清华大学流体力学课件 量纲与相似

第七章 量纲分析与相似理论

量纲分析法是用于寻求一定物理过程中相关物 理量之间规律性联系的一种方法。它对于正确地 分析、科学地表达物理过程是非常必要的。 两个规模不同的流动相似是进行流体力学试验 时必须面对的问题。 本章在量纲分析法的基础上探讨流动的相似理 论，对流体力学试验研究有重要的指导意义。

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第七章 量纲分析与相似理论

§7—1 量纲分析 §7—2 相似理论

本章小结

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§7—1 量纲分析

一. 量纲、无量纲量

量纲、无量纲量 量纲、无量纲量 量纲和谐原理 量纲和谐原理 Π 定理 Π 定理

量纲是指物理量所包含的基本物理要素及其结合形式，表示 物理量的类别，是物理量的质的特征。

在量度物理量数值大小的标准（单位）确定之后，一个具体 的物理量就对应于一个数值，有了比较意义上的大小，这是物 理量的量的特征。

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基本量纲 量纲 诱导量纲

基本量纲具有独立性，比 如与温度无关的动力学问题 可选取长度L、时间T和质量 M为基本量纲。

无量纲（量纲为一）量 相同量纲量的比值 如角度，三角函数

诱导量纲可由量纲公式通过基本量纲导出 如

dim x = Lα Tβ Mγ

α ≠ 0, β = 0,γ = 0

α ≠ 0, β ≠ 0,γ =0 α ≠ 0, β ≠ 0,γ ≠ 0

α , β , γ 称为量纲指数

则 x 为几何学的量 则 x 为运动学的量 则 x 为动力学的量 动力粘性系数 dim μ = L−1T−1M

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定义： 定义： 物理量的 物理量的 所有量纲 所有量纲 指数为零 指数为零

几个有量纲量通过乘除组合而成 如压力系数

Cp =

运动粘性系数 dimν = L2 T −1

p − p∞ 1 2 ρU ∞ 2

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1

二.量纲和谐原理 正确反映客观物理规律的函数关系式或方程式，其各项的量 纲指数都分别相同。 任何表示客观物理规律的数学关系式，其数学形式不随单位 制变换而改变形式。 客观物理规律必定可以通过无量纲量之间的关系式来表达。

三. Π 定理 物理过程涉及 n 个物理量，其中有 m 个物理量的量纲是互 相独立的，选这些量纲为基本量纲，可组成 n-m 个无量纲量， 物理过程则可由这 n-m 个无量纲量的关系式描述。否则就违反 了量纲和谐原理。 物理过程的有量纲表达形式为 f(x1,x2,…,xn)=0，其中 m 个 1 2 n 物理量的量纲被选为基本量纲，余下 n-m 个物理量可各自与这 Π m 个物理量组合成无量纲量 Π1,Π2,…,Πn-m，Π定理的结论是： 1 2 n-m 物理过程的无量纲表达形式为 F(Π1,Π2,…,Πn-m)=0 1 2 n-m

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例 7-1 初速为零的自由落体运动位移 s s～g,t g , t 选为基本量纲 三个量只能组成一个无量纲量 s/gt 2 初速为零的自由落体运动规律 s/gt 2 = C 做一次实验测得 C = 1/2 ，就不用再做类似实 验（包括在月球上做实验）。

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从无量纲表达看，似乎物理过程涉及的因素减少了，其实涉 及的物理量并未减少，只是这些物理量组合成了若干无量纲量相 互关联。比起有量纲表达来，无量纲表达更接近于相关物理量之 间规律性联系的实质，也更具普遍性。

应用 Π 定理要点（也是难点）在于：确定物理过程涉及的物 理量时，既不能遗漏，也不要多列。

例 7-2 1

用Π定理推求圆球绕流阻力D的表达式 用Π定理推求圆球绕流阻力D的表达式

2

首先确定对绕流阻力有关的物理量：根据对已有资料的 分析可知，圆球绕流阻力D与流体物理性质（流体密度 ρ 和 动力粘滞系数 μ ）、流动边界几何特性（圆球直径d）和流 体运动特征（来流速度v）有关，共5个物理量，用函数关系 式表示为：f (D ,ρ ,μ ,d ,v) = 0 v

选取三个物理量的量纲为基本量纲：在流体物性、几 何特性、运动特征三个方面各选取一个物理量，即ρ、d、 v，它们的量纲是相互独立的，可选为基本量纲。 列出n-3=5-3=2个无量纲Π 数:

Π1 = D

3

ρv 2 d 2

Π2 =

μ ρvd

ρ μ

d

4 D

写出无量纲方程:

Π 1 = f (Π 2 )

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2

令

CD =

8 D D = = Π1 2 1 2 π ρv A 1 ρv 2 π d 2 2 4

§7—2 相似理论

vd =

绕流阻力系数

Re =

ν

ρvd 1 = μ Π2

流动相似概念 流动相似概念

雷诺数

相似准则 相似准则

C D = f ( Re)

无量纲方程

Π1 = f (Π 2 )

相似理论的应用 相似理论的应用

圆柱绕流阻力系数与雷诺数有关，其值由实验确定。

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一. 流动相似概念 本节在量纲分析基础上，先针对不可压缩流体，讨论两个规 模不同的流动相似问题。流动相似问题是进行有关流体力学模 型试验时必须面对的问题。 几何相似 流场几何形状相似，相应长度成比例，相应角 几何相似 度相等。几何相似还应包括流场相应边界性质相同，如固体壁 面，自由液面等。 长度比尺 λ l = l p / lm

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运动相似 以 几 何 相 似 运动相似 为前提。流体质点流过相应 的位移所用时间成比例。

动力相似 在对应位置和对应瞬时，流场中各种成分的力 动力相似 （时变惯性力、位变惯性力、质量力、压差力和粘性力）矢量 图都相似，即相应点力的大小成比例，方向相同。并且五种成 分力的相似比例数也相同，即力多边形相似。 在对应瞬时， 流场速度图相 似，即相应点速 度大小成比例， 方向相同。

长度比尺 λ l = l p / lm 时间比尺 λ t = t p / t m 作用力比尺 λ F = Fp / Fm

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长度比尺 λ l = l p / lm

时间比尺 λ t = t p / t m

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3

二. 相似准则 在两个相 似流动中，对 应的无量纲量 是相同的。 不可压流体的流动都受N-S方程的控制，那 么怎样保证两个不同规模的流动是相似的呢？ 两个相似的不可压缩流体流动的无量纲解应是 相等的，这意味着控制流动的无量纲方程和无 量纲边界条件和初始条件应是完全一样的。

将无量纲变量代入 连续方程 ∇⋅u=0 N-S方程 得到无量纲方程 和 其中

∂u 1 + (u ⋅ ∇ )u = − g k − ∇ p + ν ∇ 2 u ∂t ρ

~~ ∇⋅u=0

用流动的时间、 长度、流速和压强 特征量T、L、P、U, 将方程的自变量和 应变量无量纲化：

~ ~ ~ ( x , y , z ) = ( Lx , Ly , Lz )

~ t = Tt ~ u = Uu

~ p = Pp

~ U ∂u U 2 ~ ~ ~ P ~ ~ νU ~ 2~ + (u ⋅ ∇ )u = − gk − ∇p+ 2 ∇ u T ∂~ t L L ρL

带‘～’的量成 为无量纲量。

∂ ∂ ∂ ~ ∇ ≡ ( ~ i + ~ j + ~ k) ∂x ∂y ∂z

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另一方面，也要将定解条件无量纲化，即给出在无量纲边 界上的边界条件及在无量纲时间初值时的初始条件。接着再将 无量纲 N-S 方程对流项前的系数归一，得到 ~ L ∂u gL P ~~ ν ~ 2~ ~ ~ ~ + (u ⋅ ∇ )u = − 2 k − ∇p+ ∇ u TU ∂ ~ t U LU ρU 2 相似流动的无量纲方程和边界条件、初始条件应该完全一 ν L gL P 样，所以两个相似流动对应的 , , ,

TU U 2 ρU 2 LU

根据以上四个无量纲量（有的作了取倒数、开方等改形）得 到流动的相似准数： 弗劳德数 U Fr ≡ gL

欧拉数

斯特劳哈尔数

UT St ≡ L

Eu ≡

P

ρU 2

雷诺数 UL Re ≡

ν

必须相等。它们都是无量纲量，分别反映了时变惯性力、重 力、压差力和粘性力在流动的动力平衡中相对于位变惯性力的 重要性。

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它们分别是时变惯性力、重力、压差力、粘性力相似的准数。

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斯特劳哈尔数

St ≡

UT L

表征

位变惯性力 时变惯性力

雷诺数 UL Re ≡ ν

流动的特征量一般应取流动中容易测量到的、能显著体现 流动特征，或者对流动起到重要控制作用的量。如

表征 位变惯性力

L 取为绕 T 取为周期 性运动的周期 流物体的特 征长度或圆 管直径 U 取为 无穷远方 来流速度 P 取为 与无穷远 方的压差

弗劳德数 U 表征 Fr ≡ gL

位变惯性力 重力

欧拉数

粘性力 表征

P Eu ≡ ρU 2

压差力 位变惯性力

这些特征量常取在边界处，使相似准数中自然融进边界条件 的相似。

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不可压缩流体流动相似准则 粘性相似准则：保证两现象的雷诺数相等 重力相似准则：保证两现象的弗劳德数相等 非恒定相似准则：保证两现象的斯特劳哈尔数相等

表面张力和弹性力相似准则 表面张力相似准则： 当作用力主要为表面张力时，流动相似 还要保证韦伯数相等。韦伯数为

韦伯数表征流动的 惯性力和表面张力之比

We =

ρLU 2 σ

弹性力相似准则： 对 于 高 速 气 流 ， 当 作 用 力 主 要 为 弹 性 力 压差力相似准则：两现象欧拉数相等 时，流动相似还要保证马赫数相等。马赫数为

马赫数表征流动的 惯性力和弹性力之比

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Ma =

U c

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相似准则的选用 独立准则和导出准则 以上准则中，雷诺准则、弗劳德准则和欧拉准则运用较为 广泛。在研究气流速度很大，接近或超过音速时，则要考虑 满足马赫准则。当流动规模较小，表面张力作用显著时，则 要满足韦伯准则。一般模型试验中，当水流表面流速大于 0.23m/s，水深大于1.5cm时，表面张力作用可忽略不计。所 以，对于不可压缩流体恒定流，一般只要同时满足雷诺、弗 劳德和欧拉三个准则即可实现动力相似，也就是要求两个流 动相应点上质点所受到的粘性力、重力、流体动压力与惯性 力所构成的封闭的力多边形相似。 根据多边形相似的概念，只要惯性力和其它任意两个同名力 相似（即方向相同、大小成比例），另一个同名力必将相似。 由于压强通常是待求的量，所以只要相应点的惯性力、粘性力 和重力相似，根据力多边形相似概念，压力将自行相似。也就 是说当雷诺准则、弗劳德准则得到满足，欧拉准则则可自行满 足。所以，雷诺准则、弗劳德准则称为独立准则，欧拉准则称 为导出准则。

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三. 相似理论的应用 关于雷诺数 关于雷诺数 V7-1 在什么条件 下进行实验?

如何进行实验? 如何进行实验? 在相似的条件下进行实验。 应该测量实验结果无量纲表 达式包含的所有物理量。 实验结果应整理成以相似准 数和其它无量纲量来表示的 函数关系式或绘制成曲线； 实验结果只能应用于相似现 象之间。

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应该测量哪 些物理量?

实验结果如 何应用?

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在相似的条件下进行实验 在相似的条件下进行实验 完全相似 例如 难于做到 严格地要求所有相似准数都相同 选择合适的相似准则来进行模型设计，以保 证对流动起主导作用的力相似，而忽略其他次要力的相似。 明渠流动 液体孔口 出流 潜体绕流 有压管流 重力起 主导作用 用重力相似准则，保证两 现象的弗劳德数相等。 用粘性相似准则，保证 两现象的雷诺数相等。 模型律的选择 模型律的选择

Fr p = Fr m

g相同 g相同

up um

up um

=

= lm lp

lp lm

λu = λl

λu =

1

Re p = Rem

ν相同 相同

λl

可见粘性和重力相似条件产生矛盾，除非改变 g 和 ν. 而我 们知道改变 g 是不大可能的（由此可知为什么有些实验要在航 天飞机上做），改变 ν 的可能性也不大，因为流体力学实验可 供选择的流体种类是很少的。通常我们只能抓主要矛盾，保证 起决定作用的那个相似准数相等，称为部分相似。

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粘滞力起 主导作用

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明渠流动模型律的选择 明渠流动模型律的选择 1 明渠流动即具有自由液面，且允许液面上下自由变动的各 种流动，如河渠水流、孔口出流及堰顶溢流等等。这些流动 重力起主要作用，所以，明渠流动模型一般都按弗劳德准则 设计。当然，明渠流动也存在有粘滞力作用，所以同时要求 雷诺数达到某一数值，使流动进入自模区（即阻力平方 区）。

管道流动模型律的选择 管道流动模型律的选择 当雷诺数较小时，管道流动处于层流区、临界过渡区、 紊流光滑区和紊流过渡区，流动阻力都与雷诺数有关，因此 采用雷诺准则进行模型设计。

2

当雷诺数较大时，流动进入了紊流粗糙区（即阻力平方 区）以后，流动阻力与雷诺数无关，只与相对粗糙度有关， 所以只要保证两个流动几何相似（包括管壁粗糙度的相 似），流动就达到了动力相似，所以阻力平方区又称为自动 模型区，简称自模区

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模型设计 模型设计

根据所选用的 相似准则确定各 物理量比尺。

根据原型和模 型情况和条件选 取长度比尺。

例 7-3 为了不发生旋涡和吸入空气，必须用模型实验确定油 泵吸油管在油池液面下的最小淹没深度hmin，实验要求同时考 虑粘性和重力影响。实物管直径d=250 mm，油液运动粘性系 数ν =0.75×10-4 m2/s，油液流量Q=0.14 m3/s，模型的尺寸为实 物的1/5。试求：① 模型实验液体的运动粘性系数、流量及管 中平均流速；② 模型上测得hmin=60 mm，试问实物上hmin应 为多少？

设计实验模型、确定边界 条件、检查实验设备是否 满足要求（如能否保证提 供最大流量），否则修改 比尺。

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hmin d Q

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重力相似准则

v模 l模

v实 gl实

=

v模 gl 模

,

粘性相似准则

v实 l实

ν实

=

v模 l 模

ν模

4Q实 v 1 = = , v模 = 实 = = 1.275m / s 2 v实 l实 5 5 5πd 实 2 Q模 v模 A模 v模 ⎛ l模 ⎞ Q ⎜ ⎟ = 1 , Q = 实 = 0.0072m 3 / s = = 模 Q实 v实 A实 v实 ⎜ l实 ⎟ 5 2.5 5 2.5 ⎝ ⎠

ν 模 v模 l 模 ν实 1 = = , ν 模 = 1.5 = 0.67 × 10 −5 m 2 / s ν 实 v实 l实 51.5 5

几何比尺

hmin 模 hmin 实

=

1 , hmin 实 = 5hmin 模 = 300mm 5

hmin d Q

hmin d Q

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流动实验的例 流动实验的例

V7-2

流动实验的例 流动实验的例

V7-4

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流动实验的例 流动实验的例

V7-5

本章小结

一．量纲分析法是用于寻求一定物理过程中相关物理量之间规 律性联系的一种方法。它对于正确地分析、科学地表达物 理过程是非常必要的。 二．量纲和谐原理是量纲分析法的基础。量纲和谐原理的简单 表述是：正确反映客观物理规律的函数关系式或方程式， 其各项的量纲指数都分别相同。由此可知，客观物理规律 必定可以通过无量纲量之间的关系式来表达。

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三．Π定理是一种具有普遍性的量纲分析方法。Π定理指出， 若某一物理过程涉及 n 个物理量，其中有 m 个物理量的 量纲是互相独立的，选这些量纲为基本量纲，可组成n− m个无量纲量，物理过程则可由这 n− m 个无量纲量的关 系式描述。 四．相似理论研究相似现象之间的联系，是模型试验的理论基 础。在两个相似现象中对应的无量纲量是相同的。 五．力学相似的运动，必是几何相似、运动相似、动力相似的 运动。两个相似的不可压缩粘性流体的运动应满足相同的 无量纲 N-S 方程，即四个相似准数相同，并且无量纲边 界条件和初始条件也相同。

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六．不可压缩粘性流体运动四个相似准数是：雷诺数 — 表征 位变惯性力与粘性力之比；弗劳德数 — 表征位变惯性力 与重力之比；斯特劳哈尔数 — 表征位变惯性力与时变惯 性力之比；欧拉数 — 表征压差力与位变惯性力之比。 七．两现象的雷诺数、弗劳德数、斯特劳哈尔数和欧拉数相等 分别称为粘性相似准则、重力相似准则、非恒定相似准则 和压差力相似准则。前三个为独立准则，后一个为导出准 则。

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八．表面张力相似准则要求两现象的韦伯数相同；高速气流问 题的弹性力相似准则要求两现象的马赫数相同。 九．根据相似理论，必须保证在流动相似的条件下进行实验， 在实验中应该测量实验结果无量纲表达式包含的所有物理 量。实验结果应整理成以相似准数和其它无量纲量来表示 的函数关系式或绘制成曲线。实验结果只能应用于相似现 象之间。 一○．严格地要求所有相似准数都相同往往难以做到，工程上 通常抓主要矛盾，进行模型设计，保证起决定作用的那个 相似准数相等，称为部分相似。

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