量子通信课后习题答案
1——2章没找到自己看着整吧
括号是原书的题号。。。。
2.6 设一量子系的态为
，，
其中的是球谐函数. 当对此态进行角动量的测量时，
(1) 得到的可能值、相应概率及平均值分别是多少？
(2) 得到的可能值、相应概率分别是多少？
(2) 得到和的可能值以及平均值分别是多少？
2.7 按照正交投影算符概念，由自旋投影算符出发, 在 的本征值为的本征态下, (1) 沿方向
测自旋，可能得到的数值是多少？ (2) 测得自旋沿方向的概率是多少？(3) 测得自旋沿方向
的概率是多少？
2 .8已知双 qubit的EPR反关联态是
.
试证明：沿任何方向则量此态中两个粒子的自旋，发现均取相反的方向. 若呢？
2.9 任何双子系统的纯态或混态必定对应于Bloch球面上或球面内的某一点，因为它的密度
矩阵总可以写为
.
请在Bloch球上表示下述态 :
(1) ;
(2) .
第三章 量子通信
习题3
3.1 求证: 4个Bell 基都是最大纠缠态，并且两两正交.
3.2（2.9） 求证: 4个Bell 基是力学量的共同本征态.
3.3（13.2） 证明：当系综中的时即当系综为均匀系综时Shannon墒 取最大值.
3.4（2.7） 对于密度矩阵,, ,和 分别求其won Neumann 熵.
3.5（13.4） 型混合态密度矩阵的一般形式是
,
其中的都是实数. 求型混合态的von Neumann 熵的普遍表达式.
3.6 （13.3）证明：不论系统初态为纯态或混态，也不论SchrÖdinger方程是否含时.其 von
Neumann 熵是守恒量.
提示：计算并利用Liouville方程.
3.7 （13.5）证明不等式
.
3.8（13.7） 证明 von Neumann 熵的有上限. 即如果有个不为零的本征值，则
有 ,
当所有非零本征值相等时上式取等号.
3.9 （13.8）证明 von Neumann 熵的凸性（concavity )
.
3.10（13.9）设是任意两体纯态，证明态有量子纠缠存在的充要条件是条件
墒 .
3.11（13.10）证明：投影测量可能会增加熵，至少不会减少熵.
3.12 （13.11）考虑一个处在态的双粒子系统. 试证：两体熵有如下式定义的次可加
性: ,
当两个子系统无关联时上式取等号.
3.13 （13.14）同一体系的两个密度矩阵和的相对熵（relative entropy )
定义为 ,
证明它是非负的.
3.14 （3.12）计算下述两体量子态
的相对熵纠缠度.
第四章 量 子 计 算
习题 4
4.1 （11.1）已知在余数函数公式 ,
中, , ，求小于并与21互质的正整数的个数.
4.2 （11.2） 验证的周期.
4.3（11.4）验证.
为看出量子Fourier变换如何除去偏移量，下面分两种情形讨论.
(1)被周期整除情形. 此时,即，(4.4.8)式中的态可写成 . (4.4.12)
第五章 量子计算机的物理实现和消相干
习题 5
5. 1 （6.1）如果将一般的超算符用参数化来表示，需用多少个实参数？这里的是 N 维Hilbert
空间中的一个密度矩阵.（提示：利用的映射性质）
5.2（6.2）在波函数空间(Fock空间)上定义一个算符, .证明这是一个等距算子, 就是说，它满
足, 那么,（提示：利用算符的谱表示——并矢表示式）
5.3 （6.3）证明：超算符为幺正算符（或可逆算符）的充分必要条件是：
是常数，且 trC=1.
5.4 （6.4）定义：如果Hilbert空间上的一个算符没有负本征值, 就称其为正算符；如果将
它推广成任何张量积的形式也不出现负本征值，就称它为完全正算符. 这里是某一B系统状
态空间中的单位算符. 试证明：上的转置算符是个正算符，但不是一个完全正算符. (提示：
令 B的维数与A相同, 构造纠缠态，将作用在上并证明作用后的算符有负本征值.）
5.5（6.5） 证明：Kraus定理.（提示：利用上题的纠缠态以及所谓“亲属态”方法, 即对中
任一态——称作亲属态，则中对应有一个“指标态” ，使得. 再利用的完全正性质，将 作用于上.）
5.6（6.6） 为了具体地说明主方程方法和 KrauS 求和框架之间的关联，将下面两个主方
程 ,
和
等效表示为Kraus求和的形式，即给出两个Kraus算符的 2×2 矩阵表示