导 数 的 实 际 应 用

导 数 的 实 际 应 用

在工农业生产、生活等实际问题中，常常需要研究一些成本最低、利润最大、用料最省的问题. 我们先把实际情景翻译为数学语言，找出情景中主要的关系，抽象出具体的数学问题，化归为研究目标函数的最大(小) 值，从而可利用导数方法简捷求解，此类问题称为优化问题. 解答此类问题时，需要抓住三个基本步骤：① 建立函数关系；② 求极值点，确定最大(小) 值；③ 回归优化方案．

[例]用总长

比宽多

积．

解：设容器底面长方形宽为，则长为， 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果容器底面的长，那么长和宽分别为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容

依题意，容器的高为．

显然，即的取值范围是．

记容器的容积为，

则．

对此函数求导得，．

令，解得； 令，解得．

所以，当时，取得最大值1.8，这时容器的长为． 答：容器底面的长为m 、宽为m 时，容器的容积最大，最大容积为．

例6、在甲、乙两个工厂, 甲厂位于一直线河岸的岸边A 处, 乙厂与甲厂在河的同侧, 乙厂位于离河岸40 km的B 处, 乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km,两厂要在此岸边合建一个供水站C, 从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元, 问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省? 设∠BCD ＝Q, 则BC ＝,CD ＝40cotθ,（0＜θ＜＝,

∴AC ＝50－40cotθ

设总的水管费用为f （θ）, 依题意, 有

f （θ）＝3a （50－40·cotθ）+5a·

＝150a+40a·

∴f′（θ）＝40a·

令f′（θ）＝0, 得cosθ＝

根据问题的实际意义, 当cosθ＝时, 函数取得最小值,

此时sinθ＝, ∴cotθ＝,

∴AC ＝50－40cotθ＝20（km ）, 即供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km处, 可使水管费用最省.