初中数学竞赛题 勾股定理

初中

勾股定理

甲内容提要

1. 222 勾股定理及逆定理：△ABC中 ∠C＝Rt∠⇔a＋b=c

2. 勾股定理及逆定理的应用

① 作已知线段a的2，3， 5……倍

② 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题

③ 证明线段的平方关系等。

3. 勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c满足等式a2＋b2=c2，那么这三个正整数a,b,c

叫做一组勾股数.

4. 勾股数的推算公式

① 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）

任取两个正整数m和n(m>n),那么m2-n2，2mn, m2+n2是一组勾股数。

② 如果k是大于1的奇数，那么k, k2-1k+1,是一组勾股数。 22

222⎛K⎫⎛K⎫③ 如果k是大于2的偶数，那么k, ⎪-1, ⎪+1是一组勾股数。

⎝2⎭⎝2⎭

④ 如果a,b,c是勾股数，那么na, nb, nc (n是正整数)也是勾股数。

5. 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5；

5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。

乙例题

例1.已知线段a a 5a2a 3a 5a 求作线段5a

222分析一：5a＝5a＝4a+a 2a

∴5a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。

2分析二：5a＝9a-4a 2

∴5a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。

作图（略）

例2.四边形ABCD中∠DAB＝60 ，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2

求对角线AC的长

解：延长BC和AD相交于E，则∠E＝30

∴CE＝2CD＝

4，

在Rt△ABE中

设AB为x,则AE＝2x

根据勾股定理x+5=(2x), x=222225

3 25

323在Rt△ABC中，AC＝x+1＝22+1＝21

例3.已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A

求证：AB2－BC2＝AB×BC 证明：作∠B的平分线交AC于D， 则∠A＝∠ABD， ∠BDC＝2∠A＝∠C

∴AD＝BD＝BC

作BM⊥AC于M，则CM＝DM AB2－BC2＝（BM2＋AM2）－（BM2＋CM2）

＝AM2－CM2＝（AM＋CM）（AM－CM）

＝AC×AD＝AB×BC

例4.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD

求证：AB＝AC

证明：设AB，AC，BD，CD分别为b,c,m,n

则c+n=b+m, c-b=m-n

∵AD⊥BC，根据勾股定理，得

AD＝c-m=b-n

∴c2-b2=m2-n2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n) 22222 (c+b)(c-b) =(m+n)((c-b)

(c+b)(c-b) －(m+n)(c-b)＝0

(c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0

∵c+b>m+n, ∴c-b=0 即c=b

∴AB＝AC

例5.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC

求证：AC＞BD

证明：作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、F

ACDE和BCDF都是平行四边形

∴DE＝AC，DF＝BC，AE＝CD＝BF

作DH⊥AB于H，根据勾股定理 AH＝AD2-DH2，FH＝

∵AD＞

BC，AD＞DF

∴AH＞FH，EH＞BH HDE＝DH2+EH2，BD＝DH+BH2

∴DE＞BD

即AC＞BD

例6.已知：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE＝a，AF＝b,

且SEFGH＝2

3

求：b-a的值

（2001年希望杯数学邀请赛，初二）

解：根据勾股定理 a+b=EF＝SEFGH＝2222

3 ;①

1

3G∵4S△AEF＝SABCD－SEFGH ∴ 2ab=

1

3 ② 33① －②得 （a-b）=2 ∴b-a＝

丙练习31

1. 以下列数字为一边，写出一组勾股数：

① 7，＿＿，＿＿ ②8，＿＿，＿＿ ③9，＿＿，＿＿

④10，＿＿，＿＿ ⑤11，＿＿，＿＿ ⑥12，＿＿，＿＿

2. 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：

① 252－242＝＿＿， ②52＋122＝＿＿，

③8+15＝＿＿＿，④25-152222＝＿＿＿

3. △ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM和CH分别是中线和高。那么S△ABC

＝＿＿，CH＝＿＿，MH＝＿＿＿

4. 梯形两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，则S梯形＝＿＿＿

5.已知：△ABC中，AD是高，BE⊥AB，BE＝CD，CF⊥AC，CF＝BD

求证：AE＝AF

6.已知：M是△ABC内的一点，MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB，

且BD＝BF，CD＝CE

求证：AE＝AF

B E D

227.在△ABC中，∠C是钝角，a-b=bc 求证∠A＝2∠B

8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。（用反证法）

9.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长

10等腰直角三角形ABC斜边上一点P，求证：AP2＋BP2＝2CP2

11.已知△ABC中，∠A＝Rt∠，M是BC的中点，E，F分别在AB，AC

ME⊥MF

求证：EF2＝BE2＋CF2

12.Rt△ABC中，∠ABC＝90 ，∠C＝600，BC＝2，D是AC的中点，从D作DE⊥AC与CB的延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，则DF的长是＿＿＿＿。（2002年希望杯数学邀请赛，初二试题）

B13.△ABC中，AB＝AC＝2，BC边上有100个不同的点p1，p2，p3，…p100,

记mi=APi2+BPi×PiC (I=1,2……，100)，则m1+m2+…＋m100=____ C (1990年全国初中数学联赛题)