三角函数解题技巧和公式(已整理)

浅论关于三角函数的几种解题技巧

本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下： 一、关于sin α±cos α与sin αcos α(或sin 2α) 的关系的推广应用：

2

1、由于(s αi ±c n o α) 2s =s i 2αn +c o αs ±2s i αc n o α=s 1±2s i αc n o αs 故知道

，必可推出sin αcos α(或sin 2α) ，例如： (s αi ±n c o α) s

例1 已知sin θ-cos θ=

3

, 求sin 3θ-cos 3θ。 3

分析：由于sin 3θ-cos 3θ=(sinθ-cos θ)(sin2θ+sin θcos θ+cos 2θ)

=(sinθ-cos θ)[(sinθ-cos θ) 2+3sin θcos θ]

其中，sin θ-cos θ已知，只要求出sin θcos θ即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。

解：∵(sinθ-cos θ) 2=1-2sin θcos θ 故：1-2sin θcos θ=(

211) =⇒sin θcos θ= 333

sin 3θ-cos 3θ=(sinθ-cos θ)[(sinθ-cos θ) 2+3sin θcos θ] =

31314[() 2+3⨯]=⨯= 333339

2、关于tg θ+ctgθ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用：

sin θcos θsin 2θ+cos 2θ1

由于tg θ+ctgθ= +==

cos θsin θsin θcos θsin θcos θ

故：tg θ+ctgθ，sin θ±cos θ，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。

例2 若sin θ+cosθ=m2，且tg θ+ctgθ=n，则m 2 n的关系为（ ）。

A ．m 2=n B．m 2=

222

+1 C．m 2= D．n =2 n n m

分析：观察sin θ+cosθ与sin θcos θ的关系：

(sinθ+cos θ) 2-1m 2-1

= sinθcos θ=

22

而：tg θ+ctg θ=

1

=n

sin θcos θ

m 2-112故：=⇒m 2=+1，选B 。

2n n

例3 已知：tg α+ctgα=4，则sin2α的值为（ ）。

1111

A． B．- C． D．-

2424

11

=4⇒sin αcos α= 分析：tg α+ctgα=

sin αcos α4

1

故：sin 2α=2sin αcos α⇒sin 2α=。 答案选A 。

2

例4 已知：tg α+ctgα=2，求sin 4α+cos 4α

分析：由上面例子已知，只要sin 4α+cos 4α能化出含sin α±cos α或sin αcos α的式子，则即可根据已知tg α+ctgα进行计算。由于tg α+ctgα=

sin αcos α=

1

=2⇒

sin αcos α

1

，此题只要将sin 4α+cos 4α化成含sin αcos α的式子即可： 2

解：sin 4α+cos 4α=sin 4α+cos 4α+2 sin2αcos 2α-2 sin2αcos 2α

=（sin 2α+cos2α）- 2 sin2αcos 2α =1-2 (sinαcos α) 2

1

=1-2⨯() 2

21

=1-

21

=

2

通过以上例子，可以得出以下结论：由于sin α±cos α，sin αcos α及tg α+ctgα三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的；如果通过已知sin αcos α，求含sin α±cos α的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于（sin α±cos α）2=1±2sin αcos α，要进行开方运算才能求出sin α±cos α

二、关于“托底”方法的应用：

在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg α（或ctg α）与含sin α（或cos α）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下：

sin α-3cos α

例5 已知：tg α=3，求的值。

2sin α+cos α

sin α

分析：由于tg α=，带有分母cos α，因此，可把原式分子、分母各项除以cos α，

cos α

“造出”tg α，即托出底：cos α；

解：由于tg α=3⇒α≠k π+

π

2

⇒cos α≠0

sin αcos α

-3⋅

=tg α-3=3-3=0 故，原式=sin αcos α2tg α+12⨯3+12⋅+

cos αcos α

例6 已知：ctg α= -3，求sin αcos α-cos 2α=?

cos αcos α

分析：由于ctg α=，故必将式子化成含有的形式，而此题与例4有所不同，

sin αsin α式子本身没有分母，为了使原式先出现分母，利用公式：sin 2α+cos 2α=1及托底法托出其分母，然后再分子、分母分别除以sin α，造出ctg α：

sin αcos α-cos 2α

解：sin α+cos α=1⇒sin αcos α-cos α= 22

sin α+cos α

2

2

2

cos αcos α2

-()

ctg α-ctg 2α2分子, 分母同除以sin α =2cos 21+ctg α1+()

sin α

-3+(-3) 26

= =-2

51+(-3)

例7 （95年全国成人高考理、工科数学试卷）

ππππ

设0

2236求：(ctgx -

)(ctgy -3) 的值 3

分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由

ππ

于0

22

为底，得：

解：由已知等式两边同除以sin x sin y 得：

sin(-x ) sin(-y ) sin cos -cos sin x sin cos y -cos sin y

=1⇒⋅=1

sin x sin y sin x sin y

ππππππ

13cos x -sin x cos y -3sin y ⋅⋅=14sin x sin y 1

⇒(3ctgx -1)(ctgy -3) =1

4

3⇒(ctgx -)(ctgy -) =1

43

4

⇒(ctgx -)(ctgy -) =33

“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。

sin αcos α

由于tg α=，ctg α=，即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互

cos αsin α

化需“托底”，通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，

⇒

达到根据已知求值的目的。而添加分母的方法主要有两种：一种利用sin 2α+cos 2α=1，把

sin 2α+cos 2α作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。

三、关于形如：a cos x ±b sin x 的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用：

可以从公式sin A cos x ±cos A sin x =sin(A ±x ) 中得到启示：式子a cos x ±b sin x 与上述公式有点相似，如果把a ，b 部分变成含sinA ，cosA 的式子，则形如a cos x ±b sin x 的式子都可以变成含sin(A ±x ) 的式子，由于-1≤sin(A ±x ) ≤1，

所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点：不能直接把a 当成sinA ，b 当成cosA ，如式子：3cos x +4sin x 中，不能设sinA=3，cosA=4，考虑：-1≤sinA ≤1，-1≤cosA ≤1，可以如下处理式子：

⎛⎫a b

⎪ a cos x ±b sin x =a 2+b 2 cos x ±sin x 2⎪222

a +b ⎝a +b ⎭

由于(

a a 2+b 2

) 2+(

b a 2+b 2

a a +b

2

) 2=1。

b a +b

2

2

故可设：sin A =

2

，则cos A =±-sin A ，即：cos A =±

∴a cos x ±b sin x =a 2+b 2(sinA cos x ±cos A sin x ) =a 2+b 2sin(A ±x ) 无论A ±x 取何值，-1≤sin(A±x) ≤1，

-a 2+b 2≤a 2+b 2sin(A ±x ) ≤a 2+b 2 即：-a 2+b 2≤a cos x ±b sin x ≤a 2+b 2 下面观察此式在解决实际极值问题时的应用：

例1（98年全国成人高考数学考试卷）

求：函数y =cos 2x -sin x cos x 的最大值为（A ） A．1+

3 B．-1 C．1- D．+1 22

112

⋅2si n x cos x =si n 2x ，再想办法把c o s x 变成含cs o 2x 的式子：22

cos 2x +1

cos 2x =2cos 2x -1⇒cos 2x =

2

cos 2x +11

-sin 2x 于是：y =3⋅

22

分析：si n x cos =

=

331cos 2x +-sin 2x 22231 cos 2x -sin 2x ) +

222

=(

由于这里：a =

3131

, b =, a 2+b 2=() 2+() 2=1 2222

∴y =1⨯(

313

cos 2x -sin 2x ) +

222

设：sin A =

3

a 31

==, 则cos A = 122a 2+b 2

3

2

∴y =sin A cos 2x -cos A sin 2x +

3 2

=sin(A -2x ) +

无论A-2x 取何值，都有-1≤sin(A-2x)≤1，故-1+

3

，即答案选A 。 2

33≤y ≤1+ 22

∴y 的最大值为1+

例2 （96年全国成人高考理工科数学试卷）

在△ABC 中，已知：AB=2，BC=1，CA=3，分别在边AB 、BC 、CA 上任取点D 、E 、F ，使△DEF 为正三角形，记∠FEC=∠α，问：sin α取何值时，△EFD 的边长最短？并求此最短边长。

分析：首先，由于BC 2+CA 2=12+() 2=4=AB 2，可知△ABC 为Rt △，其中AB 为斜

BC 1

=, 故A =30︒，则∠B= AB 2

90°—∠A=60°，由于本题要计算△DEF 的最短边长，故必要设正△DEF 的边长为l ，且要列出有关l 为未知数的方程，对l 进行求解。观察△BDE ，已知：∠B=60°，DE=l ，再想办法找出另两个量，即可根据正弦定理列出等式，从而产生关于l 的方程。在图中，由于EC=l ²cos 边，所对角∠C 为直角，又由于sin A =

α，则BE=BC-EC=1-l ²cos α。

而∠B+∠BDE+∠1=180° ∠α+∠DEF+∠1=180°⇒∠BDE=∠α ∠B=60°，∠DEF=60∴在△BDE 中，根据正弦定理：

BF DE 1-sin ∠BDE =sin ∠B ⇒l ⋅cos αsin α=l

sin 60︒

⇒

32(1-l ⋅cos α) =l ⋅sin α⇒32-2

l ⋅cos α=l ⋅sin α 3

⇒l =3

2

cos α+sin α在这里，要使l 有最小值，必须分母：

2

cos α+sin α有最大值，2cos α+sin α, a =2, b =1⇒a 2+b 2=(7

2) 2+12=

2 ∴

2cos α+sin α=2(217cos α+27

7

sin α) 设：sin A =

2127，则cos A =7

7

故：

32cos α+sin α=72

(sinA cos α+cos A sin α) =

7

2

sin(A +α) ∴

32cos α+sin α的最大值为72

。 观察：

21

即：l 的最小值为：=

772

而sin(A +α) 取最大值为1时，A +α=2k π+∴sin α=sin(2k π+

π

2

⇒α=2k π+

π

2

-A

π

2

-A ) =cos A =

27

7

即：sin α=

221

时，△DEF 的边长最短，最短边长为。 77

从以上例子可知，形如a cos x ±b sin x 适合于计算三角形函数的极值问题。计算极值时与式子的加、减是无关，与a 2+b 2的最值有关；其中最大值为a 2+b 2，最小值为-a 2+b 2。在计算三角函数的极值应用题时，只要找出形如a cos x ±b sin x 的关系式，即能根据题意，求

出相关的极值。

三角函数知识点解题方法总结

一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式 一步到位转换到区间（-90º，90º）的公式.

1.sin(kπ+α)=(-1)k sin α(k∈Z)；2. cos(kπ+α)=(-1)k cos α(k∈Z)； 3. tan(kπ+α)=(-1)k tan α(k∈Z)；4. cot(kπ+α)=(-1)k cot α(k∈Z). 二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”

1.sin α+cosα>0(或0(或|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内; 4.|sinα|

三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意“符号看象限”。 四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。

五、“见齐思弦”=>“化弦为一”：已知tan α, 求sin α与cos α的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin 2α+cos2α.

六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：

1.sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin 2β;2. cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin 2β. 七、见“sinα±cosα与sin αcos α”问题，起用平方法则： (sinα±cosα) 2=1±2sinαcos α=1±sin2α, 故

1. 若sin α+cosα=t,(且t 2≤2),则2sin αcos α=t2-1=sin2α; 2. 若sin α-cos α=t,(且t 2≤2),则2sin αcos α=1-t2=sin2α. 八、见“tanα+tanβ与tan αtan β”问题，启用变形公式:

tan α+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtan β). 思考：tan α-tan β=？？？ 九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)

1. 函数y=Asin(wx+φ) 和函数y=Acos(wx+φ) 的图象，关于过最值点且平行于y 轴的直线分别成轴对称；

2. 函数y=Asin(wx+φ) 和函数y=Acos(wx+φ) 的图象，关于其中间零点分别成中心对称； 3. 同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ) 和函数y=Acot(wx+φ) 的对称性质。 十、见“求最值、值域”问题，启用有界性，或者辅助角公式： 1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2); 3.asinx+bcosx=c有解的充要条件是a 2+b2≥c2. 十一、见“高次”，用降幂，见“复角”，用转化. 1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.

2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等

角函数公式 两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式

tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]

cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 sin2A=2sinA*cosA 半角公式

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos ^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2

cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 积化和差公式

sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] 万能公式

sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2)) 倒数关系: 商的关系： 平方关系： tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1

cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α