必修五 解三角形 讲义

人教版数学必修五

第一章 解三角形 重难点解析

【重点】

1、正弦定理、余弦定理的探索和证明及其基本应用。

2、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 3、三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用；实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解决。

4、结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题。

5、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。 6、推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目。

【难点】

1、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

2、勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用，正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

3、根据题意建立数学模型，画出示意图，能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件。

4、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。 5、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。

【要点内容】 一、正弦定理：

在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即（R为△ABC外接圆半径） 1．直角三角形中：sinA=

ab

，sinB=， sinC=1 cc

abc

== =2RsinAsinBsinC

即 c=

abc

， c= ， c=． sinAsinBsinC

∴

abc== sinAsinBsinC

2．斜三角形中

证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中 111

S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA

2221abc

两边同除以abc即得：==

2sinAsinBsin

C

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证明二：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴

aa

==CD=2R sinAsinD

bc

=2R，＝2R sinBsinC

同理

正弦定理的应用

正弦定理可以用来解两种类型的三角问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；

2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况: ⑴若A为锐角时:

无解⎧a

⎪

一解(直角)⎪a=bsinA

⎨

⎪bsinA

已知边a,b和∠A

a

无解

a=CH=bsinA仅有一个解

CH=bsinA

⑵若A为直角或钝角时:⎨2、余弦定理

⎧a≤b 无解⎩a>b 一解(锐角)

余弦定理用语言可以这样叙述，三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2倍．即：

a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC

若用三边表示角，余弦定理可以写为

余弦定理可解以下两种类型的三角形：

（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角； （2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边． 注意：

在（0，π）范围内余弦值和角的一一对应性．若cosA＞0．则A为锐角；若cosA=0，则A为直角；若cosA＜0，则A为钝角．

3、余弦定理与勾股定理的关系、余弦定理与锐角三角函数的关系

在△ABC中，c=a+b-2abcosC．若∠C=90°，则cosC=0，于是

c=a+b-2ab·0=a+b．

说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．

2

2

2

2

2

2

2

2

这与Rt△ABC中，∠C=90°的锐角三角函数一致，即直角三角形中的锐角三角函数是余弦定理的特例． 4、三角形的有关定理：

内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,

cos

CA+BCA+B=sin, sin=cos 2222

面积公式：S=

111

absinC=bcsinA=casinB 222

S= pr =径)

p(p-a)(p-b)(p-c) (其中p=

a+b+c

, r为内切圆半2

射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA 5、求解三角形应用题的一般步骤： （1）、分析题意，弄清已知和所求； （2）、根据提意，画出示意图；

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（3）、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求； （4）、正确运用正、余弦定理。 【典型例题】

例1 已知在∆ABC中，c=10,A=450,C=300,求a,b和B 解： c=10,A=450,C=300 ∴B=1800-(A+C)=1050

accsinA10⨯sin450

===102 由得 a=0

sinAsinCsinCsin30

由

bc

=得 sinBsinC

csinB10⨯sin10506+20b===20sin75=20⨯=56+52

sinC4sin300

例2 在∆ABC中，b=3,B=600,c=1,求a和A,C

bccsinB1⨯sin6001解：∵=,∴sinC===

sinBsinCb2 b>c,B=600,∴C

∴a=b2+c2=2

例3 ∆ABC中，c=6,A=450,a=2,求b和B,C

accsinA6⨯sin450=,∴sinC===解： sinAsinCa22

csinA

csinB6sin750

∴当C=60时，B=75,b===3+1， 0

sinCsin60

csinB6sin150

∴当C=120时，B=15,b===-1

sinCsin600

∴b=3+1,B=750,C=600或b=-1,B=150,C=1200 例4 已知△ABC，BＤ为B的平分线，求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC 分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理

ABADBCDC

=,=将所证继续转化为，再根据相等

sinABDsinABDsinBDCsinDBC

角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论. 证明：在△ABD内，利用正弦定理得：

ABADABsinADB

=即=

sinADBsinABDADsinABD

在△BCD内，利用正弦定理得：

BCDCBCsinBDC

=,即=.

sinBDCsinDBCDCsinDBC

∵BD是B的平分线.

∴∠ABD＝∠DBC ∴sinABD＝sinDBC. ∵∠ADB＋∠BDC＝180°

∴sinADB＝sin（180°－∠BDC）＝sinBDC ∴∴

ABsinADBsinBDCBC=== ADsinABDsinDBCCDABAD

= BCDC

评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用.

例5在ΔABC中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C及边c．

asinB3⋅sin45 解：由正弦定理得：sinA=,因为B=45°b22

所以有两解A=60°或A=120°

bsinC

=(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c=

sinBbsinC

=(2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，c=

sinB

2⋅sin75 6+2

=,

2sin45

2⋅sin15 6-2=

2sin45

思维点拨：

已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解

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的情况的讨论．

tanAa2

=例6△ABC中，若，判断△ABC的形状。 tanBb2

sinAcosBsin2AcosBsinA

解一：由正弦定理：= =∴sin2A=sin2B 2

sinBcosAsinAcosAsinB

∴2A = 2B 或 2A = 180︒ - 2B 即：A= B 或 A + B = 90︒∴△ABC为等腰或直角三角形

aa2+c2-b2

⋅

sinAcosBa2a2=⇒2=2 解二： 由题设：

cosAsinBb2b+c2-a2bb

⋅

2bc2R

化简：b2(a2 + c2 - b2) = a2(b2 + c2 - a2) ∴(a2 -b2)(a2 + b2 - c2)=0 ∴a = b或 a2 + b2 = c2 ∴△ABC为等腰或直角三角形． 思维点拨：判断三角形的形状从角或边入手．

例7在ΔABC中，已知Ａ，Ｂ，Ｃ成等差数列，b=1, 求证：1

abcb

==,得a+c=(sinA+sinC)=

sinBsinAsinBsinC

2323

(sinA+sinC)= [sinA+sin(120°－A)]=2sin(A+30°)，因为0°

所以30°

法二．∵B=60°,b=1，∴a+c-b=2accos60°, ∴a+c-1=ac, ∴a+c-ac=1,

∴(a+c)+3(a-c)=4, ∴(a+c)=4-3(a-c). ∵0≤a-c1, 1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2Rsin2A-sin2C=

解：由已知条件得

(

)2a-bsinB成立，求△ABC面积S的最大值．

)

(2R)2

(sin

2

A-sin2B=2RsinB

)

2a-b．即有 a2-c2=2ab-b2，

)

a2+b2-c22π

=又 cosC= ∴ c= ．

2ab24

122

ab=⋅4R2sinAsinB ∴ S=absinC=

244

=-

22

R[cos(A+B)-cos(A-B2

2+12

R． 2

)]=

⎤22⎡2

R⎢+cos(A-B)⎥ ． 2⎢⎥⎣2⎦

所以当A = B时，Smax=

思维点拨：：三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三角函数的有关性质．

例9AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑

物高度AB的方法。

分析：求AB长的关键是先求AE，在∆ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。

解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α、β，CD = a，测角仪器的高是h，那么，在∆ACD中，根据正弦定理可得

AC =

asinβ

sin(α-β)

AB = AE + h = ACsinα+ h

=

asinαsinβ + h sin(α-β)

例10如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=54︒40'，在塔底C处测得A处的俯角β=50︒1'。已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)

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解:在∆ABC中, ∠BCA=90︒+β,∠ABC =90︒-α,∠BAC=α- β,∠BAD =α.根据正弦定理,

BCAB

=

︒

sin(α-β)sin(90+β)

BCsin(90︒+β)BCcosβ

所以 AB ==

sin(α-β)sin(α-β)

解Rt∆ABD中,得 BD =ABsin∠BAD=将测量数据代入上式,得

BCcosβsinα

sin(α-β)

27.3cos50︒1'sin54︒40'

BD =

sin(54︒40'-50︒1')27.3cos50︒1'sin54︒40'

=

sin4︒39'

≈177 (m)

CD =BD -BC≈177-27.3=150(m)

答:山的高度约为150米.

例11如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15︒的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25︒的方向上,仰角为8︒,求此山的高度

CD.

解:在∆ABC中, ∠A=15︒,∠C= 25︒-15︒=10︒,根据正弦定理,

BCAB = , sinAsinC

ABsinA5sin15︒ BC == ︒

sin10sinC

≈ 7.4524(km)

CD=BC⨯tan∠DBC≈BC⨯tan8︒≈1047(m)

答:山的高度约为1047米

例12如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒,距离精确到

0.01n mile)

分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角∠ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角∠CAB。 解：在∆ABC中，∠ABC=180︒- 75︒+ 32︒=137︒，根据余弦定理，

AC=AB2+BC2-2AB⨯BC⨯cos∠ABC =67.52+54.02-2⨯67.5⨯54.0⨯cos137︒ ≈113.15 根据正弦定理,

BC = AC sin∠CABsin∠ABC

AC

sin∠CAB = BCsin∠ABC

54.0sin137︒

=

113.15

≈0.3255, 所以 ∠CAB =19.0︒, 75︒- ∠CAB =56.0︒

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答:此船应该沿北偏东56.1︒的方向航行,需要航行113.15n mile

例13在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在∆ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10，

∠ADC =180︒-4θ， ∴10=

sin2θ

30

。 ︒

sin(180-4θ)

因为 sin4θ=2sin2θcos2θ

∴ cos2θ=

3

,得 2θ=30︒ 2

∴ θ=15︒，

∴在Rt∆ADE中，AE=ADsin60︒=15

答：所求角θ为15︒，建筑物高度为15m 解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h 在 Rt∆ACE中,(103+ x)2 + h2=302 在 Rt∆ADE中,x2+h2=(10)2 两式相减，得x=5,h=15

∴在 Rt∆ACE中,tan2θ=∴2θ=30︒,θ=15︒

h103+x

=

3

答：所求角θ为15︒，建筑物高度为15m

解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得

∠BAC=θ， ∠CAD=2θ，

AC = BC =30m , AD = CD =103m

在Rt∆ACE中，sin2θ=在Rt∆ADE中，sin4θ=

x

--------- ① 304103

, --------- ②

②÷① 得 cos2θ=

,2θ=30︒,θ=15︒，AE=ADsin60︒=15 2

答：所求角θ为15︒，建筑物高度为15m

例14某巡逻艇在A处发现北偏东45︒相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？

分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。

解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,

∠ACB=75︒+45︒=120︒

∴(14x) 2= 92+ (10x) 2 -2⨯9⨯10xcos120︒

∴化简得32x2-30x-27=0，即x=

所以BC = 10x =15,AB =14x =21,

39

,或x=-(舍去) 216

BCsin120︒1535又因为sin∠BAC === ⨯

214AB21

， ∴∠BAC =38︒13',或∠BAC =141︒47'（钝角不合题意，舍去）

∴38︒13'+45︒=83︒13'

答：巡逻艇应该沿北偏东83︒13'方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.

评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作

为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

【经典考题】

1．设a,b,c分别是∆ABC的三个内角A,B,C所对的边，则a=b(b+c)是

2

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A=2B的（ A ）

（A）充分条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件 2．在∆ABC中，已知tan

A+B

=sinC，给出以下四个论断： 2

① tanA⋅cotB=1 ② 0

其中正确的是（ B ）

（A）①③ （B）②④ （C）①④ （D）②③

3．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则tan的值为__________.

ACAC

+tan+tantan2222

4．如果∆A1BC11的三个内角的余弦值分别等于∆A2B2C2的三个内角的正弦值，则（）

A．∆A1B1C1和∆A2B2C2都是锐角三角形

B．∆A1B1C1和∆A2B2C2都是钝角三角形

C．∆A1B1C1是钝角三角形，∆A2B2C2是锐角三角形 D．∆A1B1C1是锐角三角形，∆A2B2C2是钝角三角形

5．己知A、C是锐角△ABC的两个内角，且tanA, tanC是方程x2-3px+1-p＝0

(p≠0，且p∈R)，的两个实根，则tan(A+C)=_______，tanA,tanC的取值范围分别是和__ ___，p的取值范围是__________；(0，3)；(0，3)；［

6．在ΔABC中，已知AB=求sinA.

【专家解答】 设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE=

2

，1) 3

4，AC边上的中线BD=5，,cosB=

36

12， AB=

23

222

设在ΔBDE中可得BD=BE+ED-2BE⋅EDcos∠BED，

78265=x2++2⨯⨯x，解得x=1，x=-3336

28222

故BC=2，从而AC=AB+BC-2AB⋅BCcosB=，

3

2即AC=又sinB

=

，故，sinA==

6sinA

★★★高考要考什么

【考点透视】

本专题主要考查正弦定理和余弦定理． 【热点透析】

三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧 学生需要掌握的能力：

(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形； (2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；

(3)能熟练运用三角形基础知识，正(余)弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘

★★★突破重难点

【范例1】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c, b=acosC,且△ABC的最大边长为12，最小角的正弦值为

（1） 判断△ABC的形状； （2） 求△ABC的面积。

1。 3

B=π-(A+C), ∴

解析（1） b=acosC，

∴由正弦定理，得sinB=sinAcosC, （#）

sinB=sin(A+C),从而（#）式变为sin(A+C)= sinAcosC，

∴cosAsinC=0,又A，C∈(0,π)∴cosA=0，A=π，∴△ABC是直角三角形。

2

（2） △ABC的最大边长为12，由（1）知斜边a=12，又 △ABC最小角的正弦值为

11

，∴Rt△ABC的最短直角边为12⨯=4，另一条直角边为82 33∴S△ABC=1⨯4⨯82=162

2

【点晴】此题主要考查三角函数变换及正弦定理的应用.用正弦定理化边为角，再以角为突破口，判断出△ABC的形状，最后由已知条件求出三条边，从而求面积.

【文】在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2:b2，试判断△ABC的形状．

解析 由同角三角函数关系及正弦定理可推得

∵A、B为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB≠0．

∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝

π． 2

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．

【点晴】三角形分类是按边或角进行的，所以判定三角形形状时一般要把条件转化为边之间关系或角之间关系式，从而得到诸如a2＋b2＝c2， a2＋b2>c2（锐角三角形），a2＋b2＜c2（钝角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC

＝0等一些等式，进而判定其形状，但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探索．

【范例2】∆ABC中，内角A.B.C的对边分别为a.b.c，已知a.b.c成等比数列，且cosB=

（1）求cotA+cotC的值；

（2）若⋅=解析（1）由cosB=

3

，求a+c2

3722得sinB=，由b=ac得sinB=sinAsinC， 44

cosAcosCsinCcosA+cosCsinAsin(A+C)cotA+cotC=+== sinAsinCsinAsinCsin2BsinB1===2

sinBsinB

333

（2）由⋅=得：ac⋅cosB=，因cosB=，所以：ac=2，即：

242

b2=

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由余弦定理b2=a2+c2-2ac⋅cosB得a2+c2=b2+2ac⋅cosB=5 于是：(a+c)=a2+c2+2ac=5+4=9 故a+c=【点晴】 以三角形为载体，以三角变换为核心，结合正弦定理和余弦定理综合考查逻辑分析和计算推理能力是高考命题的一个重要方向，因此要特别关注三角函数在解斜三角形中的灵活应用.

2

【文】在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，B+C74sin2-cos2A=.

22(1)求角A的度数；

(2)若a=3，b+c=3，求b和c的值.

7cAo=s及A+B+C=︒得18: 0,

27

2[1-cos(B+C)]-2cos2A+1=,4(1+cosA)-4cos2A=5

2

1

即

4cos2A-4cosA+1=0,∴cosA=,

2

0︒

b2+c2-a2

(2)由余弦定理得:cosA=

2bc

1b2+c2-a21

cosA=∴=∴(b+c)2-a2=3bc.

22bc2

⎧b+c=3⎧b=1⎧b=2

a=b+c=3代入上式得:bc=2 由⎨得:⎨或⎨.

⎩bc=2⎩c=2⎩c=1

【点睛】正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用比较广泛.

B+C

)4s2-解析 (1由

2

【范例3】已知△ABC的周长为6，BC,CA,AB成等比数列，求

（1）△ABC的面积S的最大值；

（2）BA BC的取值范围．

解析 设BC,CA,AB依次为a，b，c，则a+b+c=6，b²=ac．

a2+c2-b2a2+c2-ac2ac-ac1

=≥=, 在△ABC中得cosB=

2ac2ac2ac2

πa+c6-b

=,从而0

故有0

．又b=≤

32211212π

（１）S=acsinB=bsinB≤⋅2⋅sin=

Smax=

2223 a2+c2-b2(a+c)2-2ac-b2

=（２）BA BC=accosB=

22

(6-b)2-3b2

=-(b+3)2+27． =

2

BC

【点睛】 三角与向量结合是高考命题的一个亮点.问题当中的字母比较多，这

就需要我们采用消元的思想，想办法化多为少，消去一些中介的元素，保留适当的主变元．主变元是解答问题的基本元素，有效的控制和利用对调整解题思路是十分有益处的．

【变式】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, △ABC的外接圆半

径R=，且满足

cosC2sinA-sinC

=. cosBsinB

(1) 求角B和边b的大小； (2) 求△ABC的面积的最大值。 解析 (1) 由

cosC2sinA-sinC

=整理得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB cosBsinB

1π

∴sin(B+C)= 2sinAcosB ∴sinA=2sinAcosB ∴cosB= ∴B=

23

∵ b=2RsinB ∴b=3

12π

-A) (2)∵S∇ABC=acsinB=R2sinAsinC=33sinAsin(

23

⎡π1⎤

sin(2A-)+⎥ ⎢2⎣62⎦

π9∴当A=时, S∇ABC的最大值是 ．

34

=

【点睛】三角函数的最值问题在三角形中的应用

★★★自我提升

1．在直角三角形中，两锐角为A和B，则sinA·sinB( B )

11

（A）.有最大值和最小值 （B）.有最大值但无最小值

22

（C）.既无最大值也无最小值 （D）.有最大值1但无最小值

ABAC

2．已知非零向量AB与AC满足(+).BC=0且

ABAC∆ABC为（ D ）

ABAB AC1.=.则AC2

（A）等边三角形 （B）直角三角形

（C）等腰非等边三角形 （D）三边均不相等的三角形

3．△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C的大小是 （ A ）

π5ππ5ππ2π （B） （C）或 （D）或 6666334.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( A )

（A）

(A)arccos(C)arccos

2）

5-15-1

(B)arcsin 221-51-5

(D)arcsin 22

1

2

5. 已知a+1，a+2，a+3是钝角三角形的三边，则a的取值范围是 （0，6．已知定义在R上的偶函数y=f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,若f()=0,

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ππ2π

∆ABC的内角A满足f(cosA)

332

7．数列{a

4tSn+1-(t+3

中，首项a1＝2，前

Sn8=)tt

n}

n项和为

Sn，且

（1）判断数列{a n}是否为等比数列，并证明你的结论？

（2）若对每个正整数n，以a n，a n+1，a n+2为边长都能构成三角形，求t的取值范围。

解析 (1)略

【文】在∆ABC中，A.B.C的对边分别为a.b.c。

（1） 若a,b,c 成等比数列，求f(B)=sinB+3cosB的值域。

π

（2） 若a,b,c 成等差数列，且A-C=，求cosB的值。

3

b2=aca2+c2≥2ac 解析 (1) ∵,

a2+c2-b22ac-ac1

cosB=≥=

2ac2ac2

ππ

当且仅当a=c时取等号, 0

33

ππ2π∵

π

(2) ∵a+c=2b,∴ sinA+sinC=2sinB ∵A-C=,A+C=π-B

3

2πBπB2πBπB- C=- ∴sin(-)+sin(-)=2sinB ∴A=

32323232

BBBBB3=2*2sincos , ∵cos≠0, ∴ sin=展开,化简,得 cos 22222452B= ∴ cosB=1-2sin

28

（2

）t

8．在正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，求AD∶AB的值.

解析 按题意，设折叠后A点落在边BC上改称P点，显然A、P两点关于折线DE对称，又设∠BAP=θ，∴∠DPA=θ，∠BDP=2θ，再设AB=a，AD=x，

∴DP=x.在△ABC中，∠APB=180°－∠ABP－∠BAP=120°－θ， 由正弦定理知：在△PBD中，

DPBPx⋅sinθasinθxsin2θ

=,所以BP=,从而=,

sinDBPsinBDPsin60︒sin(120︒-θ)sin60︒

asinθBPAB

.∴BP= =

sin(120︒-θ)sinBAPsinAPB

∴x=

asinθ⋅sin60︒3a

=.

sin2θ⋅sin(120︒-θ)2sin(60︒+2θ)+3

∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°，

∴当60°+2θ=90°，即θ=15°时，sin(60°+2θ)=1，

此时x取得最小值

3a2+3

=(2-3)a，即AD最小，

∴AD∶DB=23－3.

【文】在∆ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且满足A74cos2-cos2(B+C)=

22（１）求角A大小；

（２）若b+c=3，当a取最小值时，判断∆ABC的形状． 解析（１） A+B+C=π，

A7

∴4cos2-cos2(B+C)=2(1+cosA)-cos2A=-2cos2A+2cosA+3=

22

，

11

=0． ∴cosA=， 22

0

b2+c2-a2

（２）由余弦定理cosA=，得 bc=b2+c2-a2．

2bc

3b+c29

∴a2=(b+c)2-3bc=9-3bc≥9-3()=， ∴a≥．

224

33

所以a的最小值为，当且仅当b=c=时取等号．此时∆ABC为正三角形．

22

解三角形 检测题

班级 姓名 学号 成绩

一、选择题:

1．在△ABC中，下列式子不正确的是

A．a=b+c-2bccosA B．a:b:c=sinA:sinB:sinC C．S∆ABC=

2

2

2

1

ABBCsinA D．b=2RsinB 2

2．在△ABC中，A=

15A-cos(B+C)的值为

A

B

C

D．2 2 3．在△ABC中，若AB=AB AC+BA BC+CA CB，则△ABC是

A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 4． 1+cosA=

b+c

，则三角形的形状为 c

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A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形

5．在△ABC

中，a=2,b=A．

A=

π

4

，则B等于

ππ2πππ5π B．或 C． D．或 333666

6．在△ABC中，已知(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6，则此三角形的最大内角是 A．1200 B．1500 C．600 D．900

7．在△ABC中，“A=B”是“sin2A=sin2B”的

A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

8．锐角△ABC中，B=2A，则

b

的取值范围是 a

A．(-2,2) B．(0,2) C

．二、填空题：

2 D

．

)

9．在△ABC中，若A=1200,AB=5,BC=7，则

15

10．在△ABC中，BA AC

4

11．一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东300，处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东750，

且与它相距 ；

12．在锐角三角形ABC中，已知AB=4,AC=1，S∆ABC，则∠

，AB AC=三、解答题：

13．已知三角形ABC的外接圆半径为1，且角A、B、C成等差数列，若角A，B，C所对的边长分别为a,b,c，求a+c的取值范围.

2

2

14．在△ABC

中，sinA+cosA=面积.

15．△ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA+2cos最大值，并求出这个最大值。

AC=2,AB=3，求tanA的值和三角形的B+C

取得2

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16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，且cosA=

4

.⑴ 求5

sin2

B+C

+cos2A的值； ⑵ 若b=2,S∆ABC=3，求a. 2

参考答案

一、选择题： 1 C 2 C 3 B 4 A 二、填空题：

9. 3 10. 30° 11.32海里/小时 12.60° 2 三、解答题：

2

2

5 A 6 B 7 B 8 D

13．a+c∈

(3,6) 14.tanA=-2

三角形的面积为

4B+CπA

=- 222

15．解：∵A、B、C为△ABC的三内角 ∴A+B+C=π ∴

∴cosA+2cos

B+CAAA⎛πA⎫

=cosA+2cos -⎪=cosA+2sin=1-2sin2+2sin2222⎝22⎭B+CAA

=-2sin2+2sin+1 222

2

∴cosA+2cos

AB+C1⎫3⎛

令x=sin则cosA+2cos=-2x2+2x+1=-2 x-⎪+

222⎭2⎝

∵

A

是

△

ABC

的

内

角

∴0 A

1

A

2

0

∴0

A

∴x可以取到，由抛物线的图像及性质可知

2

1B+C3=为其最大值。 时，cosA+2cos222

A1 AA ∴A=60 此时sin=,0

∴sin2

B+CA11⎛πA⎫+cos2A=sin2 -⎪+cos2A=cos2+cos2A=cosA++2cos2A-12222⎝22⎭

B+C11+cos2A=2cos2A+cosA- 222

2 ∴sin24B+C⎛4⎫14113 cosA=∴sin2+cos2A=2⨯ ⎪+⨯-=. 52⎝5⎭25210

（2）∵A 是△ABC的内角 ∴sinA>0又 cosA= 又S∆ABC=453∴sinA= 5113⋅b⋅c⋅sinA=⨯2⨯⨯c=3∴c=5. 225

b2+c2-a222+52-a24==∴a2=13. ∴cosA=2bc2⨯2⨯55

a是△ABC的一边

∴a>0∴a=