初一不等式经典例题
初中不等式经典例题
例1 解方程组
(1)⎧16x +3y +3z =10 ⎧x y z ⎪⎪== (1)
(2) (1)⎨234 (2)⎨3x +16y +3z =14
⎪3x +3y +16z =20 ⎪⎩4x +3y -4z =5 (2)(3)⎩
分析:第一个方程组的(1)式是一个连比式,对于连比式常用连比设k 法来解决。
第二个方程组的各式系数较大,直接用代入消元或加减消元比较繁,观
察这个方程组的特点,将三式相加可得x+y+z,然后再用三式去分别减可得x 、y 、z 的值。
x y z
解:(1)设===k ,则x =2k , y =3k , z =4k ,代入(2)得k=5
234
⎧x =10⎪
∴x=10,y=15,z=20 ∴原方程组的解为⎨y =15
⎪z =20⎩
(2) (1)+(2)+(3)得22 (x+y+z)=44,所以x+y+z=2 所以3 (x+y+z)=6 (4)
48 (2)-(4)得13y=8,则y= 1313
4⎧x =⎪13⎪814⎪
(3)-(4)得13z=14,则z= 所以原方程组的解为⎨y =
1313⎪
⎪z =14⎪13⎩
评注:解方程组时,应对方程组的整体结构进行分析,从整体上把握解题方向。 例2 已知关于x ,y 的二元一次方程 (a-1) x+(a+2) y+5-2a=0,当a 每取一个值时就有一个方程,而这些方程有一个公共解。你能求出这个公共解,并证明对任何a 值它都能使方程成立吗?
分析1:将已知方程按a 整理得(x+y-2)a=x-2y-5,要使这些方程有一个公共解,说明这个解与a 的取值无关,所以只须a 的系数x+y-2=0即可。 解法1:将方程按a 整理得:(x+y-2)a=x-2y-5,
(1)-(4)得13x=4,则x=
∵这个关于a 的方程有无穷多个解,所以有
⎧x =3
由于x 、y 的值与a 的取值无关,所以对于任何的a 值,方程组有公共解⎨
y =-1⎩分析2:分别取a=1和-2得方程3y+3=0和-3x+9=0,因a 取不同的值,所得方程
⎧3y +3=0
有一个公共解,所以这个公共解就是方程组⎨的解。
⎩-3x +9=0
解法2:令a=1,得:3y+3=0 令a= -2,得:-3x+9=0
⎧3y +3=0⎧x =3⎧x =3
解方程组⎨得⎨,则⎨就是所求的公共解。
⎩-3x +9=0⎩y =-1⎩y =-1
将x=3,y= -1代入(a-1) x+(a+2) y+5-2a=0得:3 (a-1) -(a+2) +5-2a=0
整理得0•a=0,说明无论a 取什么值,方程总是成立。
评注:本题两种解法,第一种是将已知方程整理成关于a 的形式,通过解与a 无关,得出关于x 、y 的方程组,从而求出公共解。第二种是先探求公共解,再证明这个解与a 无关。这两种解法的思路正好相反。
例3 求不定方程4x+y=3xy的一切整数解 解:由原方程得:x =
y 3y 4
,则3x ==1+ 3y -43y -43y -4
582
2,1,0 ∵x是整数,∴3y-4=±1,±2,±4,由此得y=,
333
取整数解y=2,1,0,对应的x=1,-1,0
⎧⎪x =1⎧x =-1⎧x =0
所以方程的整数解为⎨ ,,⎨⎨
y =2y =1y =0⎪⎩⎩⎩
评注:本题是用数的整除性来求不定方程的整数解。
例4 求方程123x+57y=531的全部正整数解 解:方程两边同除以3得:41x+19y=177
177-41x 6-3x
=9-2x + 所以 y = 19196-3x
∵x、y 是整数,∴也是整数,取x=2得y=5
19
⎧x =2+19k
∴方程123x+57y=531的整数解为:⎨ (k为任意整数)
⎩y =5-41k ⎧2+19k >025由⎨ -
1941⎩5-41k >0⎧x =2
因此方程123x+57y=531只有一组正整数解⎨
⎩y =5
评注:本题是通过先探求一个特解,由特解写出通解,再由通解求出正整数解,这是求不定方程整数解的一般步骤。
例5 小明玩套圈游戏,套中小鸡一次得9分,套中小猴得5分,套中小狗得2分。小明共套10次,每次都套中了,每个小玩具都至少被套中一次。小明套10次共得61分。问:小鸡至少被套中几次?(第四届华杯赛初赛试题) 分析:设出未知数,列出不定方程,然后求不定方程的正整数解。
解:设套中小鸡x 次,套中小猴y 次,套中小狗z 次, 根据题意得
⎧9x +5y +2z =61 ⎨ 我们求这个方程组的正整数解。 ⎩x +y +z =10
消去z 得:7x+3y=41,于是y =
41-7x 41
则x <,从而x 的值只能是1,2,37
3,4,5
41-7x 2-x y ==13-2x + 由于y 是整数,所以2-x 必须是3的倍数,∴x=2,
33
5
当x=2时,y=9,z= -1不是正整数;当x=5时,y=2,z= 3是本题的解。 答:小鸡至少被套中5次。
例6 解不等式2-3x -x -5>-4x +1+2
4463
解:去分母,得3(2-3x) -3(x-5) >2(-4x+1)+8
去括号,得6-9x -3x+15>-8x+2+8 移项,得-9x -3x+8x>2+8-6-15 合并同类项,得-4x >-11
化系数为1,得 x
4
注:在解不等式的过程中,每一步要细心计算,要避免出现符号错误与运算错误,特别要注意不等号的方向。
例7 若关于x 的方程x -x -m =2-x 的解是非负数,求m 取值范围。
22
分析:关于x 的方程的解可以解方程求出,而解是非负数即x≥0,可得m 的不等式,通过解不等式,可确定m 的取值范围。 解:2x -x+m=2-x 即 2x=2-m
∴ x =
2-m
≥0
2-m ∵x ≥0 ∴2 解得 m≤2
2
例8 解关于x 的不等式:k(x+3)>x+4
分析:先整理不等式成ax >b 的形式,再进行求解 解:去括号,得kx+3k>x+4
移项,得kx -x >4-3k 合并同类项,得(k-1)x >4-3k 若k -1=0,即k=1时,0>1不成立 ∴不等式无解
若k -1>0,即k >1时 x >4-3k
k -1
若k -1<0,即k <1时 x
k -1
注:由(k -1)x >4-3k ,得出不等式的解集,必须对k -1的符号作出判断,如果不能肯定判断出,就应该讨论。
例9 设a 、b 、c 、d 是四个正数,且满足下列条件:
①d>c ②a+b=c+d ③a+d<b+c 试判断a 、b 、c 、d 的大小
解:∵a+d<b+c,a+b=c+d,∴d-b <b -d ,d <b ∴b-d=c-a >0,c >a
又d >c ∴b>d >c >a
例10 解下列不等式组
⎧x -3(x -2) ≥4 ①⎪
⎨1+2x
>x -1 ②⎪
⎧3x -15>0 ① (2)⎩3 (1)⎨
⎩7x -2
(x +4)
⎪x +2>x +3 ②
3⎩2⎧5x -4≤2x +5 ① (4)⎪ (3)⎨
⎩7+2x ≤6+3x ②
分析:解不等式组时,要先分别求出不等式组中每个不等式的解集,然后画数轴
找它们的解集的公共部分,这个公共部分就是不等式组的解集。 解:(1)解不等式①,得x >5 解不等式②,得x >-2
在同一数轴上表示出不等式①,②的解集:
∴这个不等式组的解集是x >5
(2)解不等式①,得x≤1 解不等式②,得x <4 在同一数轴上表示出不等式①,②的解集:
∴这个不等式组的解集是x≤1
(3)解不等式①,得x≤3 解不等式②,得x≥1 在同一数轴上表示出不等式①、②的解集:
∴这个不等式组的解集为:1≤x≤3
(4)解不等式①得,x <-2 解不等式②得,x >0 在同一数轴上表示不等式①、②的解集:
∴此不等式组无解。
注:(1)用数轴表示不等式组解集时,要时刻牢记:大于向右画,小于向左画;有等号画实心圆点,无等号画空心圆圈。
(2)对于由两个一元一次不等式组成的不等式组,熟练以后,可直接把握它的四种基本情况确定不等式组的解集。
⎧2x -5
⎪1
11x ⎪1-x
23⎪
()x +5-≥2x -⎪32⎩
答案:4
24 5
例12 求不等式-2
5
⎧2(1-3x )
>-2⎪⎪ 5解:原不等式可化为不等式组⎨
⎪2(1-3x ) ≤4⎪5⎩
解这个不等式组,得-3≤x<2;
∴ 原不等式的整数解为:-3,-2,-1,0,1
例13 若不等式组
无解,则
的取值范围是什么?
分析:已知不等式组的解集,求不等式中所含字母的取值范围,必须根据不等式组的四种基本类型来分析,本题关键是两个不等式的解集无公共部分. 解:要使不等式组无解,故必须
,从而解得
,故
.
说明:本题要熟悉“大大小小是空集”的解集确定方法,当然也可借助于数轴求解.
例14 若关于的不等式组是什么? 解:由①可解出
故
,而由②可解出
的解集为,则的取值范围
,而不等式组的解集为 ,
,即T4 a ≤-2 .
说明:例3给出不等式组的解集,反求不等式中所含字母的取值范围,故要
求较高.解这类题目的关键是对四种基本不等式组的解集的意义要深刻理解,如例14,最后归结为对不等式组
解集的确定,这就要求熟悉“同小取小”的解集
确定方法,当然也可借助于数轴求解.
⎧2x -m
⎪
例15 不等式组⎨1的解集是x <6m+3,那么m 的取值范围为( )
x -1
A )m≤0 B)m=0 C)m >0 D)m <0
分析:先对不等式组进行化简,化为四种基本不等式组中的一种,后根据不等式组解集的特点求解。
6+m ⎧
6+m ⎪x
∴m ≤0,故选A )解:原不等式组可化为:⎨。 2 ∴6m+3≤2⎪x
⎧x >2m +1
例16 如果不等式组⎨的解集为x >-1,那么m 的值为( )
⎩x >m +2A )3 B)1 C)-1 D)-3
分析:由于不等式组的解集为x >-1,所以2m +1、m +2中必有一个是-1,故需要分类求解。
解:当2m+1=-1时,有基本不等式组解集的特点可知:2 m +1≥m +2,解得:
m =-1且m≥1,此时无解; 当m +2=-1时,有基本不等式组解集的特点:“大大取大”可知:m +2≥2 m +1, 解得:m =-3且m ≤1,所以m =-3,故选D )。
⎧x -a ≥0
例17 已知不等式组⎨有解,则a 的取值为( ) ..-2x >-4⎩A )a >-2 B)a≥-2 C)a <2 D)a≥2
分析:先对不等式组进行化简,化为四种基本不等式组中的一种,后根据不等式组解集的特点求解。
⎧x ≥a
解:原不等式组可化为:⎨,由于不等式组有解,所以a <2,故选C )。
⎩x <2⎧x -a >0
例18 已知不等式组⎨无解,则a 的取值为( ) ..
⎩5-2x >-1A )a >3 B)a≥3 C)a <3 D)a≤3
⎧x >a
解:原不等式组可化为:⎨,由于不等式组无解,所以a≥3,故选B )。
⎩x ≤3
⎧x -a >0
例19 已知不等式组⎨的整数解共有5个,则a 的取值范围
⎩3-2x >-1为 。
分析:须先化简不等式组,再将解集在数轴上表示出来,结合整数解的个数才能确定取值范围。
⎧x >a
解:原不等式组可化为:⎨,由于不等式组有5个整数解,
x
⎧2x
例20 关于x 的不等式组⎨3x +2,有四个整数解,则a 的取值范围是
>x +a ⎪⎩4( )
[1**********]A 、-<a≤- B、-≤a<- C、-≤a≤- D、-<a
42424245<-
2答案:B
例21 已知关于x 的方程
2x +a
=-2的解是非负数,则a 的取值范围x -1T4
是 。 答案:a≤2且a≠-2
例22 已知m 、n 为实数,若不等式(2m-n) x+3m-4n<0的解集为x >
4, 9
求不等式(m-4n) x+2m-3n>0的解。
解:由(2m-n) x+3m-4n<0得:(2m-n) x<4n-3m ,
(1)⎧2m -n
因为它的解集为x >,所以有⎨4n -3m 4
=(2)9⎪⎩2m -n 9
7
由(2)得 n =m 代入(1)得 m<0
8
75m 5m
x >把n =m 代入(m-4n) x+2m-3n>0得 -
828
1
∵m<0 ∴x >- 所以,不等式(m-4n)x+2m-3n>0 的解集为
4
1x >-
4
评注:本题的关键是确定未知数x 的系数,从而才能求出不等式的解。方法是首先求出m 、n 的关系,再代入确定未知数x 的系数。
48
例23 已知关于x 的方程:x -m =x -1,当m 为某些负整数时,方程的解
37
为负整数,试求负整数m 的最大值。
44
x +1 解:原方程化简整理得:x =m -1,可得m =
21214
因为m 为负整数,所以x 必为小于-1的负整数
21
4211
∴x
21444
而要使x 为负整数,x 必是21的倍数,所以x 的最大值为-21
21
因为当x 取最大值时,m 也取得最大值,所以m 的最大值为-3
例24 解不等式:(1)x -1
⎧x -1
⎩x -1>-3 可得解:(1)由x -
解这个不等式组得:-2<x <4
(2)由x -≥3可得:x -1≥3或x -1≤-3 解得:x≥4或x≤-2
;(2)x -≥3
例25 解不等式:(1) (2x+1)-7<(x+m)+3x (x-1) (2) x -4-2x -3≤1 解:(1)原不等式可化为:(7-2m) x<m 2+6
m 2+67
∴当m < 即7-2m >0时,解为x <
27-2m m 2+67
当m > 即7-2m <0时,解为x >
27-2m
22
当m =
(2)
71
即7-2m=0,m 2+6=18时,解为一切实数。 24
3
x -4与2x -34和,由 零点分段法,可把x 的取值范围分为三段:
2
33
x ≤; 4
223
当x ≤时,原不等式可化为 -x+4+2x-3≤1,解得x≤0
23
当
2
所以,原不等式的解为2≤x≤4
当x >4时,原不等式可化为x-4-2x+3≤1,解得x≥-2,
所以,原不等式的解为x >4
综上所述,原不等式的解集为x≤0 或x≥2
评注:1、解含参不等式,一定要注意讨论未知数的系数,分大于0、小于0、
等于0三种情况讨论。
2、解含绝对值的不等式,常用零点分段法将绝对值去掉再求解。
⎧3x +y =k +1
例26 若方程组⎨的解为x 、y ,且2
⎩x +3y =3( ) A. 0
-1
1
B. 0
分析:把题设两方程的两边分别相减得 2x -2y =k -2, 由此得
k =2(x -y +1) 。
因为2
0
例27 已知x 、y 、z 是非负实数,且满足x +y +z =30, 3x +y -z =0,求
u =5x +4y +2z 的最大值和最小值。
答案: 最大值为90,最小值为
165
。
T4 2
例28 若-5≤2a-3b≤1,-2≤3a+b≤7
求(1)a ,b 的范围 (2)a -7b 的范围
⎧-5≤2a -3b ≤1 ①
解:(1) ⎨
⎩-2≤3a +b ≤7 ②
把①+②×3得 -11≤11a≤22 ∴ -1≤a≤2 由-6≤-3a≤3 ③ 由∴③+②得 -8≤b≤10 (2)设a -7b=m(2a-3b)+n(3a+b)
⎧m =2⎨
2m +3n =1 解得:⎩n =-1 ⎧则:⎨
⎩n -3m =-7
又: -10≤2(2a-3b)≤2 -7≤-(3a+b)≤2 ∴ -17≤a-7b≤4
注:(2)解法,实质上是待定系数法。
例29 某宾馆底层客房比二楼少5间,某旅游团有48人,若全安排住底层,每间住4人,房间不够;每间住5人,有房间没有住满5人。又若全安排住二楼,每间住3人,房间不够;每间住4人,有房间没有住满4人。问该宾馆底层有客房多少间?
解:设底层有客房x 间,则二楼有客房(x+5)间,依题意有48
54
即93
5
依题意 3(x+5)<48<4(x+5),解之得7<x <11 故x 可能取8,9,10„„②
由①,②得到x=10 答:底层有客房10间。
注;本题根据题意先从房间数列出不等式组,再由人数列不等式组,然后找出它们各一组整数解,从而最终得出结果。
例30 把若干个苹果分给几只猴子,若每只猴分3个,则余8个;每只猴分5个,则最后的一只猴分得的数不足5个,问共有多少只猴子?多少个苹果? 分析:若设有y 个苹果,x 只猴子分5个,则关键理解“每只猴分5个,则最后一只猴分得的数不足5个”,这句话的含义,此话即苹果数多于5(x -1),且少于5x 个。
解:设有苹果y 个,猴子x 只,则依题意有:
⎧y =3x +8⎧3x +8>5(x -1) ⎨⎨5(x -1)
解之得,4<x <6.5,故猴子总数为5只或6只。
当x=5时,y=3×5+8=23
当x=6时,y=3×6+8=26
答:有5只猴子,23个苹果或6只猴子,26个苹果。
注:利用不等式(组)解应用题,其步骤与列方程(组)解应用题大体相同,不同的是,后者寻求的是等量关系,列出的等式,而前者寻求的是不等关系,列出的是不等式,并且解不等式(组)所得的结果通常为一解集,需从解集中找出符合题意的答案。
例31 为了迎接2002年世界杯足球赛的到来,某足球协会举办了一次足球联赛,
19分。请通过计算,判断A 队胜、平、负各几场?
分析:设A 队胜x 场、平y 场、负z 场,
⎧x +y +z =12 则有⎨,把x 当成已知数, 3x +y =19⎩
⎧y =19-3x 可解得⎨。由题意,
⎩z =2x -7
x ≥0、y ≥0、z ≥0,且x 、y 、z 均为整数,
⎧x ≥0⎪ 所以⎨19-3x ≥0,
⎪2x -7≥0⎩
11 解得3≤x ≤6,于是x 可取4、5、6,由此可得三组解(略)。 23
从以上几例可以看出:解答这类题时,可先把题设中的方程(组)的解求出
来,再根据题目中的限制条件列不等式(组)进行解答;或先求出题设不等式(组)的解集,再与已知解集进行比较,从而列方程(组)施行解答。
例32 将若干只鸡放入若干个笼,若每个笼里放4只,则有一只鸡无笼可放;若每个笼放5只,则有一笼无鸡可放,那么至少有多少只鸡,多少个笼?
① ⎧4y +1=x 解:设有鸡x 只,鸡笼y 个,则⎨⎩5(y -2) ≤x ≤5(y -1) ②
根据条件,有一只笼无鸡可放,所以y -2只笼子里必须都放满5只。
x - 1 - 2 )≤x≤5(x -1-1) , 由①得y=x -1, 代入②得:5(.8 4 44解之得25≤x≤45,从而6≤y≤11,
故至少有25只鸡,6个鸡笼.
例33 某工厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划利用这两种原料生产A 、B 两种产品,共50件,已知生产一件A 种产品,需用甲种原料9千克,乙种原料3千克,可获利润700元;生产一件B 种产品,需用甲种原料4千克,乙种原料10千克,可获利润1200元。(1)按要求安排A 、B 两种产品的生产件数,有哪几种方案?请你设计出来;(2)设生产A 、B 两件产品获总利润为y 元,其中一种的生产件数为x ,试写出y 与x 之间的关系式,并利用相关的性质说明
(1)中哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少?
解:(1)设安排生产A 种产品x 件,则生产B 种产品为(50-x )件,则有:
⎧9x +4(50-x ) ≤360 解此不等式组得30≤x≤32 ⎨⎩3x +10(50-x ) ≤290
因x 为整数,∴x取30,31,32,(50-x )取20,19,18。
故生产方案有三种:A 种产品生产30件,B 种产品20件;A 种产品生产31件,B 种产品19件;A 种产品生产32件,B 种产品18件。
(2)设生产A 种产品x 件,则生产B 种产品(50-x )件,依题意,得 y=700x+1200(50-x )=-500x +60000
-500x +60000中,x 越大,-500x 越小,且x 不超过30,
∴当x=30时,y 取最大值。
故按第一种方案生产,获最大总利润为:30(-500)+60000 = 45000(元)