CAD绘图功能在赤平投影中的应用

DOI :10. 16452/j . cn ki . sd kjzk . 2006. 01. 006

第25卷第1期2006年3月

山东科技大学学报(自然科学版)

Journal of Shandong University of Science and T echnology (Natural Science )

Vol . 25No . 1Mar . 2006

文章编号:1672-3767(2006) 01-0021-04

CAD 绘图功能在赤平投影中的应用

任玉京1, 李　刚2, 赵钦忠2, 祁献礼1, 周丽霞1

(1. 山东科技大学泰山科技学院, 山东泰安271000; 2山东隆源煤矿集团有限公司山东肥城271600)

摘　要:在数学解析的基础上, 根据平面和直线赤平投影的几何特征, 利用CA D 绘图功能制作平面、直线的赤平投影; 研究并解决了用CAD 绘图替代传统的赤平投影网操作法必须解决的几个关键操作问题; 应用CAD 绘图功能对常见几何要素之间的关系进行图解分析和角距关系方面的定量求解, 从而使CA D 绘图很方便的应用于地质构造分析。

关键词:赤平投影; CAD 绘图; 构造分析

中图分类号:T P 391. 72; P 54　　　文献标识码:B

Application of CAD Plotting Function in Stereographic Projection

REN Yu -jing , LI Gang , ZHAO Qin -zhong , Q I Xian -li , ZHOU Li -xia

(1. Taishan College of Science and Technology , S UST , Taian , S handong 271000, China ; 2. Shandong Rongyuan M ining Group C o . Ltd . , Feicheng , S handong 271600, China )

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A bstract :Based on the method of m athem atical analysis , the stereographic pro jection of plane and line can be made by using CAD plo tting functio n according to geometrical character of stereographic pro jection of plane and line . Some key operatio n problems have been researched and solved by using the method of CAD plo tting w hich substitutes fo r traditional one of stereog raphic projection net plotting . The w ay is paved for practical application of CAD plotting to geological tectonic analy sis by g raph analy sis betw een geometrical element and quantitative solution of ang les and distances by using CAD plotting function . Key words :stereog raphic projectio n ; CAD plo tting ; tectonic analy sis 　　赤平投影主要用来表示线、面的方向, 相互间的角距关系及其运动轨迹, 把物体三维空间的几何要素(点、线、面) 反映在投影平面上进行研究处理。有利于解决包括角距关系方面的有关计量问题。简便、直观, 可得到形象、综合的定量图解。它广泛应用于天文、航海、测量、地理及地质科学中。传统的赤平投影的应用是通过赤平投影网(多为吴尔福网) 或透明纸的旋转操作来实现的, AutoCAD 是一个通用的计算机辅助设计软件, 在Window s 平台下能方便、快捷的进行绘图和设计, 有对图形的编辑、修改、储存、打印输出功能。在研究极射赤平投影原理和操作步骤的基础上, 探讨和解决应用CAD 绘图来替代传统的手工操作方法并应用于地质构造分析

[1]

1　CAD 绘图法用于赤平投影的基本操作[2]

要用CAD 绘图方法替代赤平投影网的旋转操作, 必须解决如下基本操作。这些基本操作是在数学解析的基础上进行的。

(1) 绘制平面、直线的赤平投影

如图1, 已知平面产状(α, δ) , CAD 绘图法作平面赤平投影的操作步骤:

以任意半径作基圆O , 自正北N , 顺时针作∠NOM =α, 交基圆于M 点, 过圆心O 做DF ⊥OM , 交基圆于D 、F 点, 过D 点在OM 的另一侧做∠ODu =δ, Du 边交OM 的反向延长线于u 点, 以u 为圆心, uD 为半径做圆, 则大圆弧DcF 即该平面的赤平投影。其中c 点是该平面真倾斜线的赤平投影。

。

收稿日期:2005-07-10

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(3) 绘制经过基圆内两点并以基圆直径为弦的大圆弧

若已知直线产状(α, δ) , 求直线投影。先作出产状为(α, δ) 的平面投影大圆弧DcF , 取大圆弧中点c , 即该直线投影

。

图3　过基圆内一点与某直径线正交的纬向弧图

图1　平面和直线的赤平投影图

Fig . 1The stereographic projection of plane and line

Fig . 3The plotting zonal arc of certain diameter line that it

is orthogonal w ith a line passing a dot in base circle

图1中, b 点是直线在基圆外的投影。b 、c 互称为对跖点。已知c 点, 则可求其对跖点b 。连接

cO , 过O 点做DF ⊥Oc , 过c 、D 、F 三点做圆, 延长cO 交圆于b , 则b 点为c 点在基圆外的对跖点。

(2) 绘制纬向弧

纬向弧是垂直赤平面的不过基圆圆心的平面的赤平投影(为小圆弧) , 是吴尔福网的主要组成部分, 是求解线、面的方向, 相互间的角距关系的重要工具。介绍CAD 绘图法绘制纬向弧的做法。

①过基圆上一点与某直径线正交的纬向弧

如图2, 过基圆圆周上P 点与直径线AB 正交的纬向弧的做法:连接OP , 过P 作Pe ⊥OP , 交AB 的延长线于e 点, 以e 为圆心, eP 为半径作圆, 则小圆弧PQ 就是过基圆上P 点与直径线AB 正交的纬向弧

。

如图4, A 、B 为基圆O 内部的任意两点, 过基圆内A 、B 两点做出以基圆直径为弦的大圆弧。连接AO , 过O 点作GH ⊥OA , 交基圆O 于G 、H 过G 、A 、H 三点作圆, 延长AO 交所作圆于a 点, a 点称为A 点的对跖点。过A 、B 、a 三点作圆, 该圆与基圆O 相交于C 、D , 大圆弧CBAD 即所求的圆弧。

图4　过基圆内两点的基圆直径为弦的大圆弧图

Fig . 4The plotting a big circl e arc by way of the chord

passing two dot in base circle

(4) 求平面上一直线侧伏角的量度

如图5左图, 空间平面ABCD (180°, ∠37°) 平面内直线AC 的侧伏向E (正东) , 侧伏角为γ(30°) , 做出该直线AC 的投影点。

如图5右图, 作平面ABCD 的投影大圆弧

图2　过基圆上一点与某直径线正交的纬向弧图

Fig . 2The pl otting zonal arc of certain di ameter li ne that it is orthogonal with a l ine pass ing a dot on bas e circl e

WdE 。直线AC 的侧伏向为E 。自E 方向开始, 做∠Eoe =30°, Oe 交基圆于e 点, 根据过基圆上一

点做与某直径线正交的纬向弧的做法, 过e 点做与WE 径线正交的纬向弧ef , 纬向弧ef 交大圆弧WdE 于c 点, 则c 点就是侧伏向E , 侧伏角为γ(30°) 直线的投影。

(5) 求基圆内两点的角距

CAD 求基圆内任意两点的角距, 如图6, 已知A 、B 两点, 过基圆内A 、B 两点作以基圆直径为弦的大圆弧IABJ , 交基圆于I 、J 。根据过基圆内一I J ②作过基圆内一点与某直径线正交的纬向弧如图3, P 点为基圆内任意一点, 过P 点做出与AB 直径线正交的纬向弧。做法如下:过P 、A 、B 三点作圆, 得大圆弧APB 。CAD 能确定大圆弧APB 的圆心Q , 连接PQ , 过P 点做Pe ⊥PQ , 交AB 的延长线于e 点, 以e 点为圆心, 以eP 为半径做圆, 该圆与基圆相交于C 、D , 则小圆弧CPD 就

第1期　　　　　　　　　　　任玉京等:CAD 绘图功能在赤平投影中的应用23

已知平面AB (70°∠40°) , CD (290°∠30°) 、求两平面的交线产状及两平面的夹角。

图5　平面上某直线侧伏向、倾伏角示意图

Fig . 5T he sketch map of pitch direction and dip angle

of certain l ine on pl ane

向弧bc 、ef , 连接Oc 、Of , CAD 功能可读出∠cO f 为50°, 即A 、B 两点角距

。

图7　两相交直线的夹角示意图

Fig . 7T he included angle betw een tw o intersectant l ines

图6　求两点间的角距

Fig . 6Angle and distance betw een tw o dots

2　CAD 绘图在几何要素相互关系上的应用[3]

(1) 求两相交直线的夹角

两直线产状分别为180°∠20°、74°∠27°, 求两相交直线夹角。

如图7, 做出两直线投影点A 、B , 根据过基圆内两点做以基圆直径为弦的大圆弧的做法, 过A 、B 和其中任一点的对跖点做圆, 得大圆弧CABD , 与基圆相交于C 、D 点。过A 、B 两点做与CD 径线正交的纬向弧cd 、ef 。连接Od 、O f , 则∠dOf =94°即两直线的夹角。

(2) 求两相交直线的角平分线

两直线产状分别为180°∠20°、74°∠27°, 求两相交直线的角平分线。

仍如图7, 两直线投影A 、B , 做∠dOf 的角平分线Og , Og 边交基圆于g 点, 根据过基圆上一点与某直径线正交的纬向弧的做法, 过g 点做与CD 径线正交的纬向弧gh , 纬向弧gh 与大圆弧CABD 相交于F 点, F 点即两相交直线角平分线的投影(而非Og 边与大圆弧CABD 的交点)。根据投影的反问题, F 点对应的角平分线的产状为129°∠35°。(3) 求两平面的交线、两平面夹角及两平面

图8　两平面的产状及两平面等分面示意图

Fig . 8The sketch map of calculating parameter and grading

pl ane betw een tw o planes

如图8, 做出两平面的投影大圆弧AB 、CD , 两弧相交于一点M 。CAD 功能可测得M 点的视倾向、视倾角, 则两平面的交线产状为356°∠13°。过F 、M 、G 三点做圆, 得大圆弧FM G , 并做出其对应的法线点h 。大圆弧FhG 与大圆弧AB 、大圆弧CD 分别相交于i 、j 点; 过i 、j 点做与FG 正交的纬向弧gh 、cd , 连接Og 、Oc , CAD 功能可测出∠cOg =115°。则两平面的钝夹角为115°, 其锐夹角为180°-115°=65°。做出∠cOg 的角平分线Oa , 交基圆于a 点, 过a 点做与FG 径线正交的纬向弧ab , 纬向弧ab 交弧FhG 于K 点, 过M 、K 和M 点的对跖点e 三点做圆, 交基圆于H 、R 点, 得大圆弧HK MR , 即两平面的平分面的投影, CAD 功能可测出角平分面的产状要素268°∠85°。

(4) 求一直线与一平面的夹角

一平面产状120°∠50°, 一直线产状320°∠20°, 求直线与平面的夹角。

如图9所示, 做出平面的投影大圆弧AB 和其法线点F , 做出直线投影点K 和对应于K 点的

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盘动向, 易判断该断层为左旋性质(主干断层的下盘向北西滑动, 主干断层的上盘向南东滑动) 。但在赤平投影图上主干断层和分支断层的锐夹角而

是指向南东的。通过做图分析

。

图9　直线与平面间夹角关系示意图

Fig . 9The relation of included angle betw een line and plane

对跖点P 。求直线与平面的夹角问题归结为求K 、F 两点间的角距问题。过K 、F 、P 三点做圆, 得大圆弧KFP , 交基圆于I 、J 点, 过K 、F 点做与I J 径线正交的纬向弧ab 、cd , 连Oa , Oc , 测得∠aOc

=26°, 即为已知直线和平面法线之间的夹角。那末直线与平面之间的夹角其锐角部分为90°-26°=64°, 其钝角部分为90°+26°=116°。包含K 点的投影弧IKFJ 与大圆弧AB 两个大圆弧所代表的平面是垂直的, 两弧相交于H , 过H 点做与IJ 径线正交的纬向弧kh , k 与a 之间的纬度差, 即为直线与平面间的夹角, 其钝角为116°, 锐角为180°-116°=64°。

图10　CA D 绘图功能应用于断裂构造图

Fig . 10Appl ication of CAD plotting function to fault s tructure .

如图10-b (赤平投影图) , 根据主干断层和支断层的产状, 作大圆弧FG 和大圆弧CD , 两弧

相交于B 点, 以B 为法线点, 做对应的大圆弧PQ , 大圆弧PQ 分别交主干断层FG 弧和支断层CD 弧于U 、V 点。U 点是主干断层两盘相对滑动方向的投影点。过U 、V 点分别做出与PQ 正交的纬向弧ab 、ef , 连接Oa 、Oe , ∠aOe =98°, 故U 、V 两点的角距=98°大于90°, 图10-a 中的∠CDG 不是锐角而是钝角。主干断层下盘(东盘) 不是向北西滑动, 而是向南东滑动, 具有右旋性质。参考文献:

[1]徐开礼等. 构造地质学[M ]. 成都:地质出版社, 1998. [2]唐正辉等. 赤平投影图的数学解析[J ]. 中国煤田地

质, 2003,(15) .

[3]曾令辉等. AutoCAD2000工程绘图教程[M ]. 北京:高

等教育出版社, 2001.

3　CAD 绘图在地质构造分析中的应用

CAD 绘图能方便、有效地应用于地质构造分析, 举例说明在断裂构造和应力分析中的应用。

如图10-a 所示, 该构造为一入字形断裂构造, 主断层与支断层的产状数据如图。试分析主干

构造断裂的性质和两盘的错动方向。

问题分析:

由图10-a 地质图, ∠CDG 为一锐角, 压性支断层与主干断层的锐夹角应指示主干断层的对