2017年上海市徐汇区高三一模数学试卷
2016-2017学年第一学期徐汇区学习能力试卷
高三年级数学学科
2016．12
一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分（或5分），否则一律得0分． 1. lim
2n -5
=____________．
n →∞n +1
2. 已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，若C 经过点M (1,3) ，则其焦点到准线的距离为____________． 3. 若线性方程组的增广矩阵为
⎛a 02⎫⎧x =2
⎪，解为，则a +b =____________． ⎨⎪
⎝01b ⎭⎩y =1
4. 若复数z
满足：i ⋅z i （i 是虚数单位），则z =______． 5. 在(x +
26
) 的二项展开式中第四项的系数是____________．（结果用数值表示） x 2
6. 在长方体ABCD -A 若AB =BC =1, AA 则异面直线BD 1与CC 1所成角的大1BC 11D 1中，
1小为____________．
x
⎧x ≤0⎪2,
7. 若函数f (x ) =⎨2的值域为(-∞,1]，则实数m 的取值范围是____________．
⎪⎩-x +m , x >0
1
8. 如图：在∆ABC 中，若AB =AC =3,cos ∠BAC =, DC =2BD ，则AD ⋅BC =____________．
2
2
9. 定义在R 上的偶函数y =f (x ) ，当x ≥0时，f (x ) =lg(x -3x +3) ，则f (x ) 在R 上的零点个
数为___________个．
10. 将6辆不同的小汽车和2辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某8个内，其中2辆卡车必须停在A 与B 的位置，那么不同的停车位置安排共有____________种？（结果用数值表示）
11. 已知数列{a n }是首项为1，公差为2m 的等差数列，前n 项和为S n ．设b n =数列{b n }是递减数列，则实数m 的取值范围是____________．
S n
(n ∈N *) ，若n
n ⋅2
2
12. 若使集合A =x |(kx -k -6)(x -4) >0, x ∈Z 中的元素个数最少，则实数k 的取值范围是
{}
_______________．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．
13. “x =k π+
π
4
(k ∈Z ) ”是“tan x =1”成立的（ ）
（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件
14.
若1（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程x +bx +c =0的一个复数根，则（ ） （A ）b =2, c =3 （B ）b =2, c =-1 （C ）b =-2, c =-1 （D ）b =-2, c =3 15. 已知函数f (x )为R 上的单调函数，f
-1
2
(x )是它的反函数，点A (-1, 3)和点B (1, 1)均在函 数
f (x )的图像上，则不等式f -1(2x )
（A ）(-1,1) （B ）(1,3) （C ）(0,log 23) （D ）(1,log 23)
x 2y 2y 2x 2
+=1，+=1内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上的16. 如图，两个椭圆
259259
任意一点，给出下列三个判断：
① P 到F 1(-4,0) 、F 2(4,0)、E 1(0,-4) 、E 2(0,4)四点的
距离之和为定值；
② 曲线C 关于直线y =x 、y =-x 均对称； ③ 曲线C 所围区域面积必小于36.
上述判断中正确命题的个数为（ ）
（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个
三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．
如图，已知PA ⊥平面ABC ，AC ⊥AB ，AP =BC =2， ∠CBA =30︒，D 是AB 的中点．
（1）求PD 与平面PAC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求∆PDB 绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体的体积（结果保留π）．
18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数f (x ) =
2x x
-sin x
． 1
（1）当x ∈⎢0,
⎡π⎤
时，求f (x ) 的值域； ⎥⎣2⎦
A 2
（2）已知∆ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c
，若f () =a =4, b +c =5，
求∆ABC 的面积．
19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
某创业团队拟生产A 、B 两种产品，根据市场预测，A 产品的利润与投资额成正比（如图1），B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）．（注：利润与投资额的单位均为万元） （1）分别将A 、B 两种产品的利润f (x ) 、g (x ) 表示为投资额x 的函数；
（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A 、B 两种产品的生产，问：当B 产品的投资
额为多少万元时，生产A 、B 两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？
20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第
3小题满分6分．
x 2
-y 2=1的左、右焦点分别为F 1, F 2，过F 2作直线l 交y 轴于点Q ． 如图：双曲线Γ：3l （1）当直线l 平行于Γ的一条渐近线时，求点F 1到直线的距离；
（2）当直线l 的斜率为1时，在Γ的右支上是否存在点P ，满足F =0？若存在， 1P ⋅FQ 1．．．
求出P 点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若直线l 与Γ交于不同两点A 、B ，且Γ上存在一点M ，满足OA +OB +4OM =0
（其中O 为坐标原点），求直线l 的方程．
21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第
3小题满分8分．
正数数列{a n }、{b n }满足：a 1≥b 1，且对一切k ≥2, k ∈N *，a k 是a k -1与b k -1的等差中项，b k
是a k -1与b k -1的等比中项．
（1）若a 2=2, b 2=1，求a 1, b 1的值；
（2）求证：{a n }是等差数列的充要条件是{a n }为常数数列；
（3）记c n =|a n -b n |，当n ≥2(n ∈N *) 时，指出c 2+ +c n 与c 1的大小关系并说明理由．
参考答案
一、填空题：(共54分，第1题至第6题每小题4分；第7题至第12题每小题5分)
9π 3. 2 4. 2 5. 160 6. 24
3
7. 0
2
1. 2 2.
11. 0≤m
二、选择题：(共20分，每小题5分)
13. C 14. D 15. C 16. C
三、解答题
17、解：（1） PA ⊥平面ABC ，PA ⊥AB ，又 AC ⊥AB ，
∴AB ⊥平面PAC ，
所以∠DPA 就是PD 与平面PAC 所成的角. „„„4分
在Rt ∆PAD 中，PA =2, AD =所以∠DPA =arctan
3
，„„„„„„„„„„„„„„„6分 2
3， 4
. „„„„„„„„„8分 4
（2）∆PDB 绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体，是以AB 为底面半径、AP 为高的圆锥中
挖去一个以AD 为底面半径、AP 为高的小圆锥. „„„10分
即PD 与平面PAC 所成的角的大小为arctan
113
所以体积V =π⋅(3) 2⋅2-π⋅() 2⋅2=π. „„„„„14分.
3322
18、解：（1
）由条件得：f (x ) =x +sin x ⋅cos x =2
1+cos 2x 1
+sin 2x ， 22
即f (x ) =
1„„„2分
cos 2x +sin 2x 2π，„„„3分 =sin(2x +) +
32
因为x ∈
[0,
π
π]，所以sin(2x +) ∈[-
232
因此f (x ) =sin(2x +
π
3
)
+1]„„„6分
（2
）由f () =
sin(A +因为A ∈(0,π) ，所以A +
A
2
π
3
) =
， π
π4ππ2ππ∈(, ) ，所以A +=，即A =. „„„8分 333333
22
由余弦定理得：b +c -bc =16，所以(b +c ) 2-3bc =16，
又b +c =5，解得bc =3，„„„12分
所以S ∆ABC =
1. „„„14分 bc sin A =
219、解：（1）f (x ) =
1
x (x ≥0) . „„3分，
4
g (x ) =
x ≥0) . „„„6分 （2）设B 产品的投资额为x 万元，则A 产品的投资额为（10-x ）万元，
创业团队获得的利润为y 万元，
1
(10-x )(0≤x ≤10) . „„„10分
4125515265
(0≤t ≤， =t ，y
=-t +t +0≤t ≤，即y =-(t -) +
4424216
5
当t =，即x =6.25时，y 取得最大值4.0625„„„13分
2
则y =g (x ) +f (10-x ) =
()
答：当B 产品的投资额为6.25万元时，创业团队获得的最大利润为4.0625万元. „„14分
20、解：（1）易得F 1(-2,0) ，F 2(2,0)，Γ
的渐近线方程为y =±
x ，由对称性，
3
不妨设l : y =
x -2) ,
即x -2=0，------------------2分 l
所以，F 1(-2,0) 到的距离d =
=2.-----------------------------4分
（2）当直线l 的斜率为1时，l 的方程为y =x -2，------------------------5分 因此，Q (0,-2) ， -----------------------------6分
又F =(2,-2) ， 1(-2,0) ，故FQ 1
设Γ右支上的点P 的坐标为(x , y ), (x >0) ，则F ， 1P =(x +2, y )
-----------------------8分
2(x +2) -2y =0 由F ，得，P ⋅FQ =011
2x 2
又-y 2=1，联立消去y 得2x +12x +15=0，
3
由根与系数的关系知，此方程无正根，
因此，在双曲线Γ的右支上不存在点P ，满足F =0. --------------------10分1P ⋅FQ 1
（3）设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，则M (
-x 1-x 2-y 1-y 2
, ) ， ----------------11分 44
-x 1-x 22
)
-y -y 由M 点在曲线上，故-(12) 2=1(*)
34
(
设l : y =k (x -2)
联立l 与Γ的方程，得(1-3k ) x +12k x -12k -3=0---------------------------12分
2
2
2
2
由于l 与Γ
交于不同两点，所以，k ≠. -12k 2
所以，x 1+x 2=， 2
1-3k
因此，y 1+y 2=k (x 1-2) +k (x 2-2) =k (x 1+x 2) -4k =
-4k
. ------------14分 2
1-3k
-12k 22-4k 2
) -3() =48， 从而(*)即为(
1-3k 21-3k 2
解得k =±
. 2
即直线l
的方程为x -2=0 . -------------------------------------------16分
21、解：（1
）由条件得2=
a 1+b 1
，1=a
1=2b
1=2分 2
（2）充分性：当{a n }为常数数列时，{a n }是公差为零的等差数列；--------------5分 必要性：当{a n }为等差数列时，a m -1+a m +1-2a m =0对任意m ≥2, m ∈N *恒成立，
----------------------------------------------------------------------6分
而a m -1+a m +1-2a m
=a m -1+=
1
(a +b ) -(a m -1+b m -1) 2m m
1
(a m +b m ) -b m -1
2
=
1a m -1+b m -1(+-b m -1
22
，
>
0=0，即a m -1=b m -1，-------------9分 从而a m =
a m -1+b m -1a m -1+a m -1
==a m -1对m ≥2, m ∈N *恒成立, 22
所以{a n }为常数列. ------------------------------------------------------------------------10分
*
（3）因为任意n ∈N , n ≥
2，a n =
a n -1+b n -1
≥=b n ，--------------12分 2
又已知a 1≥b 1，所以c n =a n -b n . 从而a n +1-b n +1
=
a n +b n 111
=(a n +b n -≤(a n +b n -2b n ) =(a n -b n ) ，2222
1
c n ， ----------------------------------------------------------------------------------14分 2111
则c n ≤c n -1≤2c n -2 ≤…≤n -1c 1，----------------------------------------------16分
222
111
所以c 2+ +c n ≤c 1+ +n -1c 1=(1-n -1) c 1
222
即c n +1≤