第11课时 等差数列的性质 教学案
第11课时 等差数列的性质
一、【复习巩固】
1、定义:a m +1-a n = d (或a n -a n -1 = d ,n ≥2)。
2、等差中项:若a 、A 、b 成等差数列,则A = a + b
2为a 和b 的等差中项。 3、通项公式:a n = a 1 + (n -1) d (或a n = a m + (n -1) d ,n ≥2)。 式子变形:d =
a n - a m
n -m
二、【新课引入】
在等差数列{a n }中,若m + n = p + q ,求证:a m + a n = a p + a q 。
【特注】:特别的,当m + n = 2p 时,a a m + a n
m + a n = 2a p ,即ap = 2 为a m 、a n 的等差中项。
三、【例题讲解】
例1、等差数列{a n }中,a 1 + a 4 + a 7
= 15,a 2·a 4·a 6 = 45,求此数列的通项公式a n 。
【练习】
1、等差数列{a n }中,若a 3与a 7的等差中项为100,则a 4与a 0的等差公式为_______。2、等差数列{a n }中,a 4 + a 5 + a 6 = 12,则a 2 + a 8 =__________。 3、等差数列a 1-a 4-a 8-a 12 + a 15 = 2,则a 2 + a 14 =__________。 4、等差数列{a n }中,a 3 + a 4 = 19,a 5 + a 6 = 31,则a n =__________。 5、等差数列{a n }中,若a 2 + 2a 8 + a 14 = 12,则2a 9-a 10 =__________。
【变式】等差数列{a + a 1
n }中,若a 3 + a 915 = 72,则a 10-3
a 12 =__________。
例2、已知5个数组成分等差数列,他们的和为5,平方和为 85
9 ,求这5个数。
【练习】
1、已知4个数组成的等差数列,其和为6,中间两个数的乘积为7,求这4个数。
2、在-1,7之间插入了3个数,顺次组成等差数列,则这三个数依次为_________。
【特注】
1、等差数列{a n } 通项a n = kn + b ,k 为公差。
2、若{a n }、{b n }为等差数列,其公差分别是d 1,d 2。 3、若{ka n }为等差数列,其公差是kd 。
4、若{a n + bn }为等差数列,其公差是d 1 + d 2。
5、若a k ,a k +m ,a k +2m ,…… 是等差数列,则公差为md 1。
【练习】
1、等差数列40,37,34……中第一个负数项是__________项。 2、等差数列{a n }中,a 6 = 5,a 3 + a 8 = 5,则a 10 =__________。
3、等差数列{a n }中,a 1 + a 4 + a 7
= 45,a 2 + a 5 + a 8 = 39,则a 2 + a 6 + a 9
=__________。
4、等差数列{a 中,公差d = 1
n }2 ,a 1 + a 3 + …… + a 99
= 60,则a 2 + a 4 + …… + a 100
= ___________。
例3、已知数列{a 41
n }满足a 1 = 4,a n = 4-a n n ≥2),令b -1n = a n
-2
(1)求证数列{b n }是等差数列; (2)求数列{a n }。
【变式】已知数列{a a a n }满足1 = 1,a n +1 = 2a n 。
+1
(1)求此数列的前4项;
(2)判断{1
a n
是否为等差数列;
(3)求a n 。