初中有关圆的知识

圆的定义:

在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。

弧：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示以A，B为端点的弧记作“

优弧：大于半圆的弧（多用三个字母表示）；

劣弧：小于半圆的弧（多用两个字母表示） 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

圆心角：

顶点在圆心的角叫做圆心角。

圆周角：

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角的顶点在圆上，它的两边为圆的两条弦。

圆心角特征识别:

①顶点是圆心；

②两条边都与圆周相交。 ”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

计算公式:

①L(弧长)=n/180Xπr（n为圆心角度数，以下同）；

②S(扇形面积) = n/360Xπr2；

③扇形圆心角n=（180L）/（πr）（度）。

④K=2Rsin(n/2) K=弦长；n=弦所对的圆心角，以度计。

圆心角定理:

圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

理解：(定义）

（1）等弧对等圆心角

（2）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．

（3）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧．

（4）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．

推论：

在同圆或等圆中,如果(1)两个圆心角,(2)两条弧,(3)两条弦(4)两条弦上的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等

与圆周角关系:

在同圆或等圆中,同弧或同弦所对的圆周角等于二分之一的圆心角。

定理证明：分三种情况讨论，始终做直径COD，利用等腰三角形等腰底角相等，外角等于两内角之和来证明。

圆周角定理推论：

圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。

①圆周角度数定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半。

③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等。（不在同圆或等圆中其实也相等的。注：仅限这一条。）

④半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

⑥在同圆或等圆中，圆周角相等弧相等弦相等。

垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

注：

（1）定理中的直径过圆心即可，可以是直径、半径、过圆心的直线或线段；

（2）此定理是证明等线段、等角、垂直的主要依据，同时也为圆的有关计算提供了方法和依据。

垂径定理的推论：

推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧

推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧

推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等

(证明时的理论依据就是上面的五条定理)但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:

一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论

1.平分弦所对的优弧

2.平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）

3.平分弦 (不是直径)

4.垂直于弦

5.经过圆心

二条直线与圆的位置关系:

直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离。

（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点AB与⊙O相交，d

（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。

（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离,AB与圆O相离，d>r。（d为圆心到直线的距离） 直线与圆的三种位置关系的判定与性质：

（1）数量法：通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定，

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：

直线l与⊙O相交

直线l与⊙O相切

直线l与⊙O相离dr；

（2）公共点法：通过确定直线与圆的公共点个数来判定。

直线l与⊙O相交d

直线l与⊙O相切

直线l与⊙O相离d=rd>r有唯一公共点； 无公共点 。

圆的切线的判定和性质

（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长：

在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 直线与圆的位置关系判定方法:

平面内，直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：

1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程

如果b2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b2-4ac

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x2+y2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）2+（y-b）2=r2。

令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1

当x=-C/Ax2时，直线与圆相离；

当x1

相关定义:

1 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。

2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。

3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。直径所在的直线是圆的对称轴。

4 连接圆上任意两点的线段叫做弦。最长的弦是直径,直径是过圆心的弦。

5 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。

6 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

7 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。

8 顶点在圆心上的角叫做圆心角。

9 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个无限不循环小数，通常用π表示，π=3.14159265……在实际应用中，一般取π≈3.14。

11圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。

12 圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但不等于0。

圆的集合定义：

圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径。 圆的字母表示：

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作O”。

圆—⊙ ；

半径—r或R（在环形圆中外环半径表示的字母）；

弧—⌒ ；

直径—d ；

扇形弧长—L ；

周长—C ；

面积—S。

圆的性质:

（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。

圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

（2）有关圆周角和圆心角的性质和定理

① 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。

直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

圆心角计算公式： θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。

即圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 ③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

（3）有关外接圆和内切圆的性质和定理 ①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；

②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）。

④两相切圆的连心线过切点。（连心线：两个圆心相连的直线）

⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。

（5）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

（6）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

（7）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

（8）周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。

点、线、圆与圆的位置关系：

点和圆位置关系

①P在圆O外，则 PO>r。

②P在圆O上，则 PO=r。

③P在圆O内，则 0≤PO

反过来也是如此。

直线和圆位置关系

①直线和圆无公共点，称相离。 AB与圆O相离，d>r。

②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。AB与⊙O相交，d

圆和圆位置关系

①无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。

②有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。

③有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

设两圆的半径分别为R和r，且R〉r，圆心距为P，则结论：外离P>R+r；外切P=R+r；内含P

内切P=R-r；相交R-r

圆的方程:

1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是

（x-a）2+（y-b)2=r2。

特别地，以原点为圆心，半径为r（r>0）的圆的标准方程为x2+y2=r2。

2+2=2、圆的一般方程：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为（x+D/2）（y+E/2）（D2+E2-4F）

/4.故有：

①当D2+E2-4F>0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以（√D2+E2-4F）/2为半径的圆； ②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点（-D/2，-E/2）；

③当D2+E2-4F

3、圆的参数方程：以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的参数方程是 x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, （其中θ为参数）

圆的端点式：若已知两点A（a1,b1）,B（a2,b2），则以线段AB为直径的圆的方程为 （x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0

圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

经过圆x2+y2=r2上一点M（a0，b0）的切线方程为 a0·x+b0·y=r2

在圆（x2+y2=r2）外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0·x+b0·y=r2。

圆的历史:

圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状。古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很圆。到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤。古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走，这样当然比扛着走省劲得多。

约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘。大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子。

会作圆，但不一定就懂得圆的性质。古代埃及人就认为：圆，是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也。意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得（约公元前330-前275年）给圆下定义要早100年。

任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示。它是一个无限不循环小数，π=3.1415926535……但在实际运用中一般只取它的近似值，即π≈3.14.如果用C表示圆的周长：C=πd或C=2πr.《周髀算经》上说"周三径一"，

把圆周率看成3，但是这只是一个近似值。美索不达来亚人在作第一个轮子的时候，也只知道圆周率是3。魏晋时期的刘徽于公元263年给《九章算术》作注时，发现"周三径一"只是圆内接正六边形周长和直径的比值。他创立了割圆术，认为圆内接正多连形边数无限增加时，周长就越逼近圆周长。他算到圆内接正3072边形的圆周率，π= 3927/1250。刘徽把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中，这在世界数学史上也是一项重大的成就。祖冲之（公元429-500年）在前人的计算基础上继续推算，求出圆周率在3.1415926与3.1415927之间，是世界上最早的七位小数精确值，他还用两个分数值来表示圆周率：22/7称为约率，355/113称为密率。 在欧洲，直到1000年后的十六世纪，德国人鄂图（公元1573年）和安托尼兹才得到这个数值。现在有了电子计算机，圆周率已经算到了小数点后六十万亿位小数了。

圆的计算公式：

1.圆的边长即的周长C=2πr=或C=πd

2.圆的面积S=πr2

3.扇形弧长L=圆心角（弧度制）· r = n°πr/180°（n为圆心角）

4.扇形面积S=nπ r2/360=Lr/2（L为扇形的弧长）

5.圆的直径 d=2r

6.圆锥侧面积 S=πrl（l为母线长）

7.圆锥底面半径 r=n°/360°L（L为母线长）（r为底面半径）

8.圆心角所对的弧的度数等于弧所对的圆心角的度数;

9.圆周角的度数等于圆心角的度数的一半;

10.圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半；

11.扇形圆心角n=（180L）/（πr）（度）。