分布列(2.1.2)
2.1.2 离散型随机变量的分布列
知识一 离散型随机变量的分布列 【问题导思】
掷一枚骰子,所得点数为x ,则x 可取哪些数字?x 取不同的值时,其概率分别是多少? 离散型随机变量分布列
(1)定义:一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,„,x i ,„,x n ,X 取每一个值x i (i =1,2,„,n ) 的概率P (X =x i ) =p i ,以表格的形式表示如下:
.
为了简单起见,也用等式 ,i =1,2,„,n 表示X 的分布列. (2)性质:①p i ,i =1,2,„,n ; ②∑p i = .
i =1n
知识二 两个特殊分布 【问题导思】
(1)在同时抛掷两枚骰子的随机试验中,
⎧0 向上点数之和为奇数;⎪
令Y =⎨
⎪1 向上点数之和为偶数. ⎩
试写出随机变量Y 的分布列;
(2)某人从含2个不合格骰子的4个骰子中任取2个同时抛掷,经过大量试验,发现“向上点数之和X ”的各频率值与概率值相差很大,这意味着什么,试分析此现象发生的可能性大小?
两个特殊分布 (1)两点分布
若随机变量X 为成功概率.
(2)超几何分布
一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则
P (X =k ) = ,k =0,1,2,„,m , 其中m =min {M ,n },且n ≤N ,M ≤N ,n ,M ,N ∈N *.
如果随机变量X 的分布列具有上表的形式,则称随机变量X 服从超几何分布. 类型一 分布列的性质及应用
例1.
k
设随机变量X 的分布列P (X =5) =ak (k =1,2,3,4,5) .
317(1)求常数a 的值;(2)求P (X ≥) ;(3)求P (
51010
规律方法
1.本题利用方程的思想求出常数a 的值.
2.利用离散型随机变量分布列的性质可以求随机变量在某个范围内取值的概率,此时只需根
据随机变量的取值范围确定随机变量可取哪几个值,再利用分布列即可得到它的概率,注意分布列中随机变量取不同值时所表示的随机事件彼此互斥,因此利用概率的加法公式即可求出其概率. 变式训练
已知随机变量X 的分布列如下表:
则x 的值为________,P (
32
类型二 两点分布例2.
⎧⎪⎨⎪⎩
,两球全红;
袋内有10个白球,5个红球,从中摸出2个球,记X =0求X 的分布列.
1,两球非全红.
规律方法
1.在两点分布中,无论求出P (X =0) 或者P (X =1) 都能写出分布列,因为P (X =0) +P (X =1) =1.
2.两点分布又称为0-1分布或伯努利分布,它是一种比较特殊的分布列,反映了随机试验的结果只有两种可能且其概率之和为1. 变式训练
⎧⎪0 (摸出绿球)
袋中装有3个红球,2个绿球,从中摸出1个球,记X =⎨,求X 的分布列.
⎪1 (摸出红球)⎩
类型三 超几何分布
例3. 袋中有8个球,其中5个黑球,3个红球,从袋中任取3个球,求取出的红球数X 的
分布列,并求至少有一个红球的概率.
规律方法
求超几何分布的分布列,关键是明确随机变量是否服从超几何分布,分清M 、N 、n 、k 的值,然后求出相应的概率,最后列表即可.
变式训练
若本例条件不变,问题改为“求取出的黑球数X 的分布列”该如何解?
典例. (12分) 袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中任取3个小球,按3个小球上最大数字的9倍计分,每个小球被取出的可能性都相等,用X 表示取出的3个小球上的最大数
离散型随机变量分布列的应用
字,求:
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率; (2)随机变量X 的概率分布列; (3)计算介于20分到40分之间的概率.
当堂达标
1.(2013·合肥检测) 下列四个表格中,可以作为离散型随机变量分布列的是( ) A.
B.
C.
D.
2则a 的值为( )
A .0.6 B .0.7 C .0.8 D .0.3
3.设随机变量ξ等可能取值1,2,3,„,n ,若P (ξ
⎧⎪0,摸出白球,
(1)从中任意摸出一球,用0表示摸出白球,用1表示摸出红球,即X =⎨求X
⎪1,摸出红球. ⎩
的分布列;
(2)从中任意摸出两个球,用“X =0”表示两个球全是白球,用“X =1”表示两个球不全是白球,求X 的分布列.
5.
某商店试销某种商品20天,获得如下数据:
试销结束后(3件,当天营业结束后检查存货,若发现存量少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率.
(1)求当天商店不进货的概率;
(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数,求X 的分布列.
6.
一袋中装有6个同样大小的小球,编号为1,2,3,4,5,6. 现从中随机取出3个球,用ξ表示取
出的球最大号码,ξ可以取得哪些值?写出ξ的分布列.
当堂检测(一)
一、基础过关
1.若随机变量X
( )
A.1
1B. 2
1 3
1 D. 6
( )
2k
2.设随机变量X 的分布列为P (X =k ) =m ⎛⎝3,k =1,2,3,则m 的值为 17
18
271727B. C. D. 381919
2 D.
3
( )
3.抛掷2颗骰子,所得点数之和ξ是一个随机变量,则P (ξ≤4) 等于
111 B. 632为止,所需要的取球次数为随机变量ξ,则ξ的可能取值为 A .1,2,3,„,6 C .0,1,2,„,5 A .n =3
B .1,2,3,„,7 D .1,2,„,5 B .n =4 D .不能确定
4.袋中有大小相同的红球6个,白球5个,从袋中每次任意取出1个球,直到取出的球是白球
( )
5.随机变量ξ的所有可能取值为1,2,„,n ,若P (ξ
6.抛掷两次骰子,两次点数的和不等于8的概率为 ( ) 113151 B. C. 12363612
C
7.设随机变量X 的分布列为P (X =k ) =k =1,2,3,C 为常数,则P (0.5
k (k +1)二、能力提升
8.已知随机变量ξ只能取三个值x 1,x 2,x 3,其概率依次成等差数列,则该等差数列公差的取值范围是
10,⎤ A. ⎡⎣3⎦
11- B. ⎡⎣33
( )
C .[-3,3]
D .[0,1]
9.一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为P (X ) ,则P (X =4) 的值为( )
1272721 B. C. 2205522025
10.盒中装有大小相等的10个球,编号分别是0,1,2,„,9,从中任取1个,观察号码是“小于
5”“等于5”“大于5”三类情况之一,求其概率分布列.
11.已知随机变量ξ
1
(1)求η1=ξ的分布列;
2(2)求η2=ξ2的分布列.
12.从4张已编号(1~4号) 的卡片中任意取出2张,取出的卡片号码数之和为X . 求随机变量X 的
分布列.
三、探究与拓展
13.安排四名大学生到A ,B ,C 三所学校支教,设每名大学生去任何一所学校是等可能的.
(1)求四名大学生中恰有两人去A 校支教的概率; (2)设有大学生去支教的学校的个数为ξ,求ξ的分布列.
当堂检测(二)
一、基础过关
1.在100张奖券中,有4张能中奖,从中任取2张,则2张都能中奖的概率是 ( )
1111 B. C. 50258254 9502.从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张,则至少有3张是A 的概率为( )
241224
C 3C 3C 3C 14C 48+C 4C 484C 4848C 448C 4
B. C .1 C 52C 52C 52C 523.一个盒子里装有相同大小的10个黑球,12个红球,4个白球,从中任取2个,其中白球的个
12
C 122C 4+C 22
数记为X ,则下列概率等于 ( )
C 26
A .P (0
B .P (X ≤1) D .P (X =2)
1
D. 3
( )
4.在3双皮鞋中任意抽取两只,恰为一双鞋的概率为
111 B. C. 5615
7
5.在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2( )
10A .都不是一等品
则c =________. 二、能力提升
7.从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取,设X 表示直至抽到中奖彩票时的次数,则P (X =3) 等于 37217 C. D. 10104040____.
9.有同一型号的电视机100台,其中一级品97台,二级品3台,从中任取4台,则二级品不多于1台的概率为________.(用式子表示)
10.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵,规定至少要背出其中2篇才能及格.某同学只
能背诵其中的6篇,试求:
(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列; (2)他能及格的概率.
11.已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现
从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X 为取出此3球所得分数之和.求X 的分布列.
三、探究与拓展
12.袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中任取3个小球,按3个小球上最大数字的9
倍计分,每个小球被取出的可能性都相等,用X 表示取出的3个小球上的最大数字,求: (1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率;(2)随机变量X 的分布列; (3)计算介于20分到40分之间的概率.
( )
B .恰有一件一等品 D .至多有一件一等品
C .至少有一件一等品
6.若离散型随机变量X
8.若随机变量X 服从两点分布,且P (X =0) =0.8,P (X =1) =0.2. 令Y =3X -2,则P (Y =-2) =