2009-2011士兵考军校真题

2011年军队院校招生考试数学试题

一、选择题，本题共有9小题，每个小题都给出代号A、B、C、D的四个结论，其中只有一个结论

是正确的，将正确的结论代号写在答题纸指定位置上，选对得4分，选错、不选或多选一律得0分。 1． 函数f(x)(1tanx)cosx的最小正周期为（ ）

A． B．

3 C．2 D． 22

2． 下列函数中，满足“对任意x1、x20,，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”的是（ ）

1

B．f(x)(x1)2 C．f(x)ex D．f(x)ln(x1) x11

3． “sin”是“cos2”的（ ）

22

A．f(x)

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件



4． 已知向量a(2,1),ab10,ab52，则b（ ）

A． B． C．5 D．25

5． 已知函数f(x)在R上满足f(x)2f(2x)x28x8，则曲线yf(x)在点(1,f(1))处

的切线方程是（ ）

A．y2x1 B．yx C．y3x2 D．y2x3

6． 若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（ ）

A．

222 B． C． D．

3633

2

4

7． 在二项式(x)的展开式中，含x的项的系数是（ ）

1x

5

A．10 B．5 C．5 D．10 8． 设等比数列an的前n项和为Sn，若

A．2 B．9． 已知函数f(x)

S6S

3，则9（ ） S3S6

78

C． D．3 33

alog2x,x2

在点x2处连续，则常数a的值是（ ） x2x2,

A．2 B．3 C．4 D．5

二、填空题，本题共有8个小题，每个小题4分，只要求给出结果，并将结果写在答题纸指定位置

上。

1． 如果

lim

n

1n(nan)

1，那么常数a_______________。

x

2． 若AxRx3，BxR21，则AB_______________。





3． 记f(x)log3(x1)的反函数为f4． 若sin

1

(x)，则方程f1(x)8的解x_______________。

4

，tan0，则cos_______________。 41

a是奇函数，则a_______________。 5． 若f(x)x

21

6． 设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45角的平面截球O的表面得到圆C。

若圆C的面积等于



7

，则球O的表面积等于_______________。 4

7． 将4名大学生分配到3个连队去当排长，每个连队至少一名，则不同的分配方案有

_______________种（有数学作答）。 8． 已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A、B两点，若

P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_______________。

三、（18分）计算题，本题共2个小题，每个小题9分。

1

x,x0

1．若函数f(x)，求不等式的解集。

1x

(),x03

2．在中ABC中，BC5,AC3,sinC2sinA。 （Ⅰ）求AB的值； （Ⅱ）求sin(2A



4

)的值。



四．（14分）已知各项均为正数的数列an中，a11，Sn是数列an的前项和，对任意nN，

有2Sn2panpanp(pR) （Ⅰ）求常数p的值；

（Ⅱ）求数列an的通项公式； （Ⅲ）记bn

2

4Sn

2n，求数列bn的前n项和Tn。 n3

五．（10分）袋中有大小、形状及重量都相同的红、黑球各一个，现在有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球。

（Ⅰ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；

（Ⅱ）若摸到红球得2分，摸到黑球得1分，求3次摸球所得总分为5分的概率。

六．（12分）设函数f(x)x

3

92

x6xa。 2

（Ⅰ）若对于任意实数x，f(x)m恒成立，求m的最大值； （Ⅱ）若方程f(x)0有且仅有一个实根，求a的取值范围。

七．（14分）如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，PAABAC2，E是PC的

中点，BAC60。

（Ⅰ）求异面直线AE与PB所成角的大小； （Ⅱ）求三棱锥AEBC的体积。

A

B E



P

C

x2y22

八．（14分）设椭圆221(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e，右准

2ab

线为l，M、N是l上的两个动点，F1MF2N0。

，求椭圆的方程；

取最小值时，F1F2与F

1F2

2010年军队院校招生考试数学试题

一、选择题，本题共有9小题，每个小题都给出代号A、B、C、D的四个结论，其中只有一个结论

是正确的，将正确的结论代号写在答题纸指定位置上，选对得4分，选错、不选或多选一律得0分。

1． 若集合Ax2x3，Bxx1，或x4，则AB（ ） A．xx3,或x4 B．x1x3 C．x3x4 D．x2x1 2． 复数1







2

（ ） 2i

A．12i B．12i C．3 D．1

2

3． a0是方程ax2x10至少有一个负根的（ ）

A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4． sin330（ ） A．



11 B． C． D．

2222

5． 若过点A(4,0)的直线l与曲线(x2)2y21有公共点，则直线l的斜率的取值范围为

（ ）

3333

 ,,A．3,3 B．3,3 C． D．3333



6． 已知一个正六棱柱的顶点都在一个球面上，且该六棱柱的体积为

个球的体积为（ ）

9

，底面周长为3，那么这8

3445 B． C． D． 4354

11010

7． (1x)(1)展开式中的常数为（ ）

x

A．

1210

A．1 B．(C10 ) C．C10 D．C20

1

8． 设等比数列an的公比q2，前n项的和为Sn，则A．

S4

（ ） a2

1517 B．4 C．2 D． 22

9． 已知0a1,xloga2loga,yloga5,zloga21loga，则（ ）

A．xyz B．zyx C．yxz D．zxy

二、填空题，本题共有8个小题，每个小题4分，只要求给出结果，并将结果写在答题纸指定位置

上。



1． 设向量a,b的夹角为120，a1,b3,则5ab_______________。

2． 将一个骰子连续抛掷2次，其中向上的点数之和为4的概率为_______________。 3．

lim

n

3n1

。 _______________。n1n

32

21

4． log(322)的值为_______________。

5． 若函数f(x)(xa)(bx2a)（常数a,bR）是偶函数，且它的值域为,4，则该函数

的解析式为_______________。

6． 若函数yf(x)的定义域是0,2，则函数g(x)

f(2x)

的定义域是_______________。 x1

7． 某学校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲乙两门课程不能都选，则不同的选课方案

有_______________。（以数字作答）

x2y2

1的离心率是3，则n_______________。 8． 已知双曲线

n12n

三、（16分）本题共2个小题。 1． （本小题6分）解方程：25x

2

x0.5

5

2． （本小题10分）在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，

a23,tan

ABC

tan4,2sinBcosCsinA,求A,B及b,c。 22

2

四、（本小题12分）数列an满足：a11,a22,an2(1cos（Ⅰ）求a3,a4；

（Ⅱ）求数列an的通项公式。

nn

)ansin2(n1,2,3,) 22

五、（本小题12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示

只要面试合格就签约。乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每

人面试合格的概率都是

1

，且面试是否合格互不影响。求 2

（Ⅰ）至少有一人面试合格的概率； （Ⅱ）签约人数的分布列和数学期望。

六、（本小题14分）已知a是实数，函数f(x)

xxa。

（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间，说明f(x)在定义域上有最小值 （Ⅱ）设ma为f(x)的定义域上的最小值，写出ma的表达式； （Ⅲ）当a= 10 时，求出f(x)

xx10在区间0,3上的最小值。

七、（本小题14分）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，

BCFCEF90,AD,EF2。

（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF

3

（Ⅱ）当AB时，求二面角AEFC的大小。

2

F

E

x2y2

八、设椭圆221(ab0)过点M(2,1)，左焦点为F1(2,0)。

ab

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交于两不同点A,B时，在线段AB上取点Q

，满足

。证明：点Q总在某直线上。

2009年军队院校招生考试数学试题

一、（36分）本题共有9小题，每个小题都给出代号A、B、C、D的四个结论，其中只有一个结论

是正确的，将正确的结论代号写在答题纸指定位置上，选对得4分，选错、不选或多选一律得0分。 1．设R为实数集，若A为全体正实数的集合，B2,1,1,2，则下列结论正确的是（ ） A．AB2,1 B．(CRA)B(,0) C．AB(0,) D．(CRA)B2,1

ab

2．若a,bR，且ab3，则22的最小值为（ ）

A．6 B．42 C．2 D．26

2

3．条件p:xx，条件q:xx，则p是q的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件



4．已知向量a(3,1)，b是不平行于x轴的单位向量，且ab3，则b等于（ ）

A．(

13311) D．(1,0) ,) B．(,) C．(,442222

5．若圆C的半径为，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A．(x3)(y)1 B．(x2)2(y1)21 C．(x1)2(y3)21 D．(x)(y1)1 6．函数y

2

7

3

2

32

22

x21

(x)的反函数是（ ）

2x122x1x21

(x2) B．y(x) A．y

x22x12x112x1

(x) D．y(x2) C．y

2x12x2

7．

lim

n

23n32n1

（ ） 3n2n

23

A．0 B．2 C．3 D．3

8．已知数列an对任意的p,qN，满足apqapaq，且a26，那么a10等于（ ） A．165 B．33 C．30 D．21

1x2,x11

)的值为（ ） 9．设函数f(x)2，则f(f(2)xx2,x1

A．

15278

B． C． D．18 16169

二、（32分）本题共有8个小题，每个小题4分，只要求给出结果，并将结果写在答题纸指定位置上。 1．若不等式3xb4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围是_______________。

2．函数f(x)

x21log2(x1)

的定义域为_______________。

13x

3的解是_______________。 3．方程

13x

4．在ABC中，三个角A、B、C的对边边长分别为a3、b4、c6， 则bccosAcacosBabcosC的值为_______________。 5．(12x)(1x)展开式中x的系数为_______________。

3

4

6．若直线axy10经过抛物线y24x的焦点，则实数a_______________。

7．有1、2、3、4、5、6、组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是_______________。（用数字作答） 8．在体积为43的球的表面上有A、B、C三点，AB1,BC

2，A、C两点的球面距离为

3

，则球心到平面ABC的距离为_______________。 3

三、（18分）本题共有2小题，每个小题9分。 1．求解方程：log3(31)log3(3

x

x1

1

)2 3

2．已知ABC的周长为21，且sinAsinB（Ⅰ）求边AB的长 （Ⅱ）若ABC的面积为

2sinC。

1

sinC，求角C的度数。 6

四、（12分）设数列an的前n项和为Sn，a11,an12Sn(nN) （Ⅰ）求数列an的通项an； （Ⅱ）求数列nan的前项和Tn。

五、（12分）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个

红球，n 个白球，在甲、乙两袋中各任取2个球。 （Ⅰ）若n3，求取到的4个球全是红球的概率； （Ⅱ）若取到的4个球中至少有2个红球的概率为六、（12分）已知函数f(x)xlnx。

（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间和最小值；

3

，求n。 4

1b

（Ⅱ）当b0时，求证：b()e（其中e是自然对数的底数）。

e

七、（18分）如图所示，已知A1B1C1ABC是正三棱柱，D是AC的中点，AB1BC1，

求二面角DBC1C的度数。

1

A1

CC

B1

B

八、（18分）在直角坐标系xOy中，点P到两点(0,),(0,3)的距离之和等于4，设点P的轨迹

为C，直线ykx1与C交于A、B两点。 （Ⅰ）写出C的方程；

（Ⅱ）若OAOB，求k的值；

（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k

0。