平面几何中的最值问题
平面几何中的最值问题
最值问题的解决方法通常有两种:
1、 应用几何性质:
① 三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边; ② 两点之间,线段最短;
③ 垂线段最短;
④ 定圆中,直径最长。
2、运用代数证法:
① 运用配方法 ② 运用判别式。
例1、A 、B 两点在直线l 的同侧,在直线L 上取一点P ,使PA+PB最小。 例2、A 、B 两点在直线l 的同侧,在直线L 上取一点P ,使|PA-PB|最大。
已知AB 是半圆的直径,AB=10,如果这个半圆是一块铁皮,ABDC 是内接半圆的梯形,试问怎样剪这个梯形,才能使梯形ABDC 的周长最大?
2 .如图是半圆与矩形结合而成的窗户,如果窗户的周长为8米(m),怎样才能得
出最大面积,使得窗户透光最好?
几何的定值与最值
基本方法是:分清定量和变量,运用特殊位置、极端位置,直接计算等方法,先探求出定值,再给出证明.
求几何最值问题的基本方法有:
1.特殊位置与极端位置法;
2.几何定理(公理) 法;
3.数形结合法等.
【例1】 如图,已知AB=10,P 是线段AB 上任意一点,在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ,则CD 长度的最小值为 .
思路点拨 如图,作CC ′⊥AB 于C ,DD ′⊥AB 于D ′,
DQ ⊥CC ′,CD 2=DQ2+CQ2,DQ=AB 一常数,当CQ 越小,CD 越小, 本例也可设AP=x ,则PB=10-x ,从代数角度探求CD 的最小值.
注:从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示,常能找到解题突破口,特殊位置与极端位置是指:
(1)中点处、垂直位置关系等;
(2)端点处、临界位置等.
【例3】 如图,已知平行四边形ABCD ,AB=a ,BC=b (a >b ) ,P 为AB 边上的一动点,
直线DP 交CB 的延长线于Q ,求AP+BQ的最小值.
思路点拨 设AP=x ,把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示,运用不等式a 2+b 2≥2ab (当且仅当a =b 时取等号) 来求最小值. 12
【例4】 如图,已知等边△ABC 内接于圆,在劣弧AB 上取异于A 、B 的点 ⌒
M ,设直线AC 与BM 相交于K ,直线CB 与AM 相交于点N ,证明:线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关.
思路点拨 即要证AK ·BN 是一个定值,在图形中△ABC
的边长是一个定值,说明AK ·BN 与AB 有关,从图知AB 为
△ABM 与△ANB 的公共边,作一个大胆的猜想,AK ·BN=AB2,
从而我们的证明目标更加明确.
注:只要探求出定值,那么解题目标明确,定值问题就转化为一般的几何证明问题.
1.如图,正方形ABCD 的边长为1,点P 为边BC 上任意一点(可与B 点或C 点重合),分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线,垂足分别是B ′、C ′、D ′,则BB ′+CC′+DD′的最大值为 ,最小值为 .
2.如图,∠AOB=45°,角内有一点P ,PO=10,在角的两边上有两点Q ,R(均不同于点O) ,则△PQR 的周长的最小值为 .
3.如图,两点A 、B 在直线MN 外的同侧,A 到MN 的距离AC=8,B 到MN 的距离BD=5,CD=4,P 在直线MN 上运动,则PA 的最大值等于 .