关于多元函数的极值和最值计算
关于多元函数的极值和最值计算
(一) 可微函数的无条件极值
如果z =f (x , y ) 在区域D 上存在二阶连续偏导数,我们可以用下面的方法求出极值。
' ⎧⎪f x =0首先,通过解方程⎨' 得到驻点。其次,对每个驻点求出二阶偏导数: ⎪⎩f y =0
'' '' '' A =f xx , B =f xy , C =f yy
最后利用课本定理7.8进行判断。
AC -B 2>0, A >0, 函数在此点取极小值;
AC -B 2>0, A
AC -B 2
AC -B 2=0, 不能确定。
(二) 如何求多元函数的最值
如果函数z =f (x , y ) 在有界闭域D 上连续,那么函数z =f (x , y ) 在有界闭域D 上一定存在最大值和最小值。下面介绍如何求出z =f (x , y ) 在有界闭域D 上的最值。
首先, 在D 的内部求出函数z =f (x , y ) 的驻点 及 偏导数不存在的点。
其次,求出函数z =f (x , y ) 在D 的边界上的最大值点和最小值点。这里分两种情况处理:
第一种情况:D 的边界是由显函数来表示 的(包括边界是分段用显函数表示的情形),可以用消元法转化为一元函数在闭区间上的最值问题 来解决。
第二种情况:D 的边界是由 隐函数ϕ(x , y ) =0来表示 的,而且函数z =f (x , y ) ,ϕ(x , y ) 在包含D 的区域上存在二阶连续偏导数,此时可以用拉格朗日乘数法求出驻点。
最后, 通过比较函数z =f (x , y ) 在我们得到的点上的函数值,就可得到z =f (x , y ) 在有界闭域D 上的最值。
(三) 如何求条件极值
下面介绍求函数z =f (x , y ) 在约束条件ϕ(x , y ) =0下的条件极值。
第一种情况:如果ϕ(x , y ) =0确定了显函数x =g (y ) 或者y =h (x ) ,可以用消元法转化为一元函数在闭区间上的极值问题 来解决。
第二种情况:如果函数z =f (x , y ) ,ϕ(x , y ) =0在区域D 上存在二阶连续偏导数,而且ϕ(x , y ) =0确定了隐函数,此时可以用拉格朗日乘数法。首先,求出拉格朗日函数L (x , y , λ) 在区域D 内的驻点。
然后用书中介绍的二阶全微分方法对每个驻点进行判断。
通常,在实际应用中只要求我们求出函数z =f (x , y ) 在约束条件ϕ(x , y ) =0下的最大值和最小值,此时只要比较函数在相应驻点处的函数值就可以了。