数学公式定义大全
定义的统一:在一个平面内, 有一条直线和一个非此直线上的定点. 到此定点的距离和定直线距离之比为一个定值e 的点的集合为圆锥曲线.
再次, 当e=0时, 所求轨迹为圆, 焦点是圆心. 当01时, 所求轨迹为双曲线
第二定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离之比等于常数e(e>0) 的点的轨迹是椭圆(0<e <1时) 、双曲线(e>1时) 或抛物线(e=1时) . 抛物线的弦长公式AB=x1+x2+p,x1,x2为直线交于抛物线上的两点
椭圆的弦长公式与圆的弦长公式都一样, 为AB=根号下(1+K的平方)*(x1-x2)的平方,k 为直线的斜率,x1,x2为直线交于曲线上的两点
焦半径: 椭圆和双曲线:a ±ex (e 为离心率。x 为该点的横坐标,小于0取加号,大于0取减号)
抛物线:p/2+x (以y^2=2px为例) (以上椭圆和双曲线以焦点在x 轴上为例.)
弦长公式:设弦所在直线的斜率为k, 则弦长=根号[(1+k^2)*(x1-x2)^2]=根号[(1+k^2)*((x1+x2)^2-4*x1*x2)] 用直线的方程与圆锥曲线的方程联立,消去y 即得到关于x 的一元二次方程,x1,x2为方程的两根,用韦达定理即可知x1+x2和x1*x2,再代入公式即可求得弦长。 抛物线通径=2p 抛物线焦点弦长=x1+x2+p 用焦点弦的方程与圆锥曲线的方程联立,消去y 即得到关于x 的一元二次方程,x1,x2为方程的两根
椭圆上任一点到焦点的距离叫焦半径
椭圆和双曲线的焦半径方程:a ±ex (e 为离心率。x 为该点的横坐标,小于0取加号,大于0取减号)
准线:椭圆和双曲线:x=(a^2)/c (焦点在X 轴),y=(a^2)/c(焦点在Y 轴)
抛物线:x=p/2(以y^2=2px为例)(以X 轴为焦点)
弦长公式:设弦所在直线的斜率为k, 则弦长= 根号[(1+k^2)*(x1-x2)^2]=根号[(1+k^2)*((x1+x2)^2-4*x1*x2)]
椭圆的通径公式为:2b^2/a
直线与圆锥曲线相交于点AB ,则弦AB 的长:│AB │=√
[(xA+xB)^2-4xA²xB](1+k^2) .
xA 、xB 就是两个交点A ,B 的横坐标。k 是直线的斜率(也就是直线AB )。 圆锥曲线与直线相交,有两个不同的交点,焦点为A ,B
交点的横坐标为XA ,XB ,圆锥曲线与直线方程联立方程组,消掉Y ,就可以得到关于X 的一元二次方程,两个解是XA ,XB ,K 就是直线的斜率.弦长公式适用的范围就是圆锥曲线与直线有两个不同的交点,也就是△>0
此公式适用范围极广, 只要xA,xB 代表A,B 两点的横坐标, 那么此公式求出来的便是弦AB 的长, 即不一定是直线和二次曲线相交才能用此公式.
适用范围: (1)任意与直线有2个或2个以上的曲线, 前提:2交点可求或横坐标之差可求
(2)任意有2个或2个以上的交点的任意几条曲线, 前提:直线AB 方程可求或直线斜率和2点横坐标之差可求
二次函数与x 轴相交的两点的距离把
x1+x2=-b/a x1*x2=c/a (x1-x2)^2=b^2/a^2-4c/a=(b^2-4ac)/a^2 |x1-x2|=sqrt(b^2-4ac)/|a|
跟号下(b*b-4ac)/绝对值a=该二次函数的两根差的绝对值, 即X1-X2的绝对直, 你把等号两边同时平方, 有伟大定理就可以验证, 二次函数的玄长就是X1-X2的绝对直 =1x1-x21=√(x1-x2)^2=√(x1+x2)^2-4x1x2=√(-b/a)^2-4c/a =√b^2-4ac/1a1
公式一:d = √(1+k²)|x1-x2| = √(1+k²)[(x1+x2)² - 4x1x2] = √(1+1/k²)|y1-y2| = √(1+1/k²)[(y1+y2)² -
4y1y2]
关于直线与圆锥曲线相交求弦长,通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程,化为关于x(或关于y) 的一元二次方程,设出交点坐标,利用韦达定理及弦长公式√(1+k²)[(x1+x2)² - 4x1x2]求出弦长,这种整体代换,设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的,然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐,利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。
公式二:d =√[(1+k²)△/a²] =√(1+k²)√(△)/|a|
在知道圆和直线方程求弦长时,可利用方法二,将直线方程代入圆方程,消去一未知数,得到一个一元二次方程,其中△为一元二次方程中的 b²-4ac ,a 为二次项系数。
补遗:公式2符合椭圆等圆锥曲线 不光是圆。公式/|a|是在整个平方根运算后再进行的„„(平方了再除)
2式可以由1推出,很简单,由韦达定理,x1+x2=-b/a x1x2=c/a 带入再通分即可„„
在知道圆和直线方程求弦长时也可以用勾股定理(点到直线距离、半径、半弦)。
三角形中心问题: 重心定理:三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的 离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。 外心定理:三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。 垂心定理:三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。 内心定理:三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。
旁心定理:三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。 平行四边形:⑴连接平行四边形各边的中点所得图形是平行四边形。 ⑵如果一个四边形的对角线互相平
分,那么连接这个四边形的中点所得图形是平行四边形。 ⑷过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形。 ⑸平行四边形是中心对称图形,对称中心是两对角线的交点。
平行四边形中常用辅助线的添法
一、连对角线或平移对角线 二、过顶点作对边的垂线构造直角三角形
三、连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或中位线
四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形。
五、过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等
平行四边形的对角线互相平分
矩形: 4.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等 菱形: 对角线互相垂直且平分; 四条边都相等; 对角相等, 邻角互补; 每条对角线平分一组对角.
椭圆: 椭圆的标准方程有两种,取决于焦点所在的坐标轴:
1)焦点在X 轴时,标准方程为:x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b)
2)焦点在Y 轴时,标准方程为:x^2/b^2+y^2/a^2=1 (a>b)
其中a>0,b>0。a 、b 中较大者为椭圆长半轴长,较短者为短半轴长(椭圆有两条对称轴,对称轴被椭圆所截,有两条线段,它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴)当a>b时,焦点在x 轴上,焦距为2*(a^2-b^2)^0.5,焦距与长. 短半轴的关系:b^2=a^2-c^2 ,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c
又及:如果中心在原点,但焦点的位置不明确在X 轴或Y 轴时,方程可设为mx^2+ny^2=1(m>0,n >0,m ≠n) 。既标准方程的统一形式。
椭圆的面积是πab 。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸,它的参数方程是:
x=acosθ , y=bsinθ
标准形式的椭圆在x0,y0点的切线就是 : xx0/a^2+yy0/b^2=1
椭圆的面积公式 S=π(圆周率) ³a ³b(其中a,b 分别是椭圆的长半轴, 短半轴的长).
或S=π(圆周率) ³A ³B/4(其中A,B 分别是椭圆的长轴, 短轴的长).
椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比,设椭圆上点P 到某焦点距离为PF ,到对应准线距离为PL ,则 e=PF/PL
椭圆的准线方程 x=±a^2/C 椭圆焦半径公式 x=a+ex1 x2=a-ex1 椭圆的焦准距 :椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线x=+a^2/C)的距离, 数值=b^2/c
椭圆过右焦点的半径r=a-ex , 过左焦点的半径r=a+ex
椭圆的通径:过焦点的垂直于x 轴(或y 轴)的直线与椭圆的两焦点A,B 之间的距离,数值=2b^2/a
点与椭圆位置关系 点M (x0,y0) 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 点在圆内: x0^2/a^2+y0^2/b^2<1 点在圆上: x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 点在圆外: x0^2/a^2+y0^2/b^2>1
直线与椭圆位置关系
y=kx+m ① x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②
由①②可推出x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1
相切△=0 相离△<0无交点 相交△>0 可利用弦长公式:A(x1,y1) B(x2,y2)
|AB|=abs(1+k^2)|x1-x2|
椭圆通径(定义:圆锥曲线(除圆外)中,过焦点并垂直于轴的弦)公式:2b^2/a
补充: 关于三角形重心的几个重要定理
1. 重心是三角形三边中线的交点,重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1
2. 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等
3. 重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
外心的性质: 1、若O 是△ABC 的外心,则∠BOC=2∠A (∠A 为锐角或直角)或∠BOC=360°-2∠A (∠A 为钝角)。
3、当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部;当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部;当三角形为直角三角形时,外心与斜边中点重合。
4、计算外心的重心坐标应先计算下列临时变量:d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2;c=c1+c2+c3。重心坐标:( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c )。 垂心的性质: 1、三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O 、重心G 和垂心H 三点共线,且OG ∶GH=1∶2。(此直线称为三角形的欧拉线(Euler line)) 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
定律证明 :已知:ΔABC 中,AD 、BE 是两条高,AD 、BE 交于点O ,连接CO 并延长交AB 于点F ,求证:CF ⊥AB
证明: 连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A 、B 、D 、E 四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE
∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO ∽ΔADC
∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD ∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF ⊥AB
因此,垂心定律成立!
三角形的三条内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心,即三角形内切圆的圆心。注意到内心到三边距离相等(为内切圆半径),内心定律其实极易证。
性质: 若三边分别为l1,l2,l3,周长为p ,则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。
直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。
还有1个重要的性质: 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。三角形的旁切圆(与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆)的圆心,叫做旁心。
性质: 每个三角形都有三个旁心。 它到三边的距离相等。
如图,点M 就是△ABC 的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心,而且一定在三角形外。 附:三角形的中心:只有正三角形才有中心,这时重心,内心,外心,垂心,四心合一。
三角形的性质 1. 三角形的任何两边的和一定大于第三边 ,由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。 3.等腰三角形是三线合一的,即等腰三角形的顶角平分线,底边的中线,底边的高。 4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方和--勾股定理。斜边的中线等于斜边的一半。 5.三角形共有四心:内心(三条角平分线的交点)、外心(三条中垂线的交点)、重心(三条中线的交点)以及垂心(三条高所在直线的交点)旁心,三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点.“你设计,我建议;我设计,你建议——全民互动设计皆在 6.三角形的外角(三
角形内角的一边与其另一边所组成的角)等于与其不相邻的内角之和。 三角形为什么具有稳定性? 任取三角形两条边,则两条边的非公共端点被
第三条边连接 ∵第三条边不可伸缩或弯折 ∴两端点距离固定 ∴这两条边的夹角固定 ∵这两条边是任取的
∴三角形三个角都固定,进而将三角形固定 ∴三角形有稳定性
任取n 边形(n≥4) 两条相邻边,则两条边的非公共端点被不止一条边连接 ∴两端点距离不固定 ∴这两边夹角不固定 ∴n 边形(n≥4) 每个角都不固定,所以n 边形(n≥4) 没有稳定性
四边形 :四边形的内角和和外角和均为360度
依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变,中点四边形的形状始终是平行四边形。菱形的中点四边形是矩形,矩形的中点四边形是菱形,正方形的中点四边形是正方形,平行四边形的中点四边形是平行四边形。
多边形 多边形内角和等于(n-2)³180 外角和等于360
(一)椭圆周长计算公式 椭圆周长公式:L=2πb+4(a-b)
椭圆周长定理:椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb )加上四倍的该椭圆长半轴长(a )与短半轴长(b )的差。
(二)椭圆面积计算公式 椭圆面积公式: S=πab 椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a )与短半轴长(b )的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T ,但这两个公式都是通过椭圆周率T 推导演变而来。常数为体,公式为用。
椭圆形物体 体积计算公式椭圆 的 长半径*短半径*PAI*高
某些数列前n 项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+„+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+„+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+„+(2n)=n(n+1)
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+„+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+„n^3=(n(n+1)/2)^2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+„+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角B 是边a 和边c 的夹角
乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b-b≤a ≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a ≤|a|
直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h
正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'
圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2
圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l
弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积 V=S'L 注:其中,S' 是直截面面积, L是侧棱长
柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h
已知三角形三边a,b,c, 半周长p, 则S = √[p(p - a)(p - b)(p - c)] (海伦公式)(p=(a+b+c)/2)
和:(a+b+c)*(a+b-c)*1/4
已知三角形两边a,b, 这两边夹角C ,则S =absinC/2
设三角形三边分别为a 、b 、c ,内切圆半径为r , 则三角形面积=(a+b+c)r/2 设三角形三边分别为a 、b 、c ,外接圆半径为r , 则三角形面积=abc/4r 已知三角形三边a 、b 、c, 则S = √{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]}
(“三斜求积” 南宋秦九韶)
| a b 1 | , S△=1/2 * | c d 1 | | e f 1 |
【| a b 1 | | c d 1 | 为三阶行列式, 此三角形ABC 在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC | e f 1 | 选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取,因为这样取得出的结果一般都为正值,如果不按这个规则取,可能会得到负值,但不要紧,只要取绝对值就可以了,不会影响三角形面积的大小!】
秦九韶三角形中线面积公式:
S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3
其中Ma,Mb,Mc 为三角形的中线长.
48定理 四边形的内角和等于360° 49四边形的外角和等于360° 50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)³180° 51推论 任意多边的外角和等于360°
84 (2)合比性质 如果a /b=c/d, 那么(a±b) /b=(c±d) /d
85 (3)等比性质 如果a /b=c/d=„=m/n(b+d+„+n≠0), 那么 (a+c+„+m)/(b+d+„+n)=a/b 126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 127圆的外切四边形的两组对边的和相等
128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等 130相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等 131推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的
两条线段的比例中项 132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割
线与圆交点的两条线段长的比例中项 133推论 从圆外一点引圆的两条割