第二章_ 条件期望及现代观点下计量经济的

Chapter2 现代观点下计量经济的

基本理念和理论基础

§1 问题的提出

从数据谈起

模型、数据哪个是第一位的？传统观点是模型第一位，现代观点认为数据是第一位的。我们不应当假设数据满足模型的条件，而应当要求模型适应数据的特点，这是现代观点下计量经济的出发点。

a.如果手头有一些数据，x1…xn，它能告诉你什么？什么也没有！因为我们不

知道数据来源背景，从而不知道数据所表达的含义。

b.如果该数据是某人历次考试成绩的记录，它能告诉你什么？可以认为，X 是某人的学习能力，称为总体（population），x1…xn是学习能力的观测或反映，它是取自总体X中的样本，可建立简单模型：X=a+ε，a是真值，是客观存在1的能力，但不可观测。于是用=∑xi就反映了该学生的学习能力水平，N

1ˆvar(X)=(xi-2就反映了该生学习能力的稳定性。等等。 ∑N-1

c.但是，如果该数据是某企业的股票价格，那么就没有理由认为x1…xn是相ˆX)就有可能不再有一互独立的，而是一个与时间有关联的序列，那么和var(

个稳定的极限。例如随机游走，xt=xt-1+εt=x0+∑εi，εt N(0,σ2)∀t。则

i=1t

ˆt)=tσ2→∞,t→∞。从而xt显得不可预测，这样的数据以前认为是没有用var(

的，但在现在的随机过程理论和计算机技术下，我们仍能从{Xt}中捕捉到“股票价值”X的某些信息。

这里，我们看到，经济中数据的来源是非常复杂的，有的可以看成是服从某一分布的随机变量的取值，有的则是某一特定的随机过程的实现，甚至是不平稳过程的实现。

d、进一步对于有相互关联的多组数据，x11…x1N, ,xk1…xkN,y1…yN，同样我们首先要知道数据的来源，知道有关X1 XK和Y的知识，这一点与传统观点是一致的。但传统观点的局限是，解释变量X1…Xk是确定性的，与误差项ε无关。而这种要求的数据一般只在实验室中才能做到，大量经济数据一般事前无法

安排，并且解释变量之间也存在关联性，解释变量与误差项之间也有关联性，另外，数据是不可重复的。为此，现实经济要求我们对数据的限制要放宽。我们做如下的陈述：

假设：（1）我们关注的对象称为总体（Population）Y是一个随机变量；

（2）认为影响总体Y的原因是一个K维随机变量，X'=(X1…XK)'；

（3）(Y,X)的联合分布存在，且存在期望和方差；

（4）可以从(Y,X)随机抽取观测样本（random sampling），或抽取受各种限制的观测样本。

提出的问题是，如果能从(Y,X)获取观测样本（信息），如何调整对(Y,X)的认识？即如何用X来表达Y？

注：（1）(Y,X)的联合分布、期望、方差存在，并不意味着已知。

（2）Y与X的因果关系中，X的分量Xi对Y的影响既有轻重之分，又有可观测和不可观测之分，甚至有半不可观测的情况。即Y与X的因果关系可以按理论要求更加随意的设定。

例如，我们关注的是工资与教育的关系，但是影响工资的因素除了教育之外，根据劳动经济学的知识，还有工作经验和能力。其中，工作经验可用工作年限表示，又由于工作经验有正外部性，故可设计工作经验的平方作为另一个解释变量，而能力则是不可观测的，如chapter1的例1，但仍可以放在因果关系中，不过需要有特殊的处理。

（3）因果关系不一定是线性关系，从平均意义或期望的意义上讲，我们要关注的是条件期望E(Y|X)。E(Y|X)的直观含义是如果知道X，平均意义上看Y是什么？它包含比从总体平均意义上看Y是什么，即EY有更多的信息。并且希望能把E(Y|X)表达出来，建立一个模型，称为总体模型（population model）。

（4）随机抽取样本的最基本形式是截面数据（cross section data），含义是给定一个固定的时间点或是时间段上，解释变量与因变量的数据是从总体中随机发生的，而实验数据（experimental data）的含义是实验者预先设定或不受干扰的测定解释变量的实验值，然后观测因变量的结果值，传统观点下X的样本假定为实验数据，ε与实验数据X是完全分开的，指的是一切其他环境对结果的随机影响。这个要求太强。除了截面数据，随机样本的另外几种形式有：

Pooled cross section data 在不同时间点样本独立，但不同分布（混同样本）； Spatial correlation 在不同地区样本有相关性，不独立（空间相关性样本）； Cluster sample 时间数据有分段特征（串数据）；

Panel data称面板数据，数据有二元特征，特别是有时间特征，但时间不太长，有限。

这些特殊样本的处理，特别是面板数据我们在后面的模型中专门分析、介绍。

§2 有关理论

下面着手建立解决上述问题的一套基本理论。

假设Y=g(X)是客观存在，但是未知或者部分未知，那么获取数据资料以后，从获取的数据(y1…yn)和(x11…x1n，xk1…xkn)中就应当反映这种客观存在的关系，Yi=g(Xi)，i=1 n。进一步，如果Y=g(X)的函数关系也不清楚，那么找一个什么样的函数关系是合理的？合理性的准确含义（标准）又是什么？

着手解决两个问题：

1、合理性按均方误差标准。即选择g(X)使得其与Y的误差平方最小，∀g(X)MinE(Y-g(X))2，简记成MSE(mean square error)。

2、如果用线性关系X'β来表达Y，具备什么条件才能使满足条件1中解就是g*(X)=X'β*，即MinE(Y-g(X))2与MinE(Y-X'β)2等价。 ∀g(X)∀β

我们有如下的基本定理：

定理1：用条件期望E(Y|X)来表达Y，则MSE最小。即：

E(Y|X)=argMinE(Y-g(X))2=g*(X)， arg表示满足取最小值条件的g(X)。 ∀g(X)

首先复习一下条件期望的概念及性质:

关于条件概率，我们知道，P(AB)=P(A⋂B)，P(B)>0。此意味着存在一个概P(B)

率空间(Ω,F,P)，且B∈F。因为事件B已发生，所以P(AB)实质是将P(B)>0改变成P(B)=1，以及把事件A的概率P(A)调整为A在B中的比例。

现在如果让A遍历整个F，这就在(Ω,F,P)上定义了一个新的概率PB。它是由B和P导出的概率。并可认为构成一个新的概率空间(Ω,F,PB)。这是在事件B发生的条件下获得的对原概率P的调整。直观讲就是，因为B已经发生了，其他与B无关的事件已不重要了，B取代了Ω的地位。

设Y是(Ω,F,P)上的一个随机变量，那么，数学期望EY=⎰YdP。这是一个Ω

在Ω上的加权平均。现在把Y放到概率空间(Ω,F,PB)上看，那么应有，条件数学期望E(YB)=⎰YdPB=⎰B

ΩYdP(B)。这是一个在事件B上的加权平均。

再设Y、X是(Ω,F,P)上的二个随机变量，联合分布存在。∀x0∈R，为要使P(B)>0，取B={x0-∆x≤X

极限是存在有限的。因为零概率集上可测函数的积分总是0，故我们可以在这个零概率集上重新定义它的值，例如取值为0， 那么，对∀x0∈R，E(YX=x0)有定义。这是一个与随机变量X取值有关的函数f(x0)。（回忆导数的定义）

因为X是随机取值的，所以当X不确定取值的时候，它就是一个与X有关的随机变量。记成E(YX)。称为Y关于X的条件数学期望。

注，给定事件下的条件期望是一个数，而随机变量Y关于随机变量X的条件数学期望则是一个随机变量。具体计算就是，如果E(YX=x)=f(x)，则：

（参阅伍书第一章） E(YX)=f(X)。

条件期望有性质如下：

设随机变量（X，Y）有联合分布F(x,y)和联合分布密度f(x,y)，不妨设f(x,y)≥0。则X的边际分布密度fx(X)=⎰f(x,y)dy；Y的边际分布密度

Y

。那么给定X=x的条件下，Y的条件分布密度是fy(Y)=⎰f(x,y)dx

X

fY|X(y|x) f(x,y)=fX(x)f(x,y)

Y⎰f(x,y)dy，于是给定X=x的条件下，Y的条件数学期望是E(Y|X=x)=⎰y

Yf(x,y)dy g(x)。所以E(Y|X)=g(X)。 fX(x)

⎡⎡⎤f(x,y)⎤f(x,y)∴E(g(X))=E[E(Y|X)]=⎰⎢⎰ydy⎥fX(x)dx=⎰⎢⎰yfX(x)dx⎥dy fX(x)⎦fX(x)X⎣YY⎣X⎦

⎡⎤=⎰y⎢⎰f(x,y)dx⎥dy=⎰yfY(y)dy=E(Y)

Y⎣X⎦Y

性质1：E[E(Y|X)]=E(Y)，直观含义是分段平均再平均等于直接平均。

又由定义，E[g(X)|X]=

f(x,y)dy=E(Y|X)。 fX(x)g(X)⎰g(x)f(x,g(X))dg(x)，做变量代换，y=g(x)，fX(x)则：⎰y

Y

性质2：E[E(Y|X)|X]=E(Y|X)。

E[g(X)|X)]=g(X)的直观含义很明显，已经知道X的信息，那么g(X)的平均就是它自己。即知道X=x，那么g(X)=g(x)就是已知的。它是常数的期望等于常数的直接推广。

注：性质1和2有广泛应用。

有了上述准备，我们证明定理1。设g0(X)=E(Y|X)，那么，

E(Y-g(X))2 =E(Y-g0(X)+g0(X)-g(X))2

=E(Y-g0(X))2+E(g0(X)-g(X))2+2E(g0(X)-g(X))(Y-g0(X))

注意到，E(g0(X)-g(X))(Y-g0(X))=E{E[(g0(X)-g(X))(Y-g0(X))|X]} =E{(g0(X)-g(X))E[(Y-g0(X))|X]}=E{(g0(X)-g(X))[E(Y|X)-g0(X)]} =0。 ∴MSE(g)=E(Y-g(X))2+E(g0(X)-g(X))2。

所以取g(X)=g0(X)，MSE(g)最小。定理得证。

注：这个定理很重要，它奠定了条件期望在均方误标准下的最优地位，问题是 当Y与X的联合分布很复杂，甚至不知时，E(YX)实质上仍然是不清楚的。

例：随机参数过程：

2设Y=β0+(β1+β2η)X+η，其中η与X独立，且E(η)=0,var(η)=ση，则，

E(Y|X)=E(β0+(β1+β2η)X+η|X)=β0+E((β1+β2η)X|X)+E(η|X) =β0+β1X+XE(β2η|X)+E(η|X)=β0+β1X+β2XE(η)+E(η)=β0+β1X。

22var(Y|X)=E⎡⎣(Y-E(Y|X))|X⎤⎦=E⎡⎣(β0+(β1+β2η)X+η-β0-β1X)|X⎤⎦

2222222⎤⎡⎤=E⎡(η+βηX)|X=Eη(1+βX)|X=(1+βX)E(η|X)=(1+βX)ση。 2222⎣⎦⎣⎦

注：我们也可以将模型看成，Y=β0+β1X+μ，但是μ=(1+β1X)η，于是μ

就与X相关，如果有其他的解释变量与X相关，内生性就产生了。且条件方差var(u|X)也与X相关。大量的计量经济模型都是由于环境既影响结果又影响原因，从而内生性和条件异方差性往往是不可避免的，关键要看影响的程度。这正是现代观点要处理的问题，传统观点假定X与μ无关的要求太强了，不符合实际。 一般情况下，E(YX)仍很复杂，甚至是未知的，所以，尽管我们知道E(YX)在均方误标准下表达Y是最优的，但是我们需要一种方法，用其他的合理方式来取代E(YX)，取代的方式取决于不同的目的，这就是问题（2）。

如果目的是预测、是趋势，可采用非参数估计方法，这超出本书的范围，请参阅相关非参数估计的书。如果目的是政策评价，验证理论是否正确，一般采用参数估计方法，参数估计方法的理论基础就是线性投影。

设 是影响Y的一切原因集，β=(β0,β1, ,βk)'是一个K+1维的参数空间，βi∈R，是未知的。X'=(1,X1……Xk)是取自 中的K+1维向量，并且线性无关。例如X与X2线性无关，但lnX和lnX2线性相关。

定义：A={g(X)=β0+β1X1+ +βkXk}={g(X)=X'β,β∈Rk+1}⊂Φ

注：我们只要求g(X)关于β是线性的，对X不做任何要求，A的直观含义是从母体X中提取部分X1……Xl外加常数项构成K+1维向量X，把X与β做内积，构成β的线性函数集A，于是我们可以把求E(Y|X)的问题转化为求未知参数向量β的问题，即：

g(X)∈A2' minE(Y-g(X))2=minE(Y-Xβ)k+1β∈R

当然，A中的函数要比中Φ的少，但是限制在A中，却使问题变得可以求解了。

定理2：若E(Y)2≤∞且E(XX')存在非奇异，那么中A的最小二乘解g*(X)=Xβ*,β*=E(XX')-1E(XY)。

证明：由一阶条件得：

kk⎡⎤dd∂222'E(Y-Xβ)=E(Y-∑βiXi)=E⎢ ,(Y-∑βiXi), ⎥ dβdβ∂βi=0i=0i⎣⎦

=-2E(Y-X'β)X'=-2E(X(Y-X'β))=0

⇒E(XY)-E(XX')β=0。

由E(XX')非奇异，E(XY)≤E(X)2E(Y)2 (施瓦茨不等式)

故E(XY)

注：一般g(X)=X'β*≠E(Y|X)。这是非线性回归模型要解决的问题。 下面考虑设定（specification）Y=Xβ+u， β∈Rk+1。称为Y的（关于β线性）模型，其中μ为回归误差。

定理3：设定Y=X'β+u,则当且仅当垂直条件E(Xu)=0成立，有β=β*成立。 证明：必要性：如果β=β*，那么由u=Y-X'β⇒

EXu=EXY-EXX'β*=EXY-(EXX')(EXX')-1(EXY)=0；

充分性：如果EXu=0,那么，EXu=EXY-EXX'β=0。∴β=(EX' X)-1EXY=β*。注：1）特别取X=1⇒Eu=0

2）这里没有考虑E(Y|X)，仅是说明当Y写成β的线性投影形式时，当β=β*时，μ要满足的条件，它比E(Y|X)=0要弱。

下面解决的问题是，把Y写成Y=g(X)+ε与把Y写成Y=X'β+u,在什么条件下是一致的，这个条件也就是现代观点下的多元线性回归模型的前提假定。

定义：线性回归模型Y=X'β+u,称为正确设定的（correct model specification）如果存在某一β0∈Rk+1，使得从母体 选取K个向量有E(Y|X)=X'β0成立，否则，如果对所有的β∈Rk+1,E(Y|X)≠X'β，则称线性回归模型不是正确设定的。

定理4：线性模型Y=X'β+u,是正确设定的，那么：

1）存在某一β0，使得Y=X'β0+ε,且E(ε|X)=0；

2）E(Xε)=0；

3）β*=β0。

证明：由定义，E(Y|X)=X'β0,由定理1的性质知，E(ε|X)=0 （1）成立

再由定理3，（2）（3）成立。

∂E(Y|X)=β0，故当模型是正确设定时，参数β0的经济含义是注：1）由∂X

边际效果，（βi=∂Y，i=1，2，„„），否则β的含义是误导的。 ∂Xi

2）若Y=X'β+u,且E(Xu)=0,不是正确设定的，则意味着：

此时，若采用最小二乘法估计，参数βE(Y|X)=Xβ+E(u|X)≠Xβ,即E(u|X)≠0。

会产生有偏、不一致的后果。这正是本课程要重点解决的问题。

接下来的问题是，在正确设定下，知真值β=β*=(EX'X)-1EXY。 如何获得？当然是通过样本，利用大数律，保证一致性。

§3大样本下渐近理论基础

现代回归模型的估计和检验由于样本N不再固定，更注重一致性，基本原则是保证一致性成立，降低有偏性，提高有效性。从而，样本的极限理论具有基本的重要性。

1、收敛的概念：

a) 序列{an}收敛，记为an→a

pb) 随机变量序列{xn}依概率收敛，xn−−→x

dc) 随机变量序列{xn}依分布收敛，xn−−→x

pd) 连续映照定理（Slutsky’s Theory），向量序列xn−−→const，g(x)连续，

p则g(xn)−−→g(c)，即plimg(xn)=g(plimxn)。 n→∞n→∞

2、随机样本的极限定理

定理1 ：设{wi:i=1,2, }是一列独立同分布的G维随机向量序列，且

1Np→uw，其中uw=E(wi)，此称为向量E(|wig|)

序列的弱大数定律。

定理2：{wi:i=1,2, }是一列独立同分布G维随机向量序列，且

E(|wig|)

02w=ii=1Nwi=1Nid−−→N(0,B)，

B=var(wi)是一半正定矩阵。此称为向量序列的中心极限定理。

在定理1、2的基础上，我们定义一致性：

ˆ:N=1,2……定义1：（一致性）{θ}是一个P×1维的样本函数的序列，NN

pˆN−−ˆ∈Θ成立，则称θˆ是θ的一致估计，是样本容量，如果θ→θ，对任意的θNN

其中Θ是未知参数空间的定义域。

ˆ:N=1,2……定义2：{θ}是一个P×1维的样本函数的序列，如

果N

dˆ-θ)−−ˆ渐近正态的，且V

θ→N(0,V，)其中V是半正定阵，则称θ

NN

ˆ Normal(θ,V)，ˆ-θ)的渐近方差，

ˆ-θ)=V。θθ记作因此，AθNNNN

ˆ的渐近方差为V，记成Avar(θˆ)=V/N。 故也称θNNN

ˆ的ˆ，因此θ一般而言， 协差阵V未知，我们有许多关于V的一致估计VNN

ˆ)=Vˆ/N，记成Avar(θˆ/N。 渐近方差估计就是VNN

注：因为Vˆ/N→0，故当N充分大，Vˆ/N无意义。→0，（N→∞），所以VNNN

ˆ的渐近方差估计，

ˆ-θ)的渐近方差估计是Vˆ/N是θˆ，我们说VθNNNN

ˆ/N→0，这一点很重要，不要搞乱。 而不是VN

dˆ-θ)−−定义3

θ→Normal(0,V)，且V正定，其主对角线元素N

pˆ的第j个分量θˆNj的渐近标准差规定ˆ，且Vˆ−−用vjj表示。又有V→V，那么θNNN

1/2ˆ)=ˆjj/N）为se(θ。 （νNj

ˆ和θ 都是θ

的定义4：θNNˆ-θ=o(N-1/一致估计，即θNp)，2

-θ=o(N-1/2)，

ˆ-

θ且V=Av如果D-V是arθNpN)θ，D=AθN-θ)，

ˆ比θ 是渐近有效的。

ˆ和θ

是ˆ-θ )=o(1)，半正定矩阵，则称θθ则称θNNNNNNp

渐近等价的。

⎡V1 0⎤dˆ定义5

：如果θN-θ)−−→Normal(0,V)，若V=⎢⎥，且相应的0 V⎣2⎦

ˆ⎤⎡θˆˆ-θ)有渐近方差V

θˆ-θ)有渐近方差V，则称θN=⎢1N⎥θ121N12N2ˆ⎢⎣θ2N⎥⎦

ˆ是渐近独立的。 估计θˆN1和θN2

关于统计检验的渐近理论有：

定义6：对假设检验H0，如果它的备择假设H1为真，且N→∞limPN(拒绝H0|H1真)=1，则称检验是渐近一致的。

dˆ-θ)−−引理：

θ→N(0,V)，V正定，N

dˆ-θ)−−又R是Q×P矩阵，Q≤P，秩（R）=Q，

(θ→Normal(0,RVR')。N

d2-1ˆ-θ)⎤RVRˆ(-θ⎤)又，二次

型(θ(')θ−−→χNNQ，此外如果有⎦⎦'

ˆ=V，那么Wald统计量，即二次型：

plimVNN→∞

ˆ⎡V⎤d-12ˆˆˆˆ-θ)−−(θN-θ)⎤(RVR')(θN-θ)⎤=(θN-θ)'R'⎢RNR'⎥R(θ→χNQ⎦⎦⎣N⎦

在第一章我们看到，利用Wald统计量，我们可以得到F统计量，并由此解'-1决有线性约束的检验问题，H0：Rθ=r，H1：Rθ≠r。

（为保持与伍书中符号一致性，R相当经典模型中的C，r相当于q）。

最后，简单介绍参数假设检验的大样本理论：

设θ∈Θ是总体中的参数向量，Θ⊂Rk。q为已知的J维列向量，C(θ)为θ的J元函数，C(θ)=(c1(θ), ,cJ(θ))'。称C(θ)=q为对参数θ的约束条件，J为约束的个数。这里C(θ)的函数形式已知，可以是线性的，也可以是非线性的。且∂C(θ)=Q(θ)在θ的某邻域行满秩。 ∂θ

如果能把对参数θ的约束条件作为假设检验的命题：H0:C(θ)=q，H1:C(θ)≠q。那么，由数理统计的知识，在大样本条件下，可采用三个渐近等价的检验统计量来完成。具体讲：

ˆ是θ的一致估计，由于最大似然估计（MLE）在大样本条件下满足一设θN

ˆ常采用MLE作为假设致性、渐近正态性和不变性，有很好的统计性质。一般θN

ˆ为不带约束条件下θ的一致估计，θˆ为带约束条检验前θ的一致估计。我们记θUR

ˆ)为似然函数值。我们有如下结论：件下θ的一致估计。设L(θ)为似然函数，L(θ

（1） 沃尔德统计量（Wald）

ˆ易得，那么对假设检验的命题：如果不带约束条件下θ的一致估计θU

H0:C(θ)=q，且秩∂C(θ)=Q。可构造Wald统计量： ∂θ

d2ˆ)-q]'[AVar(C(θˆ)-q)]-1[C(θˆ)-q]−−。特别当约束是线性时，即W=[C(θ→χQUUU

ˆ⎡V⎤d2Nˆˆ-r)−−Rθ=r，那么有W=(θN-r)'R'⎢R()R'⎥R(θ。 →χQNN⎣⎦-1

（2） 拉格朗日统计量（LM）

∂C(θ)ˆ易得，=r。 如果带约束条件下θ的一致估计θ那么对，秩H:C(θ)=q0R∂θ

可构造LM统计量：

ˆ)ˆ∂lnL(θd-1∂lnL(θR)RˆLM=()'[I(θR)]()−−→χr2。其中，I(θR)=-E(HR)=E(gg')；∂θ∂θRR

∂lnL(θR)∂2lnL(θR)，H=。称I(θR)为信息矩阵。 g='∂θR∂θR∂θR

（3）似然比统计量（LR） 令λ=lnL(θR)dˆ=2[lnL(θˆ)-lnL(θˆ)]−−，称为似然比，LR=-2lnλ→χr2。似然URlnL(θU)

比检验常在时间序列分析中用。

注：当约束是线性时，有W≥LR≥LM。故LM拒绝，则都拒绝H0。

本章小结

本章的内容承上启下，核心概念是条件数学期望，怎么强调也不过分。后面的内容都是围绕着条件期望的性质建立各种模型展开的。此外，假设检验的三个基本统计量也是后面各种假设检验的理论基础，各种检验统计量都是在它们的基础上建立的。本章的内容在后面继续学习时还要经常回头看，故把重点小结如下：

1、现代观点：数据本位，模型要适应数据的要求。

2、现代观点基本理念：

（1）关注的目标Y是一个随机变量，它与影响它的因素X，X是一个多维随机向量，存在联合分布，并且可以随机抽样。X和Y允许受到限制，或某些因素不一定可观测，且X和的Y期望和方差均存在、有限。

（2）用X表达Y，Y=g(X)，在均方误差最小(MSE)的意义下，g*(X)= E(Y|X)是最优的，且令Y=E(Y|X)+U，则E(U|X)=0。

（3）线性投影（参数估计方法），在X中抽取l个变量，（l

当E(XX')非奇异，且E(Y2)

-1β*=[E(XX')]E(XY)，在MSE意义下是最优的，且则最小二乘估计β，*

E(XU)=0，⇔β=β*

（4）定义模型是正确设定的，如果存在β0∈Rk+1，使得E(Y|X)=Xβ0 ，于是可知β0=β*，E(XU)=0；反之模型不是正确设定的，则E(XU)=0不等于0，从而E(U|X)≠0，称模型存在内生性问题，即X与U相关。

要特别强调的是，“正确设定”只是一个强制性的假设，当E(Y|X)本质上

β2是非线性的，如：E(Y|X)=α1X1β1+α2X2+……+αkXkβk，则任何有限的线性表

达都不可能是正确设定的。又如，E(Y|X)是分段的阶梯函数，用线性表达和加入虚拟变量显然留下了更多人为的痕迹。非线性模型的参数估计，是下册书的主要内容。也正是有了各种条件期望的概念，线性模型和非线性模型才统一起来了，无非是用X的不同函数形式来表达E(YX)。

（5）样本多样性

1)截面数据cross section data iid

2)面板数据panel data 二元特征

3)混合数据pooled data 独立但不同分布

4)时间序列数据time series

5)空间相关数据

6)串数据

3、渐近理论与统计量

（1）3

渐近正态性：

①向量序列的弱大数定律（WLL）

②向量序列的中心极限定理（CLT）

③随机变量（向量）序列趋于常量的连续映照定理（Slutsky’s Theory）

渐近正态性

（2）3个基本统计量：

d2ˆ)-q]'[AVar(C(θˆ)-q)]-1[C(θˆ)-q]−−Wald统计量：W=[C(θ →χQUUU

ˆ)ˆ∂lnL(θd-1∂lnL(θR)RˆLM统计量：LM=()'[I(θR)]()−−→χr2 ∂θ∂θRR

dˆ)-lnL(θˆ)]−−LR统计量：LR=-2lnλ=2[lnL(θ→χr2 。 UR