2.2.1平面向量基本定理
张喜林制
2.2.1
平面向量基本定理
考点知识清单
1.平面向量基本定理 如果 e1、e2 是同一平面内的两个不平行向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只有一对实数
a1、a2 , 使不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组
做向量 a 关于基底 {e1 , e 2 } 的分解式. 2.直线 l 的向量参数方程式
记为
.
叫
A、B 是直线 l 上任意两点,O 是 l 外一点,则对于 l 上任意一点 P,存在实数 t,使 OP 3.线段中点的向量表达式 A、B 是直线 l 上任意两点,O 是 l 外一点,M 是线段 AB 的中点,则 OM
要点核心解读
1.平面向量基本定理 平面向量基本定理如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不平行的向量,那么对该平面内的任一向量 a,存 在唯一的一对实数 a1 , a2 , 使
a a1e1 a2 e2
我们把不共线向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记为 {e1 , e2 } a1e1 a2 e2 叫做向 量 a 关于基底 {e1 , e 2 } 的分解式. 2.直线 l 的向量参数方程式及线段的中点的向量表达式 已知 A、B 是直线 L 上任意两点,O 是 l 外一点(如图 2 -2 -1-1 所示) ,求证:对直线 L 上任一点 P, 存在实数 t,使 OP 关于基底 {OA, OB} 的分解式为 (﹡)
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并且,满足(﹡)式的点 P 一定在 L 上. (1)证明如下: 证明:设点 P 在直线 L 上,则由平行向量基本定理知,存在实数 t,使
AP t AB t (OB OA).
所以 OP OA AP
OA t OB tOA
(1 t )OA tOB.
设点 P 满足等式 OP (1 t )OA tOB, 则 OP OA t (0B OA), 得到 AP t AB, 即 P 在 L 上. (2)由上面证明可知,对直线 L 上任意一点 P,一定存在唯一的实数 t 满足向量等式(﹡) ;反之,对 每一个数值 t,在直线 L 上都有唯一的一个点 P 与之对应,向量等式(﹡)叫做直线 L 的向量参数方程式, 其中实数 t 叫做参变数,简称参数. (3)在(﹡)中,令 t
1 , 点 M 是 AB 的中点,则 2
这是线段 AB 的中点的向量表达式,
典例分类抛析
考点 1 概念辨析问题
[例 2] 如图 2-2-1-2, 设 O 是平行四边形 ABCD 两对角的交点, 下列向量组: ① AD与AB; ②DA与BC;
③CA与DC; ④OD与OB, 其中可作为这个平行四边形所在平面内表示它的所有向量的基底的是(
A.①②
[试解]
).
B.①③
C.①④
D.③④
(做后再看答案,发挥母题功能)
[解析] ① AD 与AB 不共线,
②DA BC, DA // BC, DA 与BC 共线,
③CA与DC 不共线.
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④OD OB, OD // OB, OD与OB 共线,
由平面向量基底的概念知①③可构成平面内所有向量的基底 [答案] B [点拨] 关键是看向量组中向量是否共线.
(
1.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量
的基底的是(其中 i,j 是不共线的一组向量) ).
①e1 i 2 j, e2 5i 7 j; ②e1 3i 5 j, e2 10 j; ③e1 2i 3 j , e2
A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③
考点 2 向量的基底表示问题
1 3 i j 2 4
[例 2] 在平行四边形 ABCD 中,设 AC a, BD b, 试用 a、b 表示 AB 、 BC. [解析] 可以用转化法,也可用方程的思想求解, 解法一:设 AC 、 BD 相交于点 0,
1 1 1 a, BO BD b, 2 2 2 1 1 ∴ AB AO OB AO BO a b, 2 2 1 1 BC BO OC OC BO a b. 2 2
则有 AO OC 解法二:设 AB x, BC y, 则有
x y a, AB BC AC, 且 AD BC y, 即 y x b, AD AB BD,
y 1 1 (a b), x (a b), 2 2 1 1 1 1 即 AB a b, BC a b. 2 2 2 2
[点拨] 本题事实上是平面向量基本定理的应用,由于 AC 、 BD. 不共线.所以平面内的所有向量都
可以用它们表示.以上两种解法,思想方法有所不同,解法一通过观察图形,直接寻求向量之间的关系; 解法二则采用了方程思想,即直接用 AB 、 、 BC 看做是未知量,利用方程思想, BC 表示 a、b,然后将 AB 解得 AB、BC, 为使问题表达简单,采用了代换 AB x、 BC y 2.(1)如图 2-2 -1 -3,已知梯形 ABCD 中, AB // CD.且AB 2CD, M、N 分别是 DC、AB 的中点,
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设 AD a, AB b, 试以 a、 b 为基底表示 DC 、 BC、 MN. (2)设 M、N、P 是△ABC 三边上的点,它们使 BM
1 1 1 BC , CN CA, AP AB , 若 AB a, AC 3 3 3
b , 试用 a,b 将 MN、 NP、 PM 表示出来.
考点 3 直线的向量参数方程应用
[例 3] 如图 2 -2 -1-4,设一直线上三点 A、B、P 满足 AP PB( 1),O 是平面上任一点,则 ( ).
A.OP
0 A OB 1
B.OP
0 A OB 1
C.OP
OA OB 1
D.OP
0 A OB 1
[试解] . (做后再看答案,发挥母题功能) [解析] 本题可直接运用直线 l 的向量参数方程式判断,由直线的向量参数方程式,若 P 在直线 AB 上(或 P、A、B 共线) ,则一定存在实数 t,使得 OP (1 t )OA tOB, 注意(1- t ) t 1, 本题也可直接 利用向量减法的几何意义,构造向量方程.从而解出 OP. 解法一:∵ A、B、P 三点共线,∴ 一定存在实数 t,使得 OP (1 t )OA t OB, 而 t 满足
(1 t ) t 1, 选项中只有 A :
1 1 1 符合, 1 1 1
解法二:由 AP PB, 得 OP OA (OB .OP),
OP
0 A OB ( 1) 1
[答案] A [点拨] 本题实质上是直线向量参数方程的变式.
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3.设 OA 、 OB 不共线, P 点在 AB 上,求证: OP OA
OB 且 1( , R) 考点 4 证明几何问题
[例 4] 平面内有一个△ABC 和一点 o(如图 2-2 -1-5),线段 OA、OB、OC 的中点分别为 E、F、G,BC、 CA、AB 的中点分别为 L、M、N,设 OA a, OB b, OC c. (1)试用 a、b、c 表示向量 EL 、 FM、 GN; (2)证明线段 EL 、FM 、GN 交于-点且互相平分.
[解析] (1)结合图形, 利用向量的加、 减法容易表示出向量 EL FM、 GN. (2)要证三条线段交于一点 且互相平分,可考虑证明 P 点到三条线段中点的向量相等. (1)如图 2-2 -1-5. OE
1 1 a, OL (b c), 2 2
EL OL OE
1 (b c a) 2 1 1 同理 FM (a c b), GN (a b c) 2 2
(2)证明:设线段 EL 的中点为 P 1, 则
OP1
1 1 (OE 0 L) (a b C ). 2 4
设 FM、GN 的中点分别为 P2、P3 , 同理可求得
OP2
1 1 (a b C ), OP3 (a b C ). 4 4
EL 、FM 、GN 交于一点,且互相平分. OP 1 OP 2 OP 3, 即
[点拨] 用向量法证明三线相交于一点且互相平分常用的方法是:在平面上找一点,证明这点到三条 线段中点的向量相等,找点时,要考虑运算的简便性. 4.证明:三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。 考点 5 综合应用
[例 5] 如图 2-2 -1-6 所示,在△OAB 中,AB 上有一点 P(点 P 不与 A、B 重合) ,设 .求证: x y 1, 且 AP 2 PB. OA a, OB b, OP xa yb (x、y 均为非零实数)
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[解析] 利用向量的加减法则及共线向量将 OP 用 a、b 表示出来,再用待定系数法求解,
A、P、B共线, AP AB.
0P OA (OB OA). OP b (1 )a. 令 1 x, y, OP xa yb, 且x y 1.
由 AP AB ( AP PB), 得 (1 ) AP PB,
AP
1
PB 2 PB.
[点拨] 本题证明的关键是由 A、P、B 三点头线得出 AP AB, 同时注意利用平面向量基本定理表 示向量,通过对应系数相等,确定待定系数的值. 5. 已知 e1 , e2 为平面 的基底. 对于非零向量 p, q, 如果存在不全为零的实常数 , 使得 p q 0, 那么称向量 p,q 是线性相关的,否则称向量 p,q 是线性无关的.对于平面 内两个向量
a 3e1 4e2 , b e1 e2 , 试判断向量 a,b 是线性相关的还是线性无关的?为什么?
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学业水平测试
1.下面三种说法: ①一个平面内只有一对不共线的向量可作为该平面内所有向量的基底;②一个平面内有无数多对不共 线的向量可作为该平面内所有向量的基底; ③零向量不可作为基底中的向量, 其中正确的说法是( ).
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
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2.
已知向量 e1 则下列关系中一定成立的是( 0, e2 0, R, a e1 e2 , b 2e1 , 若 a 与 b 共线,
).
A. 0
B. 0
C.e1 // e2
D.e1 // e2 或 0
)
3.若 OP 1), 则 OP ( 1 a, OP 2 b, P 1 P PP 2 (
1 a b 1 1 3 4.如图 2 -2 -1-8,在△ABC 中, P 为 BC 边上一点,且 BP PC , 2
A.a b
B.a (1 )b
C.a b
D.
(1)以 AB 、 AC 为基底表示 AP (2)以 AB 、 PC 为基底表示 AP
5.已知向量 i、j 不共线,实数 . 满足等式 3i (10 ) j 2i (4 7) j, 则 值为 6.如图 2 -2 -1-9,在△ABC 中,D 是 BC 边的中点,E 是 AD 的中点,试用 AB 、 AC. 表示 CE.
, 值为
高考能力测试
(测试时间:45 分钟测试满分:100 分) 一、选择题(5 分 x6 =30 分) 1. 在同一平面内的向量 a, e1 , e2 , e3 , e4 , 已知 a 1e1 2 e2 则( ).
1e3 2 e4 , 且 e1 , e2 不共线, e3 , e4 不共线,
A.1 1 , 2 2
D.以上说法都对
B.1 1 , 2 2
e2、e3、e4 有 关 C.1、2、1、 2 的 取 值 与 e1、
2.已知 e1、e2 是同一平面内不共线的任意两个向量,下列说法正确的有(
).
①e1 e2 (, R) 可以表示平面 内的所有向量②若实数 . 使 e1 L2 0, 则 0 ③对
于平面α 内任一向量 a,使 a e1 e2 的实数 、 有无数多对④若 1e1
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1e2 与 2 e1 2 e2
共线,则有且只有一个实数 A,使 2 e1
2 e2 (1e1 1e2 )
D. ①③
).
A. ①②
B.③④
C.②③
3.已知 a xe1 2e2 与 b 3e1 ye2 共线,且 e1、e2 不共线,则 xy 的值为(
A.6
2 B. . 3
C. 6
D.
2 3
)
4.如图 2 -2 -1 -10,在矩形 ABCD 中,若 BC 5e1 , DC 3e2 , 则 OC (
1 A. (5e1 3e2 ) 2
1 B. (5e1 3e2 ) 2
1 C. (3e2 5e1 ) 2
1 D. (5e2 3e1 ) 2
5. (2010 年全国卷Ⅱ)在△ABC 中,D 在 AB 上,CD 平分 ACB, CB a, CA b, | a | 1, | b | 2, 则 CD ( ).
1 2 A. a b 3 3
2 1 B. a b 3 3
3 4 C. a b 5 5
).
4 3 D. a b 5 5
6.在平行四边形 ABCD 中.AC 与 BD 交于点 0,E 是线段 OD 的中点.AE 的延长线与 CD 交于点 F,若
AC a, BD b, 则AF 等于(
1 1 A. a b 4 2 2 1 B. a b 3 3
1 1 C. a b 2 4
1 2 D. a b 3 3
二、填空题(5 分 x3 =15 分) 7.已知向量 e1、e2 不共线,实数 x,y 满足 (3x 4 y)e1 (2 x 3 y) e2 6e1 3e2 , 则 x y 的值等于 8.如图 2 -2 -1 -11,在△ABC 中,点 M 是 BC 的中点,点 N 在边 AC 上,且 AN 2 NC , AM 与 BN 相交 于点 P,则 AP : PM 的值为
9. ( 2007 年陕西高考题)如
图 2-2 -1 -12 ,平面内有三个向量 OA 、 OB、 OC, 其中 OA与OB 的夹角为
120 , OA 与OC 的 夹 角 为 30 , 且 OA | OB 1, OC 2 3. 若 OC OA OB(, R), 则
的值为
三、解答题(11 分 x5 =55 分)
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10.如图 2-2 -1 -13.□ABCD 中, AB a.AD b, H、M 是 AD 、DC 的中点,点 F 使 BF 用 a、b 表示向量 AM与HF.
1 BC , 3
11. 如 图 2-2 -1 -14 , 在 梯 形 ABCD 中 , AB // CD, M、N 分 别 是 DA 、 BC 的 中 点 , 且
DC k, 设 AB
BC、 MN AD e1 , AB e2 , 试以 e1、e2 为基底表示向量 DC、
12.如图 2-2 -1 -15 所示,在平行四边形 ABCD 中,M 是 AB 中点,点 N 在 BD 上,且 BN N,C 三点共线.
1 BD , 求证:M, 3
13.如图 2-2 -1 -16 所示,在△ABC 中, AB a, AC b, AP c, AD a(0 1),
AE b(0 1), 试用 a,b 表示 c.
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14.如图 2-2 -1 -17. 若点 L、 M、 N 分别为△ABC 的边 BC、CA、 且 AB 上的点, 当 AL BM CN 0 时,求证: l m n.
BL CM AN l, m, n. BC CA AB
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