【答案】：

4AO



O2B

A*

【解析】：易知A与B均可逆，可知

OAO

*

O

也可逆，故 *B

O

 *1B

OA

B*O

21

*

*

O

B*

AO

*

A*1

O**ABB*O



1

A

1AA31B

OO4AO

 1

O2BBB

*

11、【分析】：伴随矩阵的元素就是矩阵A的所有代数余子式，计算出A，再将所有元素相加即可.

12100121，由于A11，可知 【解析】：先计算出A1

00120001

1210

0121.A的所有代数余子式之和即为A*所有元素之和，应填0. A*

00120001

12、【解析】：(A)

*1

AA

11



A1(A1)1.计算可得A12，

52

(A1)11

1211

5212



10.故(A*)1220.

10110

2

13、【证明】：(A*)T(|A|A1)T|A|(A1)T|A|(AT)1|AT|(AT)1(AT)* 14、【证明】：设A(aij),|A|的元素aij的代数余子式Aij，则|A|的元素aij的代数余子式 为Bij(1)

n1*

Aij. 于是，(A)*(1)n1A*.

n1

所以，|(A)||(1)

A*|[(1)n1]n|A*||A*|.

*

1

【评注】：本题没有说明A为可逆矩阵，故不能使用公式|A|AA. 如果加上条件A为 可逆矩阵，也可以这样求解(A)AA

*

1

1AA11

n

n1

A*，故

(A)1

*

n1

n1

A1A*|A*|.

*

T

*

*

n

T*

15、【证明】：（1）当aijAij时，有AA，则AAAAAE.由于A为n阶非零

n

n

实矩阵，即aij不全为0，所以trAA



T

a

i1j1

2

ij

0.而trAATtrAEnA，这

1,A1.

T

T

说明A0.在AAAE两边取行列式，得A

T

n2

*

反之，若AAE且A1，则AAAEE且A可逆，于是，AA

A*A,ATA*,即aijAij.

T*

（2）当aijAij.时，有AA，则AAAAAE.由于A为n阶非零实矩阵，

n

n

T*

即aij不全为0，所以A

T

aA

iji1

ij

2

aij0.在ATAAE两边取行列式得A1.

i1

T**

反之，若AAE且A1，由于AAAEE，于是，AAAA.进

一步，由于A可逆，得AA，即aijAij.

T*

三．可逆性的讨论

16、【答案】：（A）

【解析】：①如果A、B均为n阶矩阵，命题当然正确，而现在的问题是题中没有n阶矩阵

这一条件，故①不正确.例如

10

10010，

01 

0100001



显然A不能讨论可逆性.类似地，对于ABE，虽然|AB|1，但能否用行列式乘法公式呢？应检查AB是否为n阶矩阵，有的考生不注意公式成立时的条件，随意用公式是不妥

的.

A,B是n阶方阵，(AB)2E，即(AB)(AB)E，可知A,B均可逆.且ABAB1，从

2

而BABAE.即(BA)E.即②正确.

令A

100

,B0000

， 2

10

是可逆的，可知③不正确. 02

虽然A,B都不可逆，但AB

由于A,B均n阶不可逆，知|A||B|0，那么由行列式乘法公式知

|AB||A||B|0

故AB必不可逆. ④正确.

【评注】：若A,B,C是n阶矩阵，且ABCE. 则|A||B||C|1A,B,C均可逆.

那么

ABCEBCABCAE

右乘C

1

左乘A

1

1

右乘A

ABCEABC

1

左乘C

CABE

要学会这种“旋转”变形法.

17、【答案】：（D） 【解析】：

当AB可逆时，ABAB0，故B0，因此B可逆，可知②是正确的. 由于AEBA，可知当A可逆时，AEB0，故B0，因此B可逆，可知①是正确的.

类似地，当B可逆时，A可逆，故ABAB0，因此AB可逆，故AB也可逆，

可知③是正确的.

最后，由ABAB可知AEBAO，也即AEBAEE，进一步有

AEBEE，故AE恒可逆.可知④也是正确的.

综上，四个命题都是正确的，故选（D）. 18、【答案】：（A）

【解析】：由于mn，则有rABrAnm，可知矩阵AB不满秩，因此（A）正确.由于BA是n阶矩阵，是否满秩无法确定，故不一定有，故（B）错误.

BA0由于A，B不为方阵，因此没有等式ABABBA.事实上，由上面的讨论过程可知，当BA满秩时，有AB0BA，故（C）不正确.

BABABABABA

nn1

，可知，等式BABABABA也不一定成立，故（D）错

误.

综上，唯一正确的选项是（A）.

19、【证明】：方法一：记AXY，则A2XYT

T

XYXYXY

T

T

T

O，于是A的

T

特征值全是零，那么EA的特征值全是1，所以EXY可逆.

TT2

方法二：令AEXY,BXY,由BO有AEO，那么A2EAE，

2

则AEXY可逆.

T

四．矩阵方程

3/2

20、【答案】： 0

0

1

010

00 1/2

【解析】：ABA6ABA

(A1E)BA6A

(A1E)B6E B6(A1E)1

1/5A0

005



1/70 A10

001/13006

0010

070

00 13

0



1/60 01/120

4



A1E0

03/2B0

0

01/40 (A1E)10

0120

0 1/2

2

11

21、【解析】因|A|0, 在AABE两边左乘A,得ABA. 即BAA

1

又由

111

,

A011

001

得

112

,

A1011

001

从而

111112021

01000

B0111

000001001

100

210

22、【答案】：

121

01200 01

T

【解析】：用矩阵C左乘已知矩阵方程的两端，有(2CB)AE.对上式两端取转置，有

A(2CTBT)E. 因为A是4阶方阵，故

12

A(2CTBT)1

34000100

210100

121210

321012

1

0

0. 01

1101 01123、【答案】：

4

101

【解析】：由AAAE，用矩阵A左乘方程的两端，有AXE2AX，即

(AE2A)XE.

据可逆定义，知X(AE2A)1.由于

111111

，

A1114，AE2A2111

111111

故

1101. X0114

101

24、【解析】：由XAXB可得EAXB，容易检验EA是可逆的，故有

0211131

12020.

X(EA)1B3213

0115311

25、【解析】：由于方程中有A，故可以考虑利用伴随矩阵的性质，乘以矩阵A进行化简：给方程两边同时左乘A可得ABA=2ABA-8A，易知A2，则有-BA=ABA-4A.再在该等式两边同时右乘易知A可得-B=AB-4E，也即A+EB=4E.

1*

2461

这样B=4A+E048.

002

五．初等变换与初等矩阵

26、【答案】（C） 【解析】

P1是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵，P2是将单位矩阵的第一行加到第三行所得

初等矩阵，而B是由A先将第一行加到第三行，然后再交换第一、二行两次初等交换得到

C. 的，因此PP12AB.故正确选项为

27、【答案】（B）

【解析】

将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P，由初等变换与初等矩阵的关系，有

110

BPA.令矩阵Q010，则将E的第1列的1倍加到第2列即得矩阵Q，于是

001110

11

有CBQ，从而有CPAQ，由于P010Q.所以，CPAQPAP，

001

故只有选项B正确.

28、【解析】：由题意易知，矩阵B是将矩阵A的第一列和第二列交换，再将A的第三列乘以非零常数2得到的，则有

B=AE1,2E3(2)

.

由于A1，由行列式的性质可知B2，因此矩阵A,B都可逆. 可知B=BB

*

1

111

2AEE(2)2E3E1,2A. 1,23

2

111

故B*A2E3EAA2E31,2E1,2

2

2



101002021100200.

0011001

2

29、【答案】（A）

【解析】：两矩阵等价的充要条件是秩相同.

当A可逆时，则有rAn，因此有rBn，也即B是可逆的，故BBE，可见（B）

1

中命题成立.AE的充要条件也是rAn，此时也有rBn，故B0，可见（C）中命题也是成立的.

矩阵A,B等价的充要条件是存在可逆矩阵P与Q，使得PAQB，可知（D）中命题也

是成立的.

故唯一可能不成立的是（A）中的命题.事实上，当A0时，我们也只能得到rBn，也即B0，不一定有B0.故选（A）.

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