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拉氏变换定义.计算.公式及常用拉氏变换反变换

01-07

****拉普拉斯变换及反变换****

定义：如果定义：

是一个关于的函数，使得当 是一个复变量；

时候，

；

 是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分的拉普拉斯变换结果。

；是

则的拉普拉斯变换由下列式子给出：

2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表

3． 用查表法进行拉氏反变换

用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设F(s)是s的有理真分式

B(s)bmsmbm1sm1b1sb0

F(s) （nm）

A(s)ansnan1sn1a1sa0

式中系数a0,a1,...,an1,an，b0,b1,bm1,bm都是实常数；m,n是正整数。按代数定理可将F(s)展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① A(s)0无重根

这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。

n

cicncc1c2

F(s)i （F-1）

ss1ss2ssissni1ssi

式中，s1,s2,,sn是特征方程A(s)＝0的根。ci为待定常数，称为F(s)在si处的留数，可按下式计算： 或

cilim(ssi)F(s) （F-2）

ssi

ci

B(s)

（F-3）

A(s)ss

i

式中，A(s)为A(s)对s的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数

nncist

f(t)LF(s)L＝ (F-4) cei

i1ssii1

1

1

i

②

A(s)0有重根

设A(s)0有r重根s1，F(s)可写为

Fs

B(s)

r

(ss1)(ssr1)(ssn)

=

cicncrcr1c1cr1

 rr1

(ss1)(ss1)(ss1)ssr1ssissn

式中，s1为F(s)的r重根，sr1，…, sn为F(s)的n-r个单根；

其中，cr1，…, cn仍按式(F-2)或(F-3)计算，cr，cr1，…, c1则按下式计算：

crlim(ss1)rF(s)

ss1

cr1lim

ss1

d

[(ss1)rF(s)] ds

crj

1d(j)

lim(j)(ss1)rF(s) (F-5) j!ss1ds

1d(r1)

c1lim(r1)(ss1)rF(s)

(r1)!ss1ds

原函数f(t)为 f(t)L

1

F(s)

crcicncr1c1cr1

L1 rr1

(ss1)ssr1ssissn(ss1)(ss1)

crtr1

cr1tr2cs1

tn

i

(r1)!r2)!2tc1

eiciest(r1

（F-6）


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