外接球问题

空间几何体的外接球

高考情况：2017年全国卷I.16题，卷II.15题，卷III.9题；2016年卷II.4题，卷III.11题 2015年卷II.10题；2014年大纲卷.10题；2013年卷I.15题，卷II.15题。其它省卷都有考过 考点要求:

1. 掌握利用构造正方体或长方体的方法求几何体的外接球表面积和体积 2. 掌握利用球定义和性质确定几何体外接球的球心位置及半径 知识回顾

1. 长方体同一顶点的的棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R= . 2. 正方体的棱长为a ，球的半径为R ，正方体的外接球2R= . 3. 正四面体的棱长为a ，则外接球半径R= .

4. 球的半径为R ，则球表面积S= ，其体积V= . 牛刀小试

1. (2016课标全国Ⅱ,4,5分) 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上, 则该球的表面积为 ( ) A. 12π B. 32

3π C.8π D. 4π

2. (2017课标全国Ⅱ,15,5分) 长方体的长, 宽, 高分别为3,2,1, 其顶点都在球O 的球面上, 则球O 的表面积为 .

3. (2017天津,11,5分) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上, 若这个正方体的表面积为18, 则 这个球的体积为 题型一 构造法

构造法主要利用几何体的特殊性质，通过构造正方体或长方体，利用正方体或长方体外接球的半径公式进行求解。常见的构造有:1.底面为直角三角形的直三棱柱;2. 底面是直角三角形且一条侧棱与底面垂直的三棱锥;3. 对棱相等的三棱锥

例1.1(2013辽宁,10,5分) 已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上. 若AB =3,AC =4,AB ⊥AC , AA 1=12,则球O 的半径为 ( )

A.3 2

  B. 2 C.13

2 D. 3

2. 金榜129页拓展提升1

3. (2017江西赣州模拟,14) 在四面体SABC 中, SA ⊥平面ABC ,∠ABC =90°,SA =AC =2,AB =1,则该四 面体的外接球的表面积为 .

4.(2017衡水三调) 已知三棱锥P-ABC 中，每个面都是两条边长为2 2 其外接球的半径为_______

变式1.(2016广东汕头模拟,9) 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体外接球的表面积为____

变式2. （2013郑州二测.2017郑州三测）四面体A -BCD 中AB =CD =2,

AC =BD =3, AD =BC =, 求其外接球的表面积

变式3. (2017课标全国Ⅲ,9,5分) 已知圆柱的高为1, 它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上, 则该圆柱的体积为 ( ) A. π B. 3π

π

π

4

C.2

  D.4

 

题型二 确定球心位置

此法需要先确定几何体底面外接圆的圆心和半径r ，利用外接球的性质确定球心，圆心与球心的连线与

R = 。

几何体的底面垂直。设球心到底面的距离为d ，则外接球半径 例2.1. (2014大纲全国,10,5分) 正四棱锥的顶点都在同一球面上. 若该棱锥的高为4, 底面边长为2, 则该球的表面积为 ( )

A.

81π4

B.16π C.9π D.

27π4

2. （2015郑州二测）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（ ）.

A. 8π B. 16π C. 32π D. 64π

3. （2017天一五联）三棱锥P-ABC 的底面ABC 是等腰直角三角形，角A 为直角，侧面PAB 是等边三角形且与底面ABC 垂直，AB=6，则该三棱锥外接球的半径为________

变式1. (2017课标全国Ⅰ,16,5分) 已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上, SC 是球O 的直径. 若平面SCA ⊥平面SCB , SA =AC , SB =BC , 三棱锥S -ABC 的体积为9, 则球O 的表面积为

变式2. 三棱锥P -ABC 中，底面∆ABC 是边长为2的正三角形， PA ⊥底面ABC ，且PA =2，则此三棱锥外接球的半径为（ ）

A ．2 B． C ．2 D．21

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变式3. (2013课标Ⅰ,15,5分,0.123) 已知H 是球O 的直径AB 上一点, AH ∶HB =1∶2, AB ⊥平面α, H 为垂足, α截球O 所得截面的面积为π, 则球O 的表面积为 .

(2013课标Ⅱ,15,5分,0.158) 已知正四棱锥O -ABCD 的体积为3 2

 , 底面边长为  , 则以O 为球

心, OA 为半径的球的表面积为

题型三 内切球

内切球通常用等体积法求半径或者利用几何图形内切圆的性质求解 例3. 正三棱锥的高为 1

，底面边长为 。求棱锥的内切球的表面积。

变式1.(2014湖南,8,5分) 一块石材表示的几何体的三视图如图所示, 将该石材切削、打磨, 加工成球, 则能得到的最大球的半径等于 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4

2. (2016课标全国Ⅲ,11,5分) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球. 若AB ⊥BC , AB =6,BC =8,AA 1=3,则V 的最大值是 ( )

A. 4π B. 9π32π2 C.6π D.

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