材料力学解题指导(09机本)

材料力学解题指导-晋芳伟

1、图示为某构件内危险点的应力状态（图中应力单位为MPa ），试分别求其第二、第四强度理论的相当应力σr 2、σr 4（μ=0. 3）。

解：由图可见，σz =60Mpa 为主应力

之一。因此，可简化为二向应力状态，且有：

M p a , σy =-20M p a τ, x y =30M p a σx =40。

于是有：

σmax ⎫40-2052.4 ⎬=±={32.4MPa σ2 min ⎭

所以：

σ1=60MPa ， σ2=52. 4 MPa ， σ3=-32. 4 MPa

σ r 2 =

σ1-μ(σ2+σ3) =54Mpa

σ==88.8Mpa r 4

2、求如图所示悬臂梁的内力方程，并作剪力图和弯距图，已知P=10KN,M=10KN·m 。 解：分段考虑： 1

、AC 段：

（1）剪力方程为：Q (x ) =10KN ⋅m (0

（2）弯矩方程为：M (x ) =-10(2-x )(KN ⋅m )(0

≤x ≤1m )

2、CB 段：

（1）剪力方程为：Q (x ) =0(1m

（2）弯矩方程为：M (x ) =-10KN ⋅m (1≤x ≤2m ) 3、内力图如下：

M (x 1

3、三根圆截面压杆，直径均为d=160mm，材料为A3钢（E=206Gpa, σs =240Mpa ,

σp =200Mpa

，a =304Mpa , b =1.12Mpa ），三杆两端均为铰支，长度分别为l 1, l 2, l 3，且

l 1=2l 2=4l 3=5m 。试求各杆的临界压力。

解：μ=1，三根杆的柔度分别为：

μl μl μl

λ''=2=62.5λ'''=

3=31.25λ'=1=125

i i i

a -σs λ2==57λ1==100

b

可见：1杆适用欧拉公式，2杆适用经验公式，3杆适用强度公式。

2πE πd 2

F cr 1=σcr 1A ==2536KN 2

4'(λ)

πd 2

F cr 2=σcr 2A =(a -b λ'') =4710KN

4

πd 2

=4823KN F cr 3=σcr 3A =σs

4

4、已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：ε1=240⨯10-6， ε2=–160⨯10-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 μ=0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。

所以，该点处为平面应力状态。

'= ∴σ2

E

ε+με1]2[2

1-μ'=∴σ1

E

ε+με2]2[1

1-μ

210⨯109

=(240-0.3⨯160) ⨯10-6=44.3MPa 2

1-0.3

9

210⨯10 =(-160+0.3⨯240) ⨯10-6=-20.3MPa 21-0.3

∴σ1=44.3MPa; σ2=0; σ3=-20.3MPa;

2

ε2=-

μ

E

(σ3+σ1)=-

0.3

(-22.3+44.3) ⨯106=-34.3⨯10-69

210⨯10

2

A =5cm T =5C 115、阶梯形钢杆的两端在时被固定，杆件上下两段的面积分别是，

2

A 2=10cm ，见图1。当温度升高至T 2=25C 时，试求杆件各部分的温度应力。钢材的αl =12. 5⨯10-6 C -1，E =200GPa 。

解：（1）若解除一固定端，则杆的自由伸长为： ∆l T =α

l l ∆T =αl a ∆T +αl a ∆T =2αl a ∆T

（2）由于杆两端固定，所以相当于受外力F 作用 产生∆l T 的压缩，如图1所示。因此有： -∆l T =F N a EA 1+F N a EA 2=-2αl a ∆T

∴F N =-2αl E ∆T /[1/A 1+1/A 2]=-33. 33KN （3）σ1=F N A 1=-66. 7MPa σ2=F N A 2=-33. 3MPa

6．如图2所示，悬臂梁的自由端受一可动铰链支座支撑，q ，l 为已知，试求自由端的支持

Fx 2

w =-(3l -x )

6EI 反力。悬臂梁在集中载荷和匀布载荷作用下的挠曲线方程分别为：、qx 2

w =-(x 2-4lx +6l 2)

24EI 。

3

解：用支反力F R 代替支座B （见图2），则B 端在q 和F R 的作用下挠度为零，即： (w B ) q +(w B ) F R =0

∴ -ql 4EI +F R l 3=0 ∴ F R =3ql

B

图2

7．一铸铁圆柱的直径为40mm ，其一端固定，另一端受到315 N.m的力偶矩作用。若该铸铁材料的许用拉应力为[σt ]=30MPa ，试根据强度理论对圆柱进行强度校核。

解：圆柱表面的切应力最大，即：

τmax =T max /W t =T max /(πd 3/16) =25Mpa

圆柱表面首先破坏，其上任一点的应力状态为纯剪切，见图3。

25MPa

图3

进行应力分析可得：

2

σmax ⎫0+0⎛0-0⎫2

± ⎪+25=±25MPa ⎬=

σmin ⎭2⎝2⎭

∴ σ1=25MPa ，σ2=0， σ3=-25MPa 由第一强度理论有： σ1=25MPa ≤[σt ]

满足强度条件。

8．一根圆截面压杆两端固定，工作压力F=1.7KN，直径为d=8mm，材料为A3钢，其性能

σ=240MPa a =304MPa b =1. 12Mpa

参数为：E =210GPa ，σs =235MPa ，p ，，。杆的长

度为l =260mm ，规定的稳定安全系数是n st =3. 5。试校核压杆的稳定性。

4

解：（1）μ=

1d

，i = 24

∴λ=μl i =65

π2E

=92. 9 而 λ1=

σp

λ

a -σs

=61. 6 b

λ>λ2

即有 λ2

12

πd =11. 62KN 4

（3） 工作安全系数： n =

F cr 11. 62

==6. 8>n st F 1. 7

压杆稳定性满足。

9、某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N 1 = 500马力， 输出功率分别 N 2 = 200马力及 N 3 = 300马力，已知：G =80GPa ，[τ ]=70M Pa，[θ ]=1º/m ，试确定：①AB 段直径 d 1和 BC 段直径 d 2 ？②若全轴选同一直径，应为多少？③主动轮与从动轮如何安排合理？

5

N 3

解：

（1）计算外力偶矩

（4分）

N

m =7024(N⋅m)

n

据扭转强度条件：，， t max =T max t ≤[]可得：

ττ

W =πd 3

d 1'=80mm , d 2'=67.4mm

由扭转刚度条件：

ϕ'=(T max GI p )(180/π) ≤[θ],I p =πd /32

4

可得：

d 1''=84mm , d 2''=74.4mm

d =85mm , d =75mm

综上所述，可取： 12

(2) 当全轴取同一直径时， 1

(3) 轴上扭矩的绝对值的越小越合理，所以，1轮和2轮应该换位。换位后, 轴的扭矩如图所示, 此时,

d =d =85mm

(kNm)

6

10．如图所示上端铰支、下端固定、不计自重的压杆，杆长l =5m ，横截面面积为A =1561mm 的等边角钢，其沿形心轴y 、z 方向的惯性半径分别为

i z =38.8mm , i y =19.8mm

2

。材料为A3钢，

[σ]=170MPa。（1）当P =40kN 时，校核压杆的稳定性。（2）确定保证压杆的不失稳的最大许可荷载[P]。 已知A3钢的柱子曲线为：

解：（1）校核稳定性： ①求柔度

μ=0.7,

λy =μl =0.7⨯=176.77, λz =μl =0.7⨯

y

z

λ=max(λy , λz ) =176.77≈177

②采用内插法求折减系数φ

(180-170) :(177-170) =(0.218-0.243) :(ϕ-0.243) →ϕ=0.2255

③校核:

P 40⨯103

=Pa =113.63M Pa

故，安全稳定。

（2）确定压杆的不失稳的最大许可荷载[P ]

P ≤ϕ⋅A [σ]=0.2255⨯(1561⨯10-6) ⨯(170⨯106) N =59.84kN

故，许可荷载

[P ]=65.35kN

11．下图所示体系中，不计重量的刚性杆AB 水平地由三根钢杆悬吊。已知：三根钢杆横截面面积均为A ，弹性模量均为E 。1、2杆长度均为l ，3杆长度为2l 。今在刚性梁AB 中点作用于一横向已知力P ，求体系的三根钢杆的轴力关于P 的表达式。

7

2

解：（1）研究AB 杆，由对称性可知：N 1=N 2

∑F

y

=0→N 1+N 2+N 3=P

（2）列变形协调方程：分析系统，由对称性可知，AB 杆向下平行移动，其移动的距离即为各杆的变形，即∆l 1=∆l 2=∆l 3。

（3）由虎克定理可知：

∆l 1=

N ⋅2l ∆l 1=∆l 2=∆l 3N 1⋅l N ⋅l

, ∆l 2=2，∆l 3=3−−−−→N 2=2N 3

N 1=N 2

EA EA EA

（4）将N 1= N2= 2N 3代入平衡方程式，可得：

121

N 1+N 2+N 3=P →2N 2+N 2=P →N 2=P =N 1，N 3=P

255

12．如下图所示等截面圆轴，主动轮的输入功率P A =350kW，三个从动轮输出功率P B =100kW， P C =130kW， P D =120kW 。轴的转速n =600r/min，剪切弹性模量G =80GPa ，

τ=60MPa θ=1/m 。试：画出该传动轴的扭矩图, 并确定[][]许用剪应力，许用单位扭转角

该等截面圆轴的直径。（不考虑转轴的自重和弯曲变形）。

350kW

(b

T 图

解：（1）计算外力偶矩：

m A =9550

P A 350=9550⨯N ⋅m =5570.83N ⋅m n 600

8

m B =9550

P B 100=9550⨯N ⋅m =1591.66k N ⋅m n 600

P 130

m C =9550C =9550⨯N ⋅m =2069.17N ⋅m

n 600 P 120

m C =9550C =9550⨯N ⋅m =1910N ⋅m

n 600

（2）画扭矩图如图(b)所示。可见，内力最大的危险面在AC 段内，最大扭矩值 │T max │=3979.17N∙m 。 （3）确定轴的直径d

1）按强度条件得：

τmax =

T max T =max ≤[τ]=60MPa →d 1≥==69.64mm W P d 1316

2）按刚度条件得

θmax

T max 180 T max 180

=⨯=⨯≤[θ]=1 /m 4

πd GI P ππG 2

32

==73.40mm

→d 2≥

故，D =max(d 1, d 2) =73.40mm

13、悬背梁之某处收到支撑，如图（a ）所示。悬臂梁在集中载荷作用下的挠曲线方程分别为：

15．求图示超静定梁的支反力，并绘出剪力图和弯矩图。

10

解：去掉多余约束铰支座B ，且B 点挠度w B =0，有补充方程

16、等截面工字形梁受力和尺寸如图所示。已知梁材料的许用正应力[

σ]=120MPa

, 许用剪

应力[τ]=60MPa ，P =80kN ，不考虑梁的自重。试：（1）校核的正应力强度。 （2）校核的剪应力强度。（3）采用第三强度理论校核梁B 的右截面腹板上、腹板与翼板的交接处a 点的强度。

(a ) (b )

V 图

(c )

M 图

解：（1）外力分析，荷载与轴线垂直，发生弯曲变形。截面水平对称轴为中性轴z 轴。求截面的几何性质

I z =

11

⨯0. 120⨯0. 1803-⨯(0. 120-0. 015) ⨯0. 1203=4. 32⨯10-5m 41212

S z *,max =120⨯30⨯75+60⨯15⨯30=297000mm 3=2.97⨯10-4m 3

*

S a =120⨯30⨯75＝27000mm 3=2.7⨯10-4m 3

（2）内力分析，内力图如图（b ）、（c ）所示。B 支座的右截面的弯矩值最大，为正应力强度危险面；AB 段横截面的剪力最大，为剪应力强度危险面；B 支座的右截面的弯矩值、剪力都最大，为第三强度理论的危险面

M B +=-0.7⨯80=-56(kN ⋅m) ，V B +=80kN =V AB

(3) 应力分析，判危险点：

B 支座的右截面的上下边缘点都是正应力强度的危险点；AB 段中性层上各点是剪应力强度的危险点。B 支座的右截面的a 点既有正应力又有剪应力处于复杂应力状态。

（4）对梁进行正应力校核

σmax

M max 56⨯103⨯(90⨯10-3)

=⋅y max =(Pa ) =116.67(MPa)

I z 4.32⨯10

故，正应力强度足够。

（5）对梁进行剪应力强度校核

τmax =

V ⋅S z *,max

I z b

80⨯103⨯(2.97⨯10-4)

=(Pa ) =36.67(MPa)

（6）按第三强度理论对梁B 支座的右截面a 点进行强度校核。

σa =

M B +I z

56⨯1036

y a =⨯0.06=77.77⨯10(Pa ) =77.77(MPa ) -5

4.32⨯10

80⨯103⨯(2.7⨯10-4)

τa ==Pa =33.33(MPa ) -5

I z b (4.32⨯10) ⨯0.015

*V B +⋅S a

σr 3==102.43(MPa ) ≤[σ]=120MPa 故，梁的强度足够。

17．从某钢构件中取下的一个三向应力单元体状态如图所示，应力单位为MPa 。已知泊松比

μ=0.3，许用应力[σ]=100MPa ，试求主应力及单元体内最大切应力，并按第一和第二强度理论校核其强度。

第一强度理论（最大拉应力理论）σ1

≤[σ]

第二强度理论（最大拉应变理论）σ1-μ(σ2+σ3)=60-0.3(31.23-51.23)=66MPa ≤

[σ]

18．已知P 、h 、b 、l ，求图示偏心拉杆的最大拉应力和最大压应力。

m y =

2Pb m y =

2

最大拉应力发生在横截面的A 点； 最大压应力发生在横截面的B 点

。

}

σl max

N M z M y =++A W z W y

σc max

N M z M y =--A W z W y

Ph Pb P 7P =+2+2=

b h bh bh bh 66Ph Pb P 5P =-2-2=-

b h bh bh bh 66

22

A =400mm A =300mm 2119．矿井起重机钢绳如图（a ）所示，AB 段截面积，BC 段截面积，3

γ=28kN /m 钢绳的单位体积重量，长度l =50m 起吊重物的重量p =12kN 求：1）钢绳内的

最大应力；2）作轴力图。

解：1）在可能危险的1段B 面，2段C 面截开（图b ），有

-4

N B =P +γAl =12+28⨯3⨯10⨯50=12.42kN 1

N B 12.42⨯103σB ===41.4MPa

A 13⨯10-4

-4

N C =P +γAl 1+γA 2l =12.42+28⨯4⨯10⨯50=12.98kN

N C 12.98⨯103σC ==

A 24⨯10-4=36.8MPa

所以：σ max =σB =41.4MPa 2）作轴力图

取1-1截面（AB 段，见图（b ）

(x )=P +γA x (0≤x ≤l ) (a )N 1111取2-2截面（BC 段）

(x )=P +γAl +γA l (x -l ) (l ≤x ≤2l ) (b )N 21222由式（a ） N A =N (O )=P =12kN

-4

N B =N (l )=P +γAl 1 =12+28⨯3⨯10⨯50

=12.42kN

在图(c)所示在坐标下, 由式(a)、(b)知N (x ) 随x 呈直线变化。由三个控制面上控制值 画出由两段斜直线构成的轴力图。

20．图示杆件由两种材料在I-I 斜面上用粘结剂粘结而成。已知杆件横截面面积

A =2000mm 2，根据粘结剂强度指标要求粘结面上拉应力不超过σ0=10MPa ，剪应力不超过

τ0=6MPa ，若要求粘结面上正应力与剪应力同时达到各自容许值，试给定粘结面的倾角a

并确定其容许轴向拉伸载荷P 。

21．不计自重的矩形悬臂梁尺寸、荷载如图所示。两集中力大小都为P ，其中一个与梁的轴线重合，另一个与轴线垂直；而均布荷载的合力也为大小P 。梁采用铸铁材料制成，其许用

-+

⎡⎤⎡⎤=120MPa σσ=40MPa

拉应力⎣⎦，许用压应力⎣⎦。不考虑横力弯曲的剪力对强度的影响，

试确定许可荷载P 的大小。

单位：mm

解：（1）外力分析判变形：梁由于受到两个平面的外力和轴向力作用，将生斜弯曲和轴向压缩变形。 （2）内力分析判危险面：固定端右截面弯矩的最大

11P

M z ,max =P y l +ql 2=2⨯P cos30 +⋅⨯22=+P =2.732P

222

M y ,max =P z ⨯l =2⨯P sin 30 =P

（3）应力分析判危险点：固定端右截面的最上最后角B 点具有最大拉应力，以及最前最

N =-P

下角A 点为危险点具有最大压应力。 （4）强度计算，确定截面的尺寸。

o

⎧+N M z ,max M y ,max P 2.732P P σ=σ=++=-++B ⎪max 22

0.2⨯0.30.3⨯0.2A W W 0.2⨯0.3z y ⎪

66⎪

⎪=-16.67P +910.67P +500P ≤⎡σ+⎤=40⨯106⎪⎣⎦⎨⎪M y ,max N M -⎪σmax =σA =-z ,max -

A W z W y ⎪

⎪-6

⎡⎤=-16.67P -910.67P -500P ≤σ=120⨯10⎪⎣⎦⎩

⎧P ≤28.69kN →⎨

⎩P ≤84.07kN

故，梁的许可荷载P 的大小：[P ]=28.69kN

22．图示结构中，BC 由一束直径为2mm 的钢丝组成，若钢丝的许用应力为[σ]=160MPa ，

q =30KN /m 。试求BC 需由多少根钢丝组成。

解：

∑M A =0，F NBC ⋅sin θ⋅4=

解得F NBC =100KN 则σ=

1

30⋅16 2

F NBC

≤[σ] n π

C

解得n ≥199. 4

23、图示木梁受以可移动荷载F = 40 kN作用. 已知[σ]=10MPa , [τ]=3MPa 。木梁的截面为矩形, 其高宽比

h 3=b 2

。试选择梁的截面尺寸。

由剪应力强度计算

F smax =40kN

τmax =2

3F ≤[τ]

2bh

b=115.5mm, h=173mm;

由正应力强度计算

M max =10kN.m

σmax =

M max

≤[σ] W z

b=138.7mm, h=208mm

24、如图所示为一T 字形铸铁梁，已知受弯时抗拉许用应力[σ]t =30MPa ，抗压[σ]c =60MPa 。试校核此梁是否安全。图示截面尺寸长度单位为mm 。

25、Q235钢制成的矩形截面杆, 两端约束以及所承受的载荷如图示（a ）为正视图（b ）为俯视图），在AB 两处为销钉连接。若已知L ＝2300mm ，b ＝40mm ，h ＝60mm 。材料的弹性模量E ＝205GPa

正视图： bh 3

A =bh I z =

12

I z =h i z =

23A

μl μl (1⨯2300)⨯2=132. 8 λ=101= λz ==P h i z 60

23

俯视图： hb 3A =bh μ=0. 5

I z = 12 I y b i y ==

A 2

(1⨯2300)⨯2μl =μl

=λ==99. 6 λP =101 y

40i y

2 2332

π⨯205⨯10⨯40⨯60πEI z =275kN =F cr =22

12⨯2300μL