量子力学第二章习题 答案
第二章习题解答
p.52
2.1. 证明在定态中,几率流与时间无关。 证:对于定态,可令
ψ(r ,t ) =ψ(r ) f (t )
- Et
=ψ(r ) e i
J =(ψ∇ψ
2m
= =
可见J 与t
*i
-ψ∇ψ)
i
i
i
i
*
i 2m i 2m
-Et - Et - Et * - Et *
[ψ(r ) e ∇(ψ(r ) e )-ψ(r ) e ∇(ψ(r ) e )]
* *
[ψ(r ) ∇ψ(r ) -ψ(r ) ∇ψ(r )]
无关。
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度: (1) ψ1=
1r e
ikr
(2) ψ
2
=
1r
e
-ikr
从所得结果说明ψ1表示向外传播的球面波,ψ2表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解:J 1和J 2只有r 分量
在球坐标中 ∇=r 0
∂
1∂ 1∂
+e θ+e ϕ
∂r r ∂θr sin θ∂ϕ
i **
(1) J 1=(ψ1∇ψ1-ψ1∇ψ1)
2m = = =
1ikr ∂1-ikr 1-ikr ∂1ikr [e (e ) -e (e )]r 02m r ∂r r r ∂r r 111111
[(-2-ik ) -(-2+ik )]r 02m r r r r r r i i
k k
r =r 203
mr mr
J 1与r 同向。表示向外传播的球面波。
i (2) J 2=(ψ2∇ψ
2m =
i
*2
-ψ
*2
∇ψ)
1-ik r ∂1ik r 1ik r ∂1-ik r [e (e ) -e (e )]r 02m r ∂r r r ∂r r i 111111
=[(-2+ik ) -(-2-ik )]r 0
2m r r r r r r k k
=-r =-r 203
mr mr
可见,J 2与r 反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。
补充:设ψ(x ) =e ikx ,粒子的位置几率分布如何?这个波函数能否归一化?
⎰dx =∞
∴波函数不能按(x ) dx =1方式归一化。
⎰
ψ*ψdx =
∞
∞
2
∞
⎰
其相对位置几率分布函数为
ω==1表示粒子在空间各处出现的几率相同。
2.3 一粒子在一维势场
⎧∞,x
0≤x ≤a U (x ) =⎨0,
⎪∞,x >a ⎩
2
中运动,求粒子的能级和对应的波函数。
解:U (x ) 与t 无关,是定态问题。其定态S —方程 -
2
d
22
2m dx
ψ(x ) +U (x ) ψ(x ) =E ψ(x )
在各区域的具体形式为 Ⅰ:x a -
2
d d d
22
2m dx
2
2
ψ1(x ) +U (x ) ψ1(x ) =E ψ1(x ) ①
2m dx
2
22
ψ2(x ) =E ψ2(x ) ②
ψ3(x ) +U (x ) ψ3(x ) =E ψ3(x ) ③ 2
2m dx
由于(1)、(3)方程中,由于U (x ) =∞,要等式成立,必须
ψ1(x ) =0
ψ2(x ) =0 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为
令k 2=
2mE
2
d ψ2(x ) dx
2
2
+
2mE
2
ψ2(x ) =0
,得
2
d ψ2(x )
2
dx
其解为 ψ2(x ) =A sin kx +B cos kx ④
+k ψ2(x ) =0
2
根据波函数的标准条件确定系数A ,B ,由连续性条件,得 ψ2(0) =ψ1(0) ⑤ ψ2(a ) =ψ3(a ) ⑥ ⑤ ⇒B =0
⑥ ⇒A sin ka =0
A ≠0∴sin ka =0
⇒ka =n π (n =1, 2, 3, )
n πa
x
∴ψ2(x ) =A sin 由归一化条件
(x ) dx =1
⎰
2
∞
a
得 A
2
⎰
2a
sin
a
2
n πa
xdx =1
由 ⎰b sin
⇒A =
m πa
x *sin
n πa
xdx =
a 2
mn
∴ψ2(x ) =
2a
2
sin
n πa
x
k 2=
2mE
22
⇒
E n =
π 2ma
2
n (n =1, 2, 3, ) 可见E 是量子化的。
2
对应于E n 的归一化的定态波函数为
i -E n t ⎧2n π
sin xe , 0≤x ≤a ⎪
ψn (x , t ) =⎨a a
⎪ 0, x a ⎩
# 2.4. 证明(2.6-14)式中的归一化常数是A '=
1
a
⎧证:ψ=⎪
A 'sin n π(x +a ), x n
⎨
a
0, x ≥a 由归一化,得
1=
⎰
2dx =
⎰
a
22
n π∞n
-a
A 'sin a
(x +a ) dx
=A '
2
⎰
a
1n π-a
2
[1-cos a
(x +a )]dx 2
a
=
A 'A '2
a
n π2
x
-2
⎰
-a
cos a (x +a ) dx
-a
A '2
a
n πa
=A '2
a -2
⋅
n π
sin a
(x +a )
-a
=A '2
a
∴归一化常数A '=
1a
#
2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。 解:ψ(x ) =
α-12
α2x 22⋅2αxe
ω(x ) =2
=4α
⋅
α
⋅x 2
1(x )
2
e
-α2
x
2
1
23
=
2α
2
-α2
x
2
⋅x e
d ω3
1(x ) 2dx
=
2α
[2x -2αx 3]e
-α2x
2
令
d ω1(x ) dx
=0,得
x =0 x =±
1
α
x =±∞
2.6-14)(
x =±∞时,ω1(x ) =0。显然不是最大几率的位 由ω1(x ) 的表达式可知,x =0 ,
置。
而
d ω1(x ) dx
3
2
2
=
2α
3
=
2
2
[(2-6αx ) -2αx (2x -2αx )]e
4
4
-αx
2
2
22223-αx
22
4α
[(1-5αx -2αx )]e
2
d ω1(x ) dx
2
x =±
12
=-2
4α
3
1
e
可见x =±
1
α
=±
μω
是所求几率最大的位置。 #
2.6 在一维势场中运动的粒子,势能对原点对称:U (-x ) =U (x ) ,证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
证:在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为 -
2
d
22
2μdx
2
ψ(x ) +U (x ) ψ(x ) =E ψ(x ) ①
将式中的x 以(-x ) 代换,得 -
d
22
2μdx
2
ψ(-x ) +U (-x ) ψ(-x ) =E ψ(-x ) ②
利用U (-x ) =U (x ) ,得 -
d
22
2μdx
ψ(-x ) +U (x ) ψ(-x ) =E ψ(-x ) ③
比较①、③式可知,ψ(-x ) 和ψ(x ) 都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态,因此ψ(-x ) 和ψ(x ) 之间只能相差一个常数c 。方程①、③可相互进行空间反演 (x -x ) 而得其对方,由①经x →-x 反演,可得③,
⇒ ψ(-x ) =c ψ(x ) ④
由③再经-x →x 反演,可得①,反演步骤与上完全相同,即是完全等价的。 ⇒ ψ(x ) =c ψ(-x ) ⑤ ④乘 ⑤,得
ψ(x ) ψ(-x ) =c 2ψ(x ) ψ(-x )
可见,c 2=1 c =±1
当c =+1时, ψ(-x ) =ψ(x ) ,⇒ψ(x ) 具有偶宇称, 当c =-1时, ψ(-x ) =-ψ(x ) ,⇒ψ(x ) 具有奇宇称,
当势场满足 U (-x ) =U (x ) 时,粒子的定态波函数具有确定的宇称。 #
2.7 一粒子在一维势阱中
⎧⎪U 0>0, x >a
U (x ) =⎨
⎪⎩ 0, x ≤a
运动,求束缚态(0
2
d
2μdx 2
ψ(x ) +U (x ) ψ(x ) =E ψ(x )
按势能U (x ) 的形式分区域的具体形式为 Ⅰ:-
2
d 22μdx 21(x ) +U 0ψ1(x ) =E ψ1(x ) Ⅱ:-
2
d 22μdx 2ψ2(x ) =E ψ2(x )
2
2 Ⅲ:-
d
2μdx
2
ψ3(x ) +U 0ψ3(x ) =E ψ3(x ) 整理后,得 Ⅰ: ψ2μ(U 0-E ) 1''-
2
ψ1=0 ④ Ⅱ:. ψ'2
'+2μ E
2
ψ
2
=0 ⑤
Ⅲ:ψ''-2μ(U 0-E )
3
2
ψ3=0 ⑥
令 k 21=
2μ(U 0-E )
2
k 2
μE 2=
2
2
则
Ⅰ: ψ1''-k 21ψ1=0 ⑦
Ⅱ:. ψ'2
'-k 22ψ2=0 ⑧ Ⅲ:ψ'3
'-k 21ψ1=0 ⑨ 各方程的解为
ψ1=Ae -k 1x
+Be
k 1x
ψ2=C sin k 2x +D cos k 2x
ψ
=Ee
+k 1x
k 1x
3
+Fe
- 由波函数的有限性,有
-∞③
因此
ψ1(-∞) 有限 ⇒A =0ψ3(∞) 有限 ⇒E =0
k 1x -k 1x
ψ1=Be ψ3=Fe
由波函数的连续性,有
ψ1(-a ) =ψ2(-a ), ⇒Be
-k 1a
=-C sin k 2a +D cos k 2a (10) =k 2C cos k 2a +k 2D sin k 2a (11)
-k 1a
'(-a ), ⇒k 1Be ψ1'(-a ) =ψ2
-k 1a
ψ2(a ) =ψ3(a ), ⇒C sin k 2a +D cos k 2a =Fe
(12)
1
'(a ) =ψ3'(a ), ⇒k 2C cos k 2a -k 2D sin k 2a =-k 1Fe -k a (13) ψ2
整理(10)、(11)、(12)、(13)式,并合并成方程组,得
e
-k 1a
B +sin k 2aC -cos k 2aD +0=0 B -k 2cos k 2aC -k 2sin k 2a D +0=0
-k 1a
k 1e
-k 1a
0+sin k 2aC +cos k 2aD -e
F =0
-k 1a
0+k 2cos k 2aC -k 2sin k 2aD +k 1e
F =0
解此方程即可得出B 、C 、D 、F ,进而得出波函数的具体形式,要方程组
有非零解,必须
e
-k 1a -k 1a
sin k 2a -k 2cos k 2a sin k 2a k 2cos k 2a
-k 2cos k 2a sin k 2a k 2cos k 2a
sin k 2a
-k 1a
-cos k 2a -k 2sin k 2a cos k 2a -k 2sin k 2a
-k 2sin k 2a cos k 2a -k 2sin k 2a
-cos k 2a cos k 2a -k 2sin k 2a
2
-k 1a
00e
-k 1a
-k 1a
k 1e
00
-k 1a
=0
k 1Be
0-e k 1e
-k 1a -k 1a
0=e -
0-e k 1e
-k 1a -k 1a
-k 1e sin k 2a k 2cos k 2a
-k 1a 2
2
=
=e
-k 1a
[-k 1k 2e
-k 1a -k 1a
cos k 2a +k 2e k 2a +k 2e
2
-k 1a
sin k 2a cos k 2a +
-k 1a 2
+k 1k 2e -k 1e
sin
sin k 2a cos k 2a ]-
cos k 2a +
2
2
-k 1a
[k 1e
-k 1a
sin k 2a cos k 2a +k 2e
sin
+k 1e =e =e
-2k 1a -2k 1a
-k 1a
sin k 2a cos k 2a -k 2e
2
k 2a ]
[-2k 1k 2cos 2k 2a +k 2sin 2k 2a -k 1sin 2k 2a ][(k 2-k 1) sin 2k 2a -2k 1k 2cos 2k 2a ]
2
2
∵ e -2k a ≠0
∴(k 22-k 12) sin 2k 2a -2k 1k 2cos 2k 2a =0
即 (k 22-k 12) tg 2k 2a -2k 1k 2=0为所求束缚态能级所满足的方程。#
方法二:接(13)式
1
-C sin k 2a +D cos k 2a =
k 2k 1
C cos k 2a +C cos k 2a +
k 2k 1k 2k 1
D sin k 2a D sin k 2a
C sin k 2a +D cos k 2a =-
k 2k 1k 2k 1-(-(
cos k 2a +sin k 2a cos k 2a +sin k 2a k 2k 1k 2k 1k 2k 1
221
k 2k 1k 2
k 1
=0
k 2-(sin k 2a -cos k 2a ) k 1
k 2k 1k 2k 1k 2k 1
sin k 2a -cos k 2a ) sin k 2a -cos k 2a ) =0sin k 2a -cos k 2a ) =0
2
sin k 2a -cos k 2a
cos k 2a +sin k 2a )(cos k 2a +sin k 2a )(
(
cos k 2a +sin k 2a )(
k 2k 1
k 2k
sin k 2a cos k 2a +
k 2k
22
sin k 2a -
k 2k 1
cos
2
k 2a -sin k 2a cos k 2a =0
(-1+
2
21
) sin 2k 2a -
2k 2k 1
cos 2k 2a =0
(k 2-k 1) sin 2k 2a - 2k 1k 2cos 2k 2a =0
#
另一解法:
(11)-(13)⇒2k 2D sin k 2a =k 1e -k a (B +F )
1
(10)+(12)⇒2D cos k 2a =e -k a (B +F )
1
(11) -(13) (10) +(12)
⇒k 2tgk 2a =k 1 (a )
1
(11)+(13)⇒2k 2C cos k 2a =-k 1(F -B ) e -ik a (12)-(10)⇒2C sin k 2a =(F -B ) e -ik a ( 11 ) + ( 13 )
(b ) ⇒ k 2 ctgk 2a = - k 1
( 12 ) - ( 10 )
1
令 ξ=k 2a ,η=k 2a , 则
ξ tg ξ=η (c ) 或
ξ ctg ξ=-η (d )
+η
2
ξ
2
=(k +k ) =
2122
2μU 0a
2
2
(f )
合并(a ) 、(b ) :
tg 2k 2a =
2k 1k 2k 2-k 1
2
2
利用tg 2k 2a =
2tgk 2a 1-tg k 2a
2
#
2-7一粒子在一维势阱
⎧U 0>0, x >a
U (x ) =⎨
⎩0, x ≤a
中运动,求束缚态(0
2
2μ
2
''+U 0ψ1=E ψ1 (χ≤0) ψ1
''=E ψ2 (0<χ<2a ) ψ2
''+U 0ψψ3
=E ψ3 (χ≥2a )
2μ
2
2μ
3
2μ(U 0-E ) ⎧
''ψ-ψ1=0⎪12
⎪
2μE ⎪
''+ ⇒⎨ψ2 ψ2=02
⎪
⎪2μ(U 0-E )
''ψ-ψ3=0⎪32
⎩
222
⎧ψ1''-k 1ψ1=0 (1) k 1=2μ(U 0-E ) ⎪22
''+k 2ψ=0 (2) k =2μE 束缚态0<E <U 0 ⎨ψ2222⎪2
''-k 1ψψ3=0 (3)3⎩
ψψψ
123
=Ae
+k 1x
+Be
-k 1x
=C sin k 2x +D cos k 2x =Ee
+k 1x
+Fe
-k 1x
因此
ψ1(-∞) 有限 ⇒B =0ψ3(∞) 有限 ⇒E =0
k 1x -k 1x
∴ψ1=Ae ψ
3
=Fe
由波函数的连续性,有
ψ1(0) =ψ2(0), ⇒A =D (4)
'(0), ⇒k 1A =k 2C (5) ψ1'(0) =ψ2
'(2a ) =ψ3'(2a ), ⇒k 2C cos 2k 2a -k 2D sin 2k 2a =-k 1Fe -2k a (6) ψ2
1
ψ2(2a ) =ψ3(2a ), ⇒C sin 2k 2a +D cos 2k 2a =Fe
-2k 1a
(7)
(7)代入(6)
C sin 2k 2a +D cos 2k 2a =- 利用(4)、(5),得
k 1k 2A [(
A sin 2k 2a +A cos 2k 2a =-A cos 2k 2a +k 1k 2k 1k 2
-k 2k 1k 2k 1
) sin 2k 2a +2cos 2k 2a ]=0
k 2k 1
D sin 2k 2a
k 2k 1
C cos 2k 2a +
k 2k 1
D sin 2k 2a
A ≠0
∴(
-
) sin 2k 2a +2cos 2k 2a =0
两边乘上(-k 1k 2) 即得
(k 2-k 1) sin 2k 2a -2k 1k 2cos 2k 2a =0
2
2
#
2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为
⎧∞, x
⎪U 0, 0≤x
U (x ) =⎨
-U , a ≤x ≤b ,1⎪
⎪0, b
求束缚态的能级所满足的方程。
解:势能曲线如图示,分成四个区域求解。 定态S-方程为
2
-
d
22μdx
2
ψ(x ) +U (x ) ψ(x ) =E ψ(x )
对各区域的具体形式为 Ⅰ:-
2
2μψ1''+U (x ) ψ1=E ψ1 (x
2μ
ψ'2
'+U 0ψ2=E ψ2 (0≤x
Ⅲ:-
2μψ'3
'-U 1ψ3=E ψ3 (a ≤x ≤b ) Ⅳ:-
2
2μ
ψ'4
'+0=E ψ4 (b
ψ1(x ) =0
而 . ψ'2μ (U 0-E )
2'-0
2
ψ2= ① ψ'2μ (U 1+E )
3
'+
2
ψ3=0 ②
ψ''+2μE 4
2
ψ
4
=0 ③
对于束缚态来说,有-U
∴ ψ''-2μ (U 0-E )
2
k 21ψ2=0 k 21=
2
④ ψ''+k 222μ (U 1+E )
3
3ψ3=0 k 3=
2 ⑤ ψ'4
'+k 24ψ4=0 k 24=-2μE / 2
⑥ 各方程的解分别为
ψ
1x
2
=Ae
k +Be
-k 1x
ψ3=C sin k 2x +D cos k 2x
ψ
x
4
=Ee
+k 3+Fe
-k 3x
由波函数的有限性,得
ψ4(∞) 有限,
⇒E =0 ∴ ψ-k 3
x 4=Fe
由波函数及其一阶导数的连续,得 ψ1(0) =ψ2(0) ⇒B =-A
∴ ψ3
2=A (e k x -e -k 3
x )
ψ3
3
2(a ) =ψ3(a ) ⇒A (e k x -e -k x ) =C sin k 2a +D cos k 2a ⑦
'(a ) =ψ3'(a ) ⇒Ak 1(e k a +e -k a ) =Ck 2cos k 2a -Dk 2sin k 2a ⑧ ψ3
3
3
ψ3(b ) =ψ4(b ) ⇒C sin k 2b +D cos k 2b =Fe -k b ⑨
3
'(b ) =ψ4'(b ) ⇒Ck 2sin k 2b -Dk 2cos k 2b =-Fk 3e -k b ⑩ ψ3
3
由⑦、⑧,得
k 1e k 2e
k 1a k 1a
+e -e
-k 1a -k 1a
=
C cos k 2a -D cos k 2a C sin k 2a +D cos k 2a
(11)
由 ⑨、⑩得(k 2cos k 2b ) C -(k 2sin k 2b ) D =(-k 3sin k 2b ) C -(k 3cos k 2b ) D (
k 2k 3
e e
cos k 2b +sin k 2b ) C =(-
k 1a k 1a
k 2k 3
cos k 2b +sin k 2b ) D =0 (12)
令β=
+e -e
-k 1a -k 1a
⋅
k 1k 2
,则①式变为
(βsin k 2a -cos k 2a ) C +(βcos k 2a +sin k 2a ) D =0 联立(12)、(13)得,要此方程组有非零解,必须 k 3
(k 2
cos k 2b +sin k 2b )
(-k 2
k 3
(βcos k 2a +sin k 2a ) k 2k 3
sin k 2b +cos k 2b )
=0
(βsin k 2a -cos k 2a )
即 (βcos k 2a +sin k 2a )( ⋅(- β
k 2k 3
k 2k 3
cos k 2b +sin k 2b ) -(βsin k 2a -cos k 2a ) ⋅
sin k 2b +cos k 2b ) =0
k 2k 3k 2k 3k 2k 3k 2k 3
k 1a k 1a
cos k 2b cos k 2a +sin k 2b sin k 2a +βsin k 2b cos k 2a +sin k 2b sin k 2a -
k 2k 3
sin k 2b cos k 2a ) -
+sin k 2b sin k 2a +β
-βcos k 2b sin k 2a +cos k 2b cos k 2a =0 sin k 2(b -a )(β- tgk 2(b -a ) =(1+
) +cos k 2(b -a )((β
k 2k 3
+1) =0
β) (
k 2k 3
-β)
把β代入即得 tgk 2(b -a ) =(1+
k 2e k 3e
+e -e
-k 1a -k 1a
) (
k 2k 3
-
k 1e k 2e
k 1a k 1a
+e -e
-k 1a -k 1a
)
此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。 #
附:从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。见附页。
(e (e
k 1a
-e
-k 1a
)
-sin k 2a -k 2cos k 2a sin k 2b k 2cos k 2b -k 2cos k 2a
-cos k 2a k 2sin k 2a cos k 2b -k 2sin k 2b k 2sin k 2a cos k 2b -k 2sin k 2b
00-e k 3e 0-e k 3e
-k 3a -k 3a -k 3a -k 3a
k 1a
+e 00
-k 1a
) k 2
=0
0=(e
k 1a
-e
-k 1a
)
sin k 2b k 2cos k 2b
-
-sin k 2a
-k 1(e
k 1a
-cos k 2a cos k 2b -k 2sin k 2b
0-e k 3e
3
+e
-k 1a
) =
sin k 2b k 2cos k 2b
-k 3a -k 3a
-k a 2-k a
) -k 2k 3e cos k 2a cos k 2b -k 2e sin k 2a =(e k a -e -k a (
1
1
3
cos k 2b -k 2k 3e -k 1(e
k 1a
-k 1a k 1a
k 1b
-k 3a
sin k 2a sin k 2b -k 2e
-k 3b
2
-k 3a
cos k 2a sin k 2b )
-k 3b
+e
-k 1b
() k 2k 3e sin k 2a cos k 2b -k 2e
-k 3b
cos k 2a
cos k 2b +k 3e
-k 3b
cos k 2a sin k 2b +k 2e
2
sin k 2a sin k 2b ))
-k 3b
-k 3b
3b
=(e -e
)[-k 2k 3cos k 2(b -a ) +k 2sin k 2(b -a )]e
-k 1a
-(e
1
-e
)[k 1k 3sin k 2(b -a ) +k 1k 2cos k 2(b -a )]e
=e k a [-(k 1+k 3) k 2cos k 2(b -a ) +(k 22-k 1k 3) sin k 2(b -a )]e -k
e =0
⇒ [-(k 1+k 3) k 2+(k 2-k 1k 3) tgk 2(b -a )]e
22
-k 3b
-k 3b
-k 1a
[(k 1-k 3) k 2cos k 2(b -a ) +(k 2+k 1k 3) sin k 2(b -a )]e
2
-k 3b
-[(k 1-k 3) k 2+(k 2+k 1k 3) tgk 2(b -a )]e [(k
2
2
=0
2k 1a
-k 1k 3) e
2k 1a
-(k
22
+k 1k 3)]tgk 2(b -a ) -(k 1+k 3) k 2e
-(k 1-k 3) k 2=0
此即为所求方程。 #
补充1:设 ψ(x ) =Ae (α为常数) ,求A = ? 解:由归一化条件,有 1=A 2⎰e -α
-∞∞
2
122-αx 2
x
2
d ( x ) =A
2
2
1
α
1
⎰
∞
-∞
e
-αx
22
d (α x )
=A
2
1
α
⎰
∞
-∞
e
-y
dy =A
2
α
π
∴A =
α #
补充2:求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率。 解:基态能量为E 0=
12
12 ω
设基态的经典界限的位置为a ,则有 E 0= ∴a =
μωa
=
2
2
=
12
ω
1
μωα
=a 0
在界限外发现振子的几率为
α ω =
==2α
⎰ e
-∞
- a 0
2 2 - α x
α
dx +
⎰ e
a 0
∞
-α 2 x 2
0 = dx (ψ
- α 2 x 2
)
π2
⎰⎰⎰
∞
a 0∞
e e e
-αx
22
dx (偶函数性质d (α x )
)
-(αx )
2
π2
a 0∞
=
=
-y
2
π2
1
dy
2
π2
[⎰
∞
-∞
e
-y
dy -2π2
⎰
1
-∞
e
-y
2
dy ]
2
-t /2
2
=
[-
12π
⎰
-∞
e dt ] (令y =
12π
x
12
t )
式中 当x = ∴ω=
12π
2
⎰
e
-t /2
2
dt 为正态分布函数ψ(x ) =
-∞
⎰
e
-t /2
2
dt
-∞
2时的值ψ(2) 。查表得ψ(2) = 0. 92
∂
[-
⨯0. 92] =2(1-0. 92) =0. 16
∴在经典极限外发现振子的几率为0.16。 #
补充3:试证明ψ(x ) =
α3π
e
122-αx 2
(2αx -3αx ) 是线性谐振子的波函数,并
3
3
求此波函数对应的能量。
证:线性谐振子的S-方程为 -
2
d
2
2μdx
ψ(x ) +
12
μωx ψ(x ) =E ψ(x ) ①
22
把ψ(x ) 代入上式,有
d dx
ψ(x ) =α3d dx
2
[
α33
e
122-x 2
(2αx -3αx )]
122-x 2
33
=
=
d ψ(x ) dx
22
[-αx (2αx -3αx ) +(6αx -3α)]e
122-x 2
332
α3e (-2αx +9αx -3α)
5432
122-x ⎤d ⎡α54322
=e (-2αx +9αx -3α) ⎥⎢
dx ⎣3⎦
=
122122
-x -x ⎡⎤2543253322
(-2αx +9αx -3α) +e (-8αx +18αx ) ⎥ ⎢-αxe
3⎣⎦
α
=(αx -7α)
4
2
2
422
α3e
122
-x 2
(2αx -3αx )
33
=(αx -7α) ψ(x )
把
d dx
22
ψ(x ) 代入①式左边,得
2
左边=-
d ψ(x ) dx
2
2
2
2μ
2
+
12
2
μωx ψ(x ) αx ψ(x ) +
24
2
22
=7α
2μ
ψ(x ) -
2
12
2
2μ
μωx ψ(x )
12
22
=7⋅
= =
7272
μω
⋅
2μ
ψ(x ) -12
2
2μ
2
μω
x ψ(x ) +12
2
2
4
μωx ψ(x )
22
ωψ(x ) - ωψ(x )
μωx ψ(x ) +μωx ψ(x )
右边=E ψ(x )
当E =
72
ω
时,左边 = 右边。 n = 3
α
d e
122-x 2
ψ(x ) =
7
3dx
(2αx -3αx ) ,是线性谐振子的波函数,其对应的
3
3
能量为 ω。
2
周世勋 第二章 小结
1.波函数的统计解释
微观体系的状态由波函数所完全描写。归一化的波函数模的平方
(x , y , z , t ) ,给出了t 时刻在(x , y , z ) 点附近找到粒子的几率密度。
2
波函数的标准条件:单值、连续、有限。
波函数的归一化是在全空间必然找到粒子的体现。
2.态叠加原理
如果ψ1、ψ2、 、ψi 、 是微观粒子的可能状态,那么它们的线性叠加
ψ=
∑c ψ
i
i
也是微观粒子的可能状态。
3.薛定谔方程
微观粒子状态的变化遵从薛定谔方程 i
∂
∂t 2μ
当U (r , t ) 与t 无关时,U (r , t ) →U (r ) 这时粒子的状态变化遵从定态薛定
ψ=[-
2
∇
2
+U (r , t )]ψ(r , t )
谔方程,这时的波函数称为定态波函数,它具有如下的形式:
-Et
ψ(r , t ) =ψ(r ) e
其中波函数的空间部分ψ(r ) 满足下面的定态薛定谔方程。
i
[-
2
2μ
∇
2
+U (r )]ψ(r ) =E ψ(r )
上面这个方程即是能量的本征值方程。
4.几率流密度和几率守恒定律
i
(ψ∇ψ*-ψ*∇ψ) 与几率密度ω=ψ*ψ满足下列连续性 几率流密度J =2m ∂ω
+∇⋅J =0 ∂t
5.定态薛定谔方程的应用实例
①一维无限深势阱
⎧ (x ≥a ) ⎪∞,
U (x ) =⎨
0, (x
能量本征值E n =
π n
8μa
2
222
(n =1, 2, )
能量本征函数ψn
⎧1n π
sin (x+a) (x
=⎨a 2a
⎪ 0 (x ≥a ) ⎩
②一维线性谐振子 U (x ) =
12
22
μωx
能量本征值 E n =(n + 能量本征函数 ψn =N n e ③势垒贯穿
12
) ω (n =0, 1, 2, ) H n (α x ) (N n =
122
-αx 2
α2n ! n
(0≤x ≤a ) ⎧U 0,
方形势垒 U (x ) =⎨
0, (x a ) ⎩
能量本征值 任意正值
当能量很小,势垒宽度a 不太小,即满足k 3a >>1时,贯穿系数为 D =D 0e
-2
2μ(U 0-E ) a
k 3=
2μ(U 0-E )
2
对于任意势垒U (x ) ,贯穿系数为 D =D 0e
- ⎰a 2
b
2μU (x ) -E ) dx
(U (a ) =U (b ) =E )