有限元应用举例

1、 有限元的定义

有限单元法最初作为结构力学位移法的拓展，它的基本思路就是将复杂的结构看成由有限个单元仅在节点处连接的整体，首先对每一个单元分析其特性，建立县官的物理量之间的相关联系。然后，依据单元之间的联系，再将各单元组装成整体，从而获得整体性方程，再应用方程相应的解法，即可完成整个问题的分析。这种先“化整为零”，然后再“集零为整”和“化未知为已知”的研究方法，是有普遍意义的。 有限单元法作为一种近似的（除杆件体系结构静力分析外）数值分析方法，它借助于矩阵等数学工具，尽管计算工作量很大，但是整体分析是一致的，有限强的规律性和统一模式，因此特别适合于编制计算机程序来处理。一般来说，一定前提条件下的分析近似值，随着离散化网络的不断细化，计算精度也随之得到改善。所以，随着计算机硬件、软件技术的飞速发展，有限单元分析技术得到了越来越多的应用，40多年来的发展几乎涉及了各类科学、工程领域中的问题。从应用的深度和广度来看，有限单元法的研究和应用正继续不断地向前探索和推进。 有限元法是随电子计算机应用的日益普及和数值分析技术日益发展而迅速发展的一种新颖有效的数值方法。它在50年代起源于飞机结构的矩阵分析，60年代开始被推广用来分析弹性力学平面问题。由于它所依据的理论的普遍性，很快就广泛应用与求解热传导、电磁场、流体力学等连续问题。目前已再各个工程技术领域中得到了十分广泛的应用

2、 有限元的发展【1】【2】【3】

有限元”这个名词第一次出现，到今天有限元在工程上得到广泛应用，经历了三十多年的发展历史，理论和 算法都已经日趋完善。有限元的核心思想是结构的离散化，就是将实际结构假想地离散为有限数目的规则单元组合体，实际结构的物理性能可以通过对离散体进行分 析，得出满足工程精度的近似结果来替代对实际结构的分析，这样可以解决很多实际工程需要解决而理论分析又无法解决的复杂问题。 近年来随着计算机技术的普及和计算速度的不断提高，有限元分析在工程设计和分析中得到了越来越广泛的重视，已经成为解决复杂的工程分析计算问题的有效途 径，现在从汽车到航天飞机几乎所有的设计制造都已离不开有限元分析计算，其在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电器，国防军工，船舶， 铁道，石化，能源，科学研究等各个领域的广泛使用已使设计水平发生了质的飞跃，主要表现在以下几个方面：

增加产品和工程的可靠性；

在产品的设计阶段发现潜在的问题

经过分析计算，采用优化设计方案，降低原材料成本

缩短产品投向市场的时间

模拟试验方案，减少试验次数，从而减少试验经费

国际上早在60年代初就开始投入大量的人力和物力开发有限元分析程序，但真正的CAE 软件是诞生于70年代初期，而近15年则是CAE 软件商品化的发展阶 段，CAE 开发商为满足市场需求和适应计算机硬、软件技术的迅速发展，在大力推销其软件产品的同时，对软件的功能、性能，用户界面和前、后处理能力，都进 行了大幅度的改进与扩充。这就使得目前市场上知名的CAE 软件，在

功能、性能、易用性、可靠性以及对运行环境的适应性方面，基本上满足了用户的当前需求， 从而帮助用户解决了成千上万个工程实际问题，同时也为科学技术的发展和工程应用做出了不可磨灭的贡献。目前流行的CAE 分析软件主要有NASTRAN 、 ADINA 、ANSYS 、ABAQUS 、MARC 、MAGSOFT 、COSMOS 等。MSC-NASTRAN 软件因为和NASA 的特殊关系，在航空航天领域有着很高 的地位，它以最早期的主要用于航空航天方面的线性有限元分析系统为基础，兼并了PDA 公司的PATRAN ，又在以冲击、接触为特长的DYNA3D 的基础上 组织开发了DYTRAN 。近来又兼并了非线性分析软件MARC, 成为目前世界上规模最大的有限元分析系统。ANSYS 软件致力于耦合场的分析计算，能够进 行结构、流体、热、电磁四种场的计算，已博得了世界上数千家用户的钟爱。ADINA 非线性有限元分析软件由著名的有限元专家、麻省理工学院的 K.J.Bathe 教授领导开发，其单一系统即可进行结构、流体、热的耦合计算。并同时具有隐式和显式两种时间积分算法。由于其在非线性求解、流固耦合分 析等方面的强大功能，迅速成为有限元分析软件的后起之秀，现已成为非线性分析计算的首选软件。 纵观当今国际上CAE 软件的发展情况，可以看出有限元分析方法的一些发展趋势：

1、 与CAD 软件的无缝集成

当今有限元分析软件的一个发展趋势是与通用CAD 软件的集成使用，即在用CAD 软件完成部件和零件的造型设计后，能直接将模型传送到CAE 软件中进行有限 元网格划分并进行分析计算，如果分析的结果不满足设计要求则重新进行设计和分析，直到满意为止，从而极大地提高了设计水平和效率。为了满足工程师快捷地解 决复杂工程问题的要求，许多商业化有限元分析软件都开发了和著名的CAD 软件（例如Pro/ENGINEER、Unigraphics 、 SolidEdge 、SolidWorks 、IDEAS 、Bentley 和AutoCAD 等）的接口。有些CAE 软件为了实现和CAD 软件的无缝集成而采 用了CAD 的建模技术，如ADINA 软件由于采用了基于Parasolid 内核的实体建模技术，能和以Parasolid 为核心的CAD 软件（如 Unigraphics 、SolidEdge 、SolidWorks ）实现真正无缝的双向数据交换。 2、 更为强大的网格处理能力

有限元法求解问题的基本过程主要包括：分析对象的离散化、有限元求解、计算结果的后处理三部分。由于结构离散后的网格质量直接影响到求解时间及求解结果的 正确性与否，近年来各软件开发商都加大了其在网格处理方面的投入，使网格生成的质量和效率都有了很大的提高，但在有些方面却一直没有得到改进，如对三维实 体模型进行自动六面体网格划分和根据求解结果对模型进行自适应网格划分，除了个别商业软件做得较好外，大多数分析软件仍然没有此功能。自动六面体网格划分 是指对三维实体模型程序能自动的划分出六面体网格单元，现在大多数软件都能采用映射、拖拉、扫略等功能生成六面体单元，但这些功能都只能对简单规则模型适 用，对于复杂的三维模型则只能采用自动四面体网格划分技术生成四面体单元。对于四面体单元，如果不使用中间节点，在很多问题中将会产生不正确的结果，如果 使用中间节点将会引起求解时间、收敛速度等方面的一系列问题，因此人们迫切的希望自动六面体网格功能的出现。自适应性网格划分是指在现有网格基础上，根据 有限元计算结果估计计算误差、重新划分网格和再计算的一个循环过程。对于许多工程实际问题，在整个求解过程中，模型的某些区域将会产生很大的应变，引起单 元畸变，从而导致求解不能进行下去或求解结果不正确，因此必须进行网格自动重划分。自适应网格往往是

许多工程问题如裂纹扩展、薄板成形等大应变分

3、 由求解线性问题发展到求解非线性问题

随着科学技术的发展，线性理论已经远远不能满足设计的要求，许多工程问题如材料的破坏与失效、裂纹扩展等仅靠线性理论根本不能解决，必须进行非线性分析求 解，例如薄板成形就要求同时考虑结构的大位移、大应变（几何非线性）和塑性（材料非线性）；而对塑料、橡胶、陶瓷、混凝土及岩土等材料进行分析或需考虑材 料的塑性、蠕变效应时则必须考虑材料非线性。众所周知，非线性问题的求解是很复杂的，它不仅涉及到很多专门的数学问题，还必须掌握一定的理论知识和求解技 巧，学习起来也较为困难。为此国外一些公司花费了大量的人力和物力开发非线性求解分析软件，如ADINA 、ABAQUS 等。它们的共同特点是具有高效的非 线性求解器、丰富而实用的非线性材料库，ADINA 还同时具有隐式和显式两种时间积分方法。

4、 由单一结构场求解发展到耦合场问题的求解

有限元分析方法最早应用于航空航天领域，主要用来求解线性结构问题，实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。而且从理论上也已经证明，只要用于离散求解 对象的单元足够小，所得的解就可足够逼近于精确值。现在用于求解结构线性问题的有限元方法和软件已经比较成熟，发展方向是结构非线性、流体动力学和耦合场 问题的求解。例如由于摩擦接触而产生的热问题，金属成形时由于塑性功而产生的热问题, 需要结构场和温度场的有限元分析结果交叉迭代求解，即" 热力耦合" 的 问题。当流体在弯管中流动时，流体压力会使弯管产生变形，而管的变形又反过来影响到流体的流动„„这就需要对结构场和流场的有限元分析结果交叉迭代求解， 即所谓" 流固耦合" 的问题。由于有限元的应用越来越深入，人们关注的问题越来越复杂，耦合场的求解必定成为CAE 软件的发展方向。

5、 程序面向用户的开放性

随着商业化的提高，各软件开发商为了扩大自己的市场份额，满足用户的需求，在软件的功能、易用性等方面花费了大量的投资，但由于用户的要求千差万别，不管 他们怎样努力也不可能满足所有用户的要求，因此必须给用户一个开放的环境，允许用户根据自己的实际情况对软件进行扩充，包括用户自定义单元特性、用户自定 义材料本构（结构本构、热本构、流体本构）、用户自定义流场边界条件、用户自定义结构断裂判据和裂纹扩展规律等等。 关注有限元的理论发展，采用最先进的算法技术，扩充软件的能，提高软件性能以满足用户不断增长的需求，是CAE 软件开发商的主攻目标，也是其产品持续占有市场，求得生存和发展的根本之道. 析的必要 条件。

3有限单元法的分析过程

有限单元法的分析过程概括起来可以分为以下七步：

1 结构力学模型的简化 首先要从实际问题中抽象出力学模型，即对实际问题的边界条件，约束条件和外载荷条件进行简化。

2结构的离散化 它是有限单元法的基础。就是将分析的结构物体划分成有限个单元体，并在单元体的指定点设置节点，并把相邻的单元体在节点处连接起来组成单元的集合体，以代替原来的结构。

3选择位移模式 位移函数的适当选择是关键。在有限单元法中普遍的选择多项式作为位移模式。根据选择的位移模式，可以导出用节点位移表示单元内任意

一点的位移关系，其矩阵式是{f}=[N]{δ}

4分析单元的力学特性

5计算等效节点力 将作用在单元边界上的表面力及作用在单元上的体积力，集中力都等效到节点上去。

6集合所有单元的刚度方程，建立整个结构的平衡方程 一是由各个单元的刚度矩阵集合成整个物体的整体刚度矩阵；二是将作用在各单元的等效节点力列阵集合成总的载荷列阵。

7求解位置节点位移和计算单元应力 由集合起来的平衡方程组，解出未知位移。

4、有限元的应用【4】【5】【6】

用有限元法对直齿圆柱齿轮齿根弯曲疲劳强度进行计算

(1)建立几何模型 在ANSYS 软件中，根据圆柱直齿轮的齿廓和过渡曲线坐标建立几何模型。齿轮具体参数为分度圆压力角是20。，模数是3．5mm ，齿顶高系数是1．0，顶隙系数是O ．25，齿数是23。

(2)约束条件和边界处理 当轮齿受力时，齿轮体不可能是绝对刚性，与轮齿相连部分也有变形，当离齿根的深度大于或等于模数的4．5倍时基本上不再受影响，可以近似看作该处的实际位移为零；另外，两侧齿间中点处的位移很小，可以忽略不计，也可以认为该处的实际位移为零，这样即可划定其零位移约束边界。模型中，可在零位移约束边界的各节点处安装铰支座来实现。因此，对于单齿模型，若齿轮的模数为m ，则零位移约束边界的范围为：横向宽取5m ，纵深方向距齿根圆弧最低点取4．5m 。

(3)单元类型的选择 在有限元计算模型中，选择具有八个节点二十四个自由度的四边形单元。这是因为齿轮轮齿齿廓形状为渐开线，采用四边形单元能较好地逼近齿轮齿廓的曲边形状；八节点四边形等参单元是采用通过边界上三个节点的二次抛物线来局部近似代表齿根曲线的，这与三角形单元以直线边界来代表曲线边界相比，显然大大地提高了对原边界曲线的拟合性，减少了在离散化过程中，因求解区域的近似处理带来的误差。

(4)进行网格划分 根据齿轮上应力分布的情况，在应力梯度较大的齿根区域网格划分的细密一些，在应力变化比较平缓的区域网格划分的稀疏一些。划分网格后ANSYS 模型如图2所示。

(5)轮齿的作用载荷 由于当载荷作用在在单齿啮合上界点处时，齿根弯曲应力达到最大值，故将载荷置于齿轮单齿啮合上界点。当齿轮传动功率P=45kW，齿轮转速n=1000r／min 时，齿宽b=30mm时，传递的名义转矩T=429N·m 。水平与垂直分

力分别为

。

式中，a ’是单齿啮合上界点的载荷角，如图1所示。

(6)求解 应用ANSYS 软件对所建立的模型进行分析。

弹性模量取为，泊松比取为0．25。所得的应力等值线如图3所示，由此图可以看出应力的分布情况。轮齿的中间和上部的应力较小，齿根过渡曲线处应力较大，最大应力出现在

30。切线法所确定的危险截面附近，由中间向两边齿侧逐渐增大。而且通过ANSYS 软件还可以分析齿轮综合位移以及齿廓任意点受载时的应力和位移等值线，载荷作用于节点时应力和位移等值线如图3和图4所示。

参考文献

【1】《有限元法发展及其应用》作者：张永刚2007-04-15 选自《科技情报开发与经济》2007年11期

【2】《有限元分析的发展趋势》作者：刘英魁2009-04-23 选自《中国新技术新产品》2009年06期

【3】《有限元方法的发展状况和应用》作者：高攀; 黄放 1999-05-15 选自《电机技术》1999年 02期

【4】龚淮义，陈式椿，王永洁．渐开线圆柱齿轮强度计算与结构设计[M]．北京：机械工业出版社，1986．

【5】邓宗全．机械设计及机械原理教学改革的理论与实践[M]．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2002．

【6】张文志 等, 机械结构有限元分析[M], 哈尔滨工业大学出版社,2006