结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案

量子力学基础习题

一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）

1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。

1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值

_______________。

1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。

1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。

1105、一组正交、归一的波函数ψ1， ψ2， ψ3，…。正交性的数学表达式为 ，

归一性的表达式为 。

1106、│ψ (x 1， y 1， z 1， x 2， y 2， z 2) │2代表______________________。

1107、物理量xp y - yp x 的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。

1108、质量为 m 的一个粒子在长为l 的一维势箱中运动，

(1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ；

(2)体系的本征值谱为____________________， 最低能量为____________ ；

(3)体系处于基态时， 粒子出现在0 ─ l /2间的概率为_______________ ；

(4)势箱越长， 其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长；

(5)若该粒子在长l 、宽为2l 的长方形势箱中运动， 则其本征函数集为____________，

本征值谱为 _______________________________。

1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ

_________________________；当粒子处于状态ψ211211(x ，y ，z )= 时，概率密度最大处坐标是

7h 2

_______________________；若体系的能量为，其简并度是_______________。 24m a

3h 2

1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E =的简并度是_____，24m a

27h 2

E '= 的简并度是______________。 28m a

1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ= m 1m 2的一维谐振子，其势能为m 1+m 2

V =kx 2/2，它的薛定谔方程是_____________________________。

1112、1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。欲使电子射

线产生的衍射环纹与Cu 的K α线(波长为154 pm的单色X 射线) 产生的衍射环纹相同， 电

子的能量应为___________________J。

1113、对于波函数ψj 、ψj ，其归一性是指 。

ˆ满足 或满足 , 则算符F ˆ为1114、若算符F

厄米算符。

1115、一个质量为m 的微观粒子在箱长为a 的一维势箱中运动时，体系的势能

为 ，体系的零点能为 。

1116、质量为 m 的一个粒子在长为l 的一维势箱中运动，

(1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ；

(2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ；

1117、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ

_________________________；当粒子处于状态ψ211211(x ，y ，z )= 时，概率密度最大处坐标是

7h 2

_______________________；若体系的能量为，其简并度是_______________。 24m a

1118、对于立方箱中的粒子，考虑E

1119、对氢原子 1s 态：

(1) ψ2在 r 为_______________处有最高值；

2(2) 径向分布函数 4πr ψ2在 r 为____________处有极大值；

(3) 电子由 1s 态跃迁至 3d 态所需能量为_____________。

15h 2

1120、对于立方势箱中的粒子，考虑出E

级？ 在此范围内有 个状态？

二、选择填空题（选择正确的答案，填在后面的括号内）

1201、首先提出能量量子化假定的科学家是：---------------------------( )

(A) Einstein (B) Bohr

(C) Schrodinger (D) Planck

1202、任一自由的实物粒子，其波长为λ，今欲求其能量，须用下列哪个公式

---------------( )

h 2

(A) E =h (B) E = 2λ2m λc

(C) E =e ( 12. 25

λ) 2 (D) A，B ，C 都可以

1203、下列哪些算符是线性算符----------------------------------------------------- ( )

(A) d (B) ∇2 dx

(C) 用常数乘 (D)

1204、下列函数中

(A) cos kx (B) e (C) e (D) e

(1) 哪些是-bx -ikx -kx 2 d 的本征函数；--------------------------------------------------------------- ( ) dx

d 2

(2) 哪些是的2本征函数；------------------------------------------------------------- ( ) dx

d d 2

(3) 哪些是2和的共同本征函数。----------------------------------------------- ( ) dx dx

ˆ具有下列性质 1205、线性算符R

ˆ(U + V) = R ˆU +R ˆV R ˆ(cV ) = c R ˆV R

式中c 为复函数，下列算符中哪些是线性算符？ -----------------------------------( )

ˆU =λU ， λ=常数 (A) A

ˆU =U * (B) B

ˆU =U 2 (C) C

ˆU = d U (D) D d x

ˆU =1/U (E) E

1206、电子自旋存在的实验根据是：--------------------------------------------------------------- ( )

(A) 斯登--盖拉赫(Stern-Gerlach)实验 (B) 光电效应

(C) 红外光谱 (D) 光电子能谱

1207、一个在一维势箱中运动的粒子，

(1) 其能量随着量子数n 的增大：------------------------ ( )

(A) 越来越小 (B) 越来越大 (C) 不变

(2) 其能级差 E n +1-E n 随着势箱长度的增大：-------------------( )

(A) 越来越小 (B) 越来越大 (C) 不变

12h 2

1208、立方势箱中的粒子，具有E =的状态的量子数。 n x n y n z 是--------- ( ) 8m a 2

(A) 2 1 1 (B) 2 3 1 (C) 2 2 2 (D) 2 1 3

1209、处于状态ψ (x )=sin

(A) P =ψ (πa x 的 一维势箱中的粒子，出现在x =处的概率为----- ( ) a 4πa πa 2) = sin(·) = sin = 4a 442

a 21 )]= (C) P = 42 (B) P =[ψ ( 2

a ψ (a ) =41 a

(D) P =[a 12ψ ( )]2= 4a a

(E) 题目提法不妥，所以以上四个答案都不对

7h 2

1210、在一立方势箱中，E ≤的能级数和状态数分别是(势箱宽度为l ，粒子质量为24m l

m ) ：-----------------------------------------------------------------( )

(A) 5，11 (B) 6，17 (C) 6，6 (D) 5，14 (E) 6，14

1211、关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ---------------------------（

(A)光电流大小与入射光子能量成正比

(B)光电流大小与入射光子频率成正比 ）

(C)光电流大小与入射光强度成正比

(D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大

1212、提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：----------------------------（

(C) W. Heisenberg (D) E. Schrödinger ） (A) de Bröglie (B) A. Einstein

~应1213、微粒在间隔为1eV 的二能级之间跃迁所产生的光谱线的波数v

为：--------------------------------（ ）

(A) 4032 cm-1 (B) 8065 cm -1

(C) 16130 cm -1 (D) 2016 cm -1 (1eV=1.602×10-19J)

1214、普朗克常数是自然界的一个基本常数，它的数值是：-------------------（

(A) 6.02×10-23尔格 (B) 6.625×10-30尔格·秒

(C) 6.626×10-34焦耳·秒 (D) 1.38×10-16尔格·秒

1215、首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：-----------------（ ） ）

(A) 薛定谔 (B) 狄拉克

(C) 海森堡 (D) 波恩

1216、下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择) ：-------------------（

(Ａ) 电子自旋(保里原理)

(Ｂ) 微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征

(Ｃ) 描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的

(Ｄ) 微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理

1217、描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：----------------------------------（

(A) 由经典的驻波方程推得 (B) 由光的电磁波方程推得

(C) 由经典的弦振动方程导出 (D) 量子力学的一个基本假设

1218、一电子被1000V 的电场所加速，打在靶上，若电子的动能可转化为光能，则相应

的光波应落在什么区域？

（A ）X 光区 （B ）紫外区

（C ）可见光区 （D ）红外区

1219、由戴维逊－革末的衍射实验，观察某金属单晶（晶面间距d 为104pm ）上反射，

若一级衍射的布拉格角控制为45º，则此实验要用多大的加速电压来加速电子（单位：V ）？） ）

--- ( )

（A ）

（C ）70 （D ）150

1220、一维势箱的薛定谔方程求解结果所得的量子数n ，下面论述正确的是 ？

（A ）可取任意整数 （B ） 与势箱宽度一起决定节点数

（C ） 能量与n 2成正比例 （D ） 对应于可能的简并态

三、判断题（对判断给出的命题的对错，正确的题号后画√，错误的题号后画×）

1301、根据测不准原理，任一微观粒子的动量都不能精确测定，因而只能求其平均值。

1302、波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的。

1303、任何波函数ψ (x ， y ， z ， t ) 都能变量分离成ψ (x ， y ， z ) 与ψ (t ) 的乘积。

1304、ψ=cosx ， p x 有确定值， p 2x 没有确定值，只有平均值。

1305、一维势箱中的粒子，势箱长度 为l ， 基态时粒子出现在x =l /2处的概率密度最小。 1306、波函数本身是连续的，由它推求的体系力学量也是连续的。

1307、测不准关系式是判别经典力学是否适用的标准。

1308、光照射到金属表面时，金属中有光电子产生，且照射光的强度越大，电子逸出金属表面的动能越大。

1309、量子力学中力学量算符都是线性的、厄米的。

1310、在电子的衍射实验中采用单个电子穿过晶体粉末，在足够长的时间后，在屏上得到了衍射环纹，这说明单个电子也可以产生波。

四、简答题

1401、对一个运动速率v

mv =p =h

λ=h νE 1==mv v v 2

A B C D E

结果得出1=1的结论。问错在何处？ 说明理由。 2

1402、简述一个合格的波函数所应具有的条件？

1403、被束缚在01404、一维势箱中一粒子的波函数ψn (x )=(2/l ) 1/2sin(n πx /l ) 是下列哪些算符的本征函数，并求出相应的本征值。

22(h /2π) d ˆ= ˆ （Ｄ）H ˆx （Ｂ） p ˆx 2 （Ｃ） x （A ）p 22m d x

ˆ2， M ˆz 三个算符中哪个的本征函数？ ˆ，M 1405、说明下列各函数是H

ψ2pz ， ψ2px 和ψ2p1

2n πx ，a 为势箱的长度，试问当sin a a 1406、一维势箱中运动的一个粒子，其波函数为

粒子处于n =1或n =2的状态时，在0 ～a /4区间发现粒子的概率是否一样大，若不一样，n 取几时更大一些，请通过计算说明。

2d cos θd ˆ=- (+) 的本征函数，若是，本征1407、5cos θ-3cos θ是否是算符F 2d θsin θd θ32

值是多少？

1408、下列休克尔分子轨道中哪个是归一化的？若不是归一化的，请给出归一化系数。（原子轨道ϕ1, ϕ2, ϕ3是已归一化的）

ψ1=

ψ2=12a. (ϕ1+ϕ2) b. 1(ϕ1-2ϕ2+ϕ3) 4

2x ˆx 的本征函数？相应的本征值是多少？ 1409、已知一函数f (x )=2e，问它是否是p

1410、有一粒子在边长为a 的一维势箱中运动。

(1)计算当n =2时，粒子出现在0≤x ≤a /4区域中的概率；

(2)根据一维势箱的ψ图，说明0≤x ≤a/4区域中的概率。 2

五、证明题

1501、已知一维运动的薛定谔方程为:

h 2d 2

[-2+V（x ）] ψ=E ψ 28πm d x

ψ1和ψ2是属于同一本征值的本征函数， 证明:

ψ1d ψ2d ψ1-ψ2=常数 d x d x

1502、试证明实函数Φ2 (φ)=(1/π) 1/2cos2φ和Φ2’(φ)=(2/π) 1/2sin2φcos φ都是Φ方程

d 2

[ + 4] Φ (φ)=0 的解。 2d φ

ˆ的本征函数，相应的本征值是多少？ 1503、证明函数x +iy ，x -i y 和z 都是角动量算符M z

1504、已知有2n 个碳原子相互共轭的直链共轭烯烃的π分子轨道能量可近似用一维势阱的能级公式表示为

k 2h 2

E k = k =1，2，…，2n 228mr (2n +1)

其中，m 是电子质量，r 是相邻碳原子之间的距离，k 是能级序号。试证明它的电

子光谱第一吸收带(即电子基态到第一激发态的激发跃迁) 波长λ与n 成线性关系。假定一个粒子在台阶式势阱中运动，势阱宽度为l ，而此台阶位于l /2～l 之间。

1505、证明同一个厄米算符的、属于不同本征值的本征函数相互正交。

1506、证明厄米算符的本征值是实数。

ˆ和B ˆ2也是厄米算符。 ˆ+B ˆ是厄米算符，证明(A ˆ) 和A 1507、已知A

1⎛3⎫1508、证明描述在一球面上运动的粒子（刚性转子）的波函数ψ= ⎪cos θ是三维2⎝π⎭

空间中运动的自由粒子（势能V=0）的薛定谔方程的解，并求粒子的能量。 2

21∂2∂1∂∂1∂2

已知∇=-[(r ) +(sinθ) +22)]。 2m r 2∂r ∂r r 2sin θ∂θ∂θr sin θ∂φ22

1509、证明描述在一球面上运动的粒子（刚性转子）的波函数

15⎫-i φψ=1⎛ ⎪cos θsin θe 是在三维空间中运动的自由粒子（势能V =0）的薛定谔方程2⎝2π⎭

的解，并求粒子的能量。

21∂2∂1∂∂1∂2

已知∇=-[2(r ) +2(sinθ) +22)]。 22m r ∂r ∂r r sin θ∂θ∂θr sin θ∂φ2

1⎛15⎫-i φ1510、证明波函数ψ= ⎪cos θsin θe 是角动量平方的本征函数，并求粒子的2⎝2π⎭

22∂cos θ∂1∂22ˆ角动量。已知角动量平方算符M =- (++) 。 ∂θ2sin θ∂θsin 2θ∂φ2六、计算题

1601、波长λ=400 nm 的光照射到金属铯上，计算金属铯所放出的光电子的速率。已知

铯的临阈波长为600 nm。

1602、光电池阴极钾表面的功函数是2.26 eV 。当波长为350 nm 的光照到电池时，发射

的电子最大速率是多少？

(1 eV=1.602×10-19J ， 电子质量m e =9.109×10-31 kg)

1603、设体系处在状态ψ=c 1ψ

若无，则求其平均值。

1604、函数ψ (x )= 2211+ c 2ψ210中， 角动量M 2和M z 有无定值。其值为多少？πx 2πx 22sin - 3sin 是不是一维势箱中粒子的一种可能状a a a a

态？ 如果是， 其能量有没有确定值(本征值) ？ 如有， 其值是多少？ 如果没有确定值， 其平均值是多少？

1605、在长为l 的一维势箱中运动的粒子， 处于量子数为n 的状态， 求：

(1) 在箱的左端1/4区域内找到粒子的概率；

(2) n 为何值时， 上述概率最大？

(3) 当n →∞时， 此概率的极限是多少？

(4) (3)中说明了什么？

1606、(1) 写出一维简谐振子的薛定谔方程；

(2) 处于最低能量状态的简谐振子的波函数是

α2

1/4 ψ0= () exp[-α2x 2/2] π

此处，α=(4π2k μ/h 2) 1/4，试计算振子处在它的最低能级时的能量。

(3) 波函数ψ在x 取什么值时有最大值？ 计算最大值处ψ2的数值。

1607、氢分子在一维势箱中运动，势箱长度l =100nm，计算量子数为n 时的de Broglie波

长以及n =1和n =2时氢分子在箱中49nm 到51nm 之间出现的概率，确定这两个状

态的节面数、节面位置和概率密度最大处的位置。

1608、限制在一个平面中运动的两个质量分别为m 1和m 2的质点 ， 用长为R 的、没有质

量的棒连接着，构成一个刚性转子。

(1) 建立此转子的Schr ödinger方程， 并求能量的本征值和归一化的本征函数；

(2) 求该转子基态的角动量平均值。

ˆ=M ˆz =-i已知角动量算符 M

1609、氢原子中，归一化波函数：h ∂。 2π∂φ（

和

出现的概率都是归一化的）所描述的状态，其能量平均值是（a ）R ；能量

是（b ）；角动量平均值是（c ） ；角动量

分量的平均值是（e ）

；角动量Z 分量

出现的概率是（d ）；角动量Z 出现的概率是（f ）。

1610、已知类氢离子

的某一状态波函数为：

则（a ）此状态的能量为； （b ）此状态的角动量的平方值；

（c ）此状态角动量在Z 方向的分量为；（d ）此状态的

(e)此状态角度分布的节面数为；

2125、多电子原子的一个光谱支项为 3D 2， 在此光谱支项所表征的状态中，原子的总轨

道角动量等于（a ）； 原子总自旋角动量等于（b ）；原子总角动量等于（c ）； 在磁

场中 ， 此光谱支项分裂出（d ）个蔡曼 ( Zeeman ) 能级 。

2403、一个电子主量子数为 4， 这个电子的 l ， m ， m s 等量子数可取什么值？这个电子共有多少种可能的状态？

值分别为；

量子力学基础习题参考答案

1100、填填空题（在题中的空格处填上正确答案）

1101、E =h ν p =h /λ

h h

1102、λ==, 小

p mv

1103、电子概率密度

h

2π

h

微观物体的坐标和动量不能同时测准, 其不确定度的乘积不小于。

2π

1104、∆x ·∆p x ≥ 1105、(a) ∫ψ

ψi d τ = 0, i ≠j

(b) ∫ψψi d τ = 1

*i *i

1106、电子1出现在x 1, y 1, z 1, 同时电子2出现在x 2, y 2, z 2处的概率密度 1107、-i ·

h ∂∂ (x - y )

∂x 2π∂y

1108、(1)ψ =

n πx 2sin n =1, 2, 3,…

l l

n 2h 2h 2

(2) E = ;

8m l 28m l 2

(3) 1/2 (4) 增长

n y πy n πx 22

sin x sin

l 2l l 2l 2222

n y h n x h

E = + 2

8m l 28m (2l )

(5) ψ= 1109、(1)ψ

211(x , y , z ) =

2πππ8

sin x siny sin z

a a a a 3

(2)(a /4, a /2, a /2) (3a /4, a /2, a /2)

(3)6

1110、3, 4 1111、

[-

22+k ψ=E ψ ∇x 28π2μh

2

]

p 22=1112、T = =1.016×10-17 J 2m 2m **

1113、(⎰ψi ⨯ψj d τ=1，i =j ）（⎰ψi ⨯ψj d τ=0，i ≠j ）

)

1114、（⎰ψF ψd τ=⎰(F ψ) ψd τ）（⎰ψF ψ2d τ=⎰(F ψ1) ψ2d τ）

h 21115、零， 2

8m a

n πx 2sin n =1, 2, 3,…

l l

n 2h 2h 2

(2) E = ;

8m l 28m l 2

*

ΛΛ

*

*1

ΛΛ

*

1116、(1) ψ =

1117、 (1) ψ

2πππ8sin x siny sin z

a a a a 3

(2) (a /4, a /2, a /2) (3a /4, a /2, a /2)

(3) 6

211(x , y , z ) =

1118、17，5

1119、(1) O 或核附近 (2) a 0 或 52.3 pm (3) 8×13.6/9 eV

h 2

1120、E = (n +n +n ) 2

8m a

共有17个状态, 这些状态分属6个能级。

2x

2y

2z

1200、选择填空题（选择正确的答案，填在后面的括号内） 1201、(D) 1202、（B ）

1203、(D)

1204、(1) B, C (2) A, B, C (3) B, C 1205、(A), (D)

1206、(A)

1207、(1) B (2) A 1208、（C ） 1209、（E ） 1210、（B ） 1211、(C),(D) 1212、(A) 1213、（B ） 1214、(C) 1215、(C)

1216、(A) ,(B) 1217、(D) 1218、(A) 1219、(C) 1220、(C)

1300、判断题（对判断给出的命题的对错，正确的题号后画√，错误的题号后画×）

1301、× 1302、× 1303、× 1304、× 1305、× 1306、× 1307、× 1308、× 1309、√ 1310、×

1400、简答题

1401、A,B 两步都是对的, A中v 是自由粒子的运动速率, 它不等于实物波的传播速率u ,

C 中用了λ= v /ν, 这就错了。 因为λ= u /ν。 又D 中E =h ν是粒子的总能量, E 中E =

12

mv 仅为v

量是不等的。 所以 C, E都错。

1402、(1) 单值的。 (2) 连续的, 一级微商也连续。

(3) 平方可积的, 即有限的。

. 75a

1403、P = ⎰00. 25a

22πx 1

sin () dx = 0.5+ = 0.818 a a π

1404、(A).不是 (B).是, 本征值为 n 2h 2/(4l 2)

(C).不是 (D).是, 本征值为 n 2h 2/(8ml 2)

ˆ, ˆ, ˆ共同的本征函数 1405、2p z =2p 0 是H M M z

2

ˆ, ˆ共同 2p x 为2p 1和2p -1的线性组合, 是H M

2

的本征函数

ˆ, M ˆ, M ˆz 共同的本征函数 2p 1 是H

2

⎛2n πx ⎫2a/4n πx ⎪d x =⎰sin 21406、P =⎰ sin d x ⎪0 a 0a ⎭a a ⎝

11n π

sin =-

42n π2

11

n =1，P =-

42n π1

n =2，P =.

4

a/4

2

n =2时，粒子出现在0—a /4区间概率更大些。

1407、

d

cos θ=-sin θ d θ

d 2

c o θs =-c o θs d θ2d 32

c o s θ=-3s i n θc o s θ d θd 22

c o 3s θ=-3c o 3s θ+6s i n θc o θs 2d θ

ˆ5c o 3F s θ-3c o θs =

(

- 2-15cos 3θ+30sin 2θcos θ+3cos θ-15cos 3θ+3cos θ

232

=- -30cos θ+30sin θcos θ+6cos θ

23332

=- -30cos θ-30cos θ+30cos θ+30sin θcos θ+6cos θ

23

=- -60cos θ+36cos θ

23

=12 5cos θ-3cos θ

2

是，本征值为12

(

)

((((

)

)

)

)

)

1408、归一化条件：∑c i 2=1

i =1

n

A

212223

B ∑(c i 2) =2() +(-) =,b 不是归一化的。

244i =1

i =1

3

∑c i 2=2(

2

1

) 2=1, a 是归一化的。

21即。 36d

ˆx f (x ) =-i 2e 2x 1409、p

d x 2x

=-4i e =-2i f (x )

h

f (x ) =i π

归一化因子

ˆx 的本征函数，本征值为 f (x ) 是p 1410、⎰(

a 40

h 。 i π

2n πx 2sin ) d x （当n =2时） a a

⎤2⎡a a 4πx a 4sin =⎢-⎥

a ⎣88πa 0⎦2a 1=⋅= a 84

(2)

2

1500、证明题

1d 2ψ11d 2ψ2

1501、 = 22

ψ1d x ψ2d x

ψ

2d 2ψ2d ψ1

ψ - = 0 12

d x 2d x 2

d ψ1d ψd ψ2

[1 - ψ2] = 0 d x d x d x

d ψ2d ψ1

[ψ1 - ψ2] = 常数

d x d x

1502、将

Φ(φ)=(1/π)

2

1/2

cos 2φ代入Φ(φ)方程

1/2

d

⎡2⎤

+42⎢⎥⎦ ⎣d φ

说明

Φ(φ)是Φ(φ)方程的解。

将Φ'(φ)=(2/π)sin φcos φ代入Φ(φ)方程

⎡⎤

+4⎢φ⎥(2/π)sin φcos φ=(2/π)(cos φ-sin φ)+4(2/π)

2

1/2

2

2

(1/π)(1/π)=-4(s φ+4(s φ=01/φ)c o 21/π)c o 2

1/2

c o 2s φ=

(-2s i n 2φ)+4(1/φ)

1/2

c o 2s φ

1/21/2

1/2

⎣

d

2

⎦

d

d

1/2

22

1/2

sin φcos φ

[2(-sin φ)cos φ-2sin φcos φ]+4(2/π)sin φcos φ=0

说明Φ'2(φ)也是Φ(φ)方程的解。

ˆz =-i (π)[x (y )-y (x )]M 1503、 ˆz (x +iy )=-i (π)[x (y )(x +iy )-y (∂π)(x +iy )]M

=

1/2

1/2

(2/π)

ˆz 本征函数, 本征值为 M

ˆ=-i ()[x ()-y ()]M ˆ(x -iy )=-i )[x ()(x -iy )-y ()(x -iy )]M

故x -i y 是M ˆz 本征函数, 本征值为 -π ˆ(z )=-i ()[x ()z -y ()z ]=0=0⋅z

M

故z 是ˆ 本征函数, 本征值为 0

M

故x +iy 是

z z

h π

π

y ∂

x

π

y

π

h

z

π

∂

y

π

z

1504、第一吸收带是由HOMO 到LUMO 跃迁产生。 对本题HOMO k =n ; LUMO k =n +1;

22(2n +1)

22∆E =(n +1)-n =22

8mr 2n +18mr 2n +1

[]

=

2

=∆E 所以 即λ

λ=

hc

∆E

=

8mr (2n +1)⨯hc

h

2

=8mrc (2n +1)/h

=16mrcn /h +8mrc /h

ˆ的分别属于本征值λ1, λ2, , λn . 的本征函数，则有 1505、设u 1, u 2,..., u n ,... 是算符A

ˆu m =λm u m , A

ˆu n =λn u n , A

****ˆ A u m =λm u m =λm u m

()

*

m

可得

ˆu d τ=λu u d τ ⎰u A ⎰

ˆu )u d τ=λu u d τ ⎰(A ⎰

n

n

*

m

n

*

m n m

*m

n

根据 的厄米性, 从上式可得

**

λn u m u n d τ=λm u m u n d τ

⎰⎰

*

(λn -λm )u m u n d τ=0

⎰

*

λn ≠λm ∴u m u n d τ=0

⎰

ˆud τ=(A 1506、按厄米算符的定义, 有⎰u A ⎰ˆu )ud τ

*

*

ˆu =λu, A ˆu 同时下列本征方程成立:A

()=λu

*

**

***

代入上式, 得: λu u d τ=λu u d τ

⎰⎰

由此可得 λ=λ 故λ必为实数。

*

*

ˆˆ*A *B ˆˆ1507、(1). ∫u (A +B ) v d τ=∫u v d τ+∫u v d τ ˆu ) *v d τ+∫(B ˆu ) *v d τ =∫(A

ˆu ) *+(B ˆu ) *]v d τ =∫[(A

ˆu )+(B ˆu )]*v d τ =∫[(A ˆ+B ˆ)]*v d τ =∫[(A

由此得证

ˆ(A ˆv ) d τ (2). ∫u *A A v d τ=∫u *A

ˆˆ

ˆu ) *(A ˆv ) d τ =∫(A

ˆu ) *A ˆv d τ =∫(A

ˆA ˆu ) *v d τ =∫(A

=∫(

由此得证

1508、三维空间自由粒子的薛定谔方程

2 ˆ=-ˆψ=E ψ H ∇2 H

2m

当r 为常数，ψ与r, φ无关。

ˆu ) v d τ A

2

*

2⎛∂2cos θ∂⎫ˆ 2+⎪ H =- 2 ⎪2mr ⎝∂θsin θ∂θ⎭ 2⎛∂2cos θ∂⎫ˆ 2+⎪N cos θ H ψ=-2 2mr ⎝∂θsin θ∂θ⎪⎭

N 2

(-cos θ-cos θ) =-

2mr 2 2 2

N cos θ= =mr 2mr 2 2

∴E = 2

m a

当ψ与

ˆφ无关，M

2

ˆ2 M

ψ=2

⎛∂2cos θ∂⎫ =- ∂θ2+sin θ∂θ⎪⎪

⎝⎭

2

M =2

1509、三维空间自由粒子的薛定谔方程 22

ˆˆ∇ H ψ=E ψ H =-

2m

当r 为常数，ψ与r 无关,

2 ˆ=- H

2mr 2

⎛∂2c o s θ∂1∂2⎫ ⎪ +22⎪ ∂θ2+s i n θ∂θs i n θ∂φ⎭⎝

ˆ H

ˆ(N c o θψ=H s s i n θe -i φ)

2N ⎛∂2cos θ∂1∂2⎫-i φ ⎪cos θsin θe =- ++2 222⎪2mr ⎝∂θsin θ∂θsin θ∂φ⎭

2

2N cos θ-i φ-i φ-i φcos θ-i φ

e -sin θcos θe -e ) cos θsin θe -ψ =-(+2

sin θsin θ2m r

2N cos 2θ1⎫i φ⎛ ⎪cos θsin θe =ψ-+1+22 ⎪ 2m r 2sin θsin θ⎝⎭

cos 2θ1

+ 式中-=1 sin 2θsin 2θ2226 N 6 6 i φˆψ=ψ, ∴E = H N cos θsin θe =

2m r 22m r 2m r

22⎛⎫∂cos θ∂1∂22-i φˆψ=- ⎪1510、M ++N cos θsin θe 222 ∂θ⎪sin θ∂θsin θ∂φ⎝⎭

=-N (-ψcos θsin θe

2

-i φ

cos 3θ-i φcos θ-i φ

e -sin θcos θe -i φ-e ) +

sin θsin θ

⎛cos 2θ1⎫

=N cos θsin θe ψ-sin 2θ+1+sin 2θ⎪⎪

⎝⎭

cos 2θ1

+ 式中-=1 22

sin θsin θ

ˆ2ψ=6 2N cos θsin θe -i φ=6 2ψ, 6 2为一常数，证毕。 M

2

i φ

M =6 1600、计算题

6.626⨯10-34

m ⋅kg ⋅s -1=6. 626⨯10-24 m ⋅kg ⋅s -1 1601、p ==-9

λ0.1⨯10p 2(6. 626⨯10-34) 2-17

T = = J = 2.410×10 J -31

2m 2⨯9. 109⨯10

hc hc

1602、T = h ν- h ν0= -

λλ0

h

v =

T = (1/2) mv 2

2hc 11

(-) = 6.03×105 m·s -1 m λλ0

ˆ2属于同一本征值2(h ) 2的本征函数的线性组合, 所以，ψ是M ˆ2的1603、(1)ψ是M

2πh 2

本征函数, 其本征值亦为2()

2π

ˆz 属于本征值h 和0的本征函数的线性组合, 它不是M ˆz 的本征函数, 其 (2)ψ是M

c 12(h /2π)

M z 无确定值, 其平均值为= 2

c 12. +c 2

1604、(1). 该函数是一维箱中粒子的一种可能状态, 因

πx 2πx 22sin 及sin 是方程

a a a a

的解，其任意线性组合也是体系可能存在的状态。

(2). 其能量没有确定值, 因该状态函数不是能量算符的本征函数。

5h 2

(3). = 2

13m a

n πx 2

1605、(1) ψn =sin

l l

11n π2

P 1/4=∫l 0/4ψn d x = - sin

42n π2

11 + 46π11n π1

(3) lim P 1/4 = lim ( - sin ) =

2n π24n →∞n →∞4

(2) n =3, P 1/4,max=

(4) (3)说明随着粒子能量的增加, 粒子在箱内的分布趋于平均化。

12ψψh 2d 2

1606、(1) [ - + kx ] =E 22

28πμdx

h α2h 2

(2) E = =

8π2μ4πd

(3) x =0时 ，

dx

K

μ

=

1

h ν 2

ψ= 0， 有最大值 ψ

α21/2 α) = 0=(π2

α21/4

) 0(0) = (π

最大值处 x =0 ψ1607、λ=

p =

2m

k

势箱中

E

k

=E =n h

22

2⎫ 8m ⎪⎝⎭

l

故λ= 2l /n =(200/n )nm

[(n πx )/l ]dx

()=0. 02-2n π)⨯sin 1. 02n π-sin 0. 98n π

p =⎰

49

51

ψ

2

dx =⎰(2/l )sin

9

51

2

n =1 P 1=0.0400

n =2 P 2=0.0001

n =1时 无节面, 概率密度最大在50nm 处。 n =2时 节面数=n -1=1,节面在50nm 处, 概率密度最大在25nm 和75nm 处。

d 2ψ（φ）

1608、(1) Schrödinger方程为 - = E ψ (φ) 22

8πI d φ

m 2h 21im φ

E = 2, ψ (φ) =e m =0,±1, ±2,...

2π8πI ˆ> = 0 (2)

h 2

1609、（a ）

（c ）

； （b ）

； （d ）1

；

（e ）

（f ）0

1610、（a ）－13.6eV ；（b ）0；（c ）0；（d ）2,0,0；(e)0