2014参数的假设检验
第五章 参数假设检验
假设检验的思想 正态总体均值的检验
正态总体方差的检验
第五章 参数假设检验
一. 假设检验的基本原理与 检验步骤
二. 单个正态总体均值与方差的检验
三. 两个正态总体均值与方 差的检验
在本讲中，我们将讨论不同于参数估计 的另一类重要的统计推断问题. 这就是根据 样本的信息检验关于总体的某个假设是否 正确. 这类问题称作假设检验问题 . 假设检验
参数假设检验
总体分布已知， 检验关于未知参数 的某个假设
非参数假设检验
总体分布未知时的 假设检验问题
提出假设
作出决策
拒绝假设! 别无选择.
总体
我认为人口的平 均年龄是50岁
抽取随机样本
均值 X = 20
(一) 一个例子
某工厂生产10欧姆的电阻.根据以往 生产的电阻实际情况,可以认为其电阻值 X～N( , 2),标准差σ=0.1. 现在随机抽取 10个电阻,测得它们的电阻值为: 9.9, 10.1, 10.2, 9.7, 9.9, 9.9, 10, 10.5, 10.1, 10.2. 试问:从这些样本,我们能否认为该厂生 产的电阻的平均值为10欧姆?
例1
问题怎么建立:
确定总体:记X为该厂生产的电阻的测量值. 根据假设,X ～ N( , 2),这里 =0.1. 明确任务: 通过样本推断X的均值μ是否等 于10欧姆. Hypothesis:上面的任务就是要通过样本去 检验“X的均值μ=10” 这样一个假设是否成 立.(在数理统计中把“X的均值μ=10” 这样一 个待检验的假设记作“H0:μ=10 ”称为 “原假 设”或 “零假设”
原假设的对立面是“X的均值μ≠10” 记作“H1:μ ≠10”称为“对立假设”或“备择假 设”.把它们合写在一起就是: H0:μ=10H1:μ ≠10
解决问题的思路分析: ∵样本均值是μ的一个良好估计.∴如果
μ=10, 即原假设成立时,那么:
应该比较小.反之,如果它过于大, 那么想必是原假设不成立.
X 10
X 1 0 的大小可以用来检验原假设是
否成立.
合理的思路是找出一个界限c, 当 X 1 0 c 时,我们就接受原假设H0 , 而当 X 1 0 c 时,我们就拒绝原假设H0 . 这里的问题是,我们如何确定常数c呢
细致的分析:
X ～ N ( ,
2
X ～ N (0,1) ∵ n=10 =0.1 0.1 / 10
n
)
于是,当原假设 H0:μ=10 成立时,有:
X 10 ～ N (0,1) 0.1 / 10 为确定常数c,现在我们考虑一个相当小的 正数(理由下面讲).例如 =0.05. 于是,当原假设 H0:μ=10 成立时,有:
X 10 P Z / 2 0.1 / 10 即 P X 1 0 Z / 2 (0 .1 / 1 0 )
取 c Z / 2 ( 0 .1 /
10 )
现在我们就得到检验准则如下:
当 X 1 0 c时
我们就拒绝原假设 H0:μ=10.
而 当 X 1 0 c时
我们就接受原假设
H0:μ=10.
其 中 c Z / 2 ( 0 .1 / 1 0 )
X 10 称为检验统计量. 0.1/ 10 X 10 Z / 2 (0.1/ 10 ) 该检验的 X 10 也即 Z / 2 称为 拒绝域. 0.1/ 10
用以上检验准则处理我们的问题. X 10 计 算 得 X 10.05 1.581 0.1 / 10
0.05 查 表 得 Z / 2 1.96 ∴接受原假设 H0:μ=10.
(II)道理(小概率事件的构造 )
(1)首先构造一个统计量，它包含待检验参数，而当假 设H0成立时，它的分布是完全已知的.
在引例中, 假设H 0 : 0 ,
则z
X 0
n ( 2)给定小概率 , 构造一个小概率事件A, 满足P ( A) .
设z 为N (0,1)的双侧100百分位点, 则P{ z z } ,
2 2
~ N (0,1).
z
X 0
z 为小概率事件.
2
n
若小概率事件A出现, 则否定H 0 ,反之则接受H 0 .
小概率事件出现时, 有 z z ,
2
或者 X 0 z
2
n
否定H 0 ,
这个区域(, z ] [ z , )称为关于H 0的否定域.
2 2
注意：
越小,小概率事件越难出现, 否定H 0的机会越小;
反之, 否定H 0的机会越大; 所以称为显著性水平.
在实际中, 倾向于接受H 0 , 则取小些;倾向于否定H 0 , 则取大些.
4. 假设检验的一般步骤
(1) 提出假设 H 0 : 0 .
( 2) 选定显著性水平 .
( 3) 选取合适的检验用统计量(服从正态, 2 , t , F分布).
(4) 求出否定域.
(5) 以样本观察值计算出该统计量的观察值，
若观察值落在否定域内, 则拒绝假设; 若观察值不落在否定域内, 则接受假设.
5. 两类错误
第一类错误（弃真）： H0是正确的，通过取样检验后却否定了H0.
显然P ( A | H 0 ) , 从而P (否定H 0 | H 0为真) .
第二类错误（取伪）： H0不正确，通过取样检验后却接受了H0.
记P (接受H 0 | H 0不真) .
一般着重控制 , 希望与越小越好.
两类错误的概率的关系
但 理论上， 自然希望犯这两类错误的概率都很小， 当样本容量 n 固定时， , 不能同时都小，即 变 小时， 就变大；而 变小时， 就变大. 在实际 应用中， 一般原则是：控制犯第一类错误的概率, 即给定 , 然后通过增大样本容量 n 来减小 .关于 显著性水平 的选取： 可小些， 如 0 . 01; 若注重社 若注重经济效益，
可大些， 如 0 . 1; 若要兼顾经济效益和 会效益， 一般可取 0 . 0 5 . 社会效益，
教材例8.5：设总体X
N( ,
1
2
), 其中
1
2
2 0
为已知
而均值 只能取 0或
(
0
)
二者之一，
X1 , X 2 , X n是取自总体X的一个样本，检验假设
H0 :
0
, H1 :
1
犯第一类错误的概率
P 拒绝H0 | H 0为真}=P{X X C 0 0 P{ | n n 0 0
C|
0
0
}
}
而当 H 0 为真时，即
0
时，
=1- (
0
X
0
0
n
N（0， 1） 因而
0
C
0
0
n
)
Z
C
0
n
,
C
0
n
z .
犯第二类错误的概率
P 接受H0 | H 0不真}=P 接受H0 | H1为真}
=P{X
1
}
P{
X
0
1
C
0
1
1
而当 H1 为真时，即
X 时， 1
0
n
n
n
0
|
1
}
N（0， 1）
因而 = (
C
0
1
n
)= ( z
1 0
n
)
两类错误是互相关联的， 当样本容量固定时， 一类错误概率的减少导致另一类错误概率的 增加
例： 某厂生产的一种螺钉, 标准要求长度是68 mm. 实际生产的产品, 其长度服从正态分布 N ( , 3 . 6 2 ), 考虑假设检验问题
设 X 为样本均值, 按下列方式进行假设检验: 当 | X 68 | 1 时, 拒绝假设 H 0 ; 当 | X 68 | 1 时, 接受假设 H 0 .
(1) 当样本容量 n 36 时, 求犯第一类错误的概率 ; (2) 当 n 64 时, 求犯第一类错误的概率 ; (3) 当H 0 不成立 (设 70 ), 又 n 64 时, 按上述检 验法, 求犯第二类错误的概率 .
H 0 : 68， H 1 : 68
例2 (1) 当样本容量 n 36 , 求犯第一错误的概率 ;
解 当 n 36 时, 有 所以
2 2 3 . 6 X ~ N, N ( ,0 .6 ), 36
P {| X 68 | 1 | H 0 成 立 } P { X 67 | H 0 成 立 } P { X 69 | H 0 成 立 } 67 68 69 68 1 0 .6 0 .6 ( 1 . 67 ) [1 ( 1 . 67 )] 2[1 ( 1 . 67 )] 2[1 0 . 9525 ] 0 . 0950 .
例2 (2) 当 n 64 时, 求犯第一类错误的概率 ; 解 当 n 64 时, 有
X ~ N ( , 0 . 45 ),
2
P {| X 67 | H 0 成 立 } P {| X 69 | H 0 成 立 }
67 68 69 68 1 0 .45 0 .45 2[1 ( 2 . 22 )] 2[1 0 . 9868 ]
0 .0 2 6 4.
注: 随着样本容量 n 的增大, 得到关于总体的信息更 多, 从而犯弃真错误的概率越小.
例2 (3) 当 H 0 不成立 ( 设 70 ), 又 n 64 时, 按上 述检验法, 求犯第二类错误的概率 . 解 当 n 64 , 70 时, X ~ N ( 70 , 0 . 45 2 ), 这时, 接 受 域 为 X [ 67， 69 ] 所以犯第二类错误的概率
( 70 ) P { 67 X 69 } 69 70 67 70 0 .45 0 .45 ( 2 .2 2 ) ( 6 .6 7 ) ( 6 .6 7 ) ( 2 .2 2 ) 1 0 .9 8 6 8 0 .0 1 3 2. 进一步, 当 n 64 , 66 时, 同样可计算得 ( 66 ) 0 . 0132;
当 n 64 , 68 . 5 时, X ~ N ( 68 . 5 , 0 . 45 2 ).
( 68 . 5 ) P { 67 X 69 68 . 5 }
69 68.5 67 68.5 0 .45 0 .45 67 68 . 5 (1 .11) 0 .45 0 . 8665 [1 0 . 9995 ] 0 . 8660 .
注: 由(3)中可
知, 在样本容量确定的条件下, 的真 值越接近 0 68 , 犯取伪错误的概率越大.
二 . 单 个 正 态 总 体 均 值 与 方差 的 检 验 X ~ N ( , 2 )
1 . 2已 知 , 检 验 关 于 的 假 设
步骤: (这种方法称为 z 检验)
(1)提出假设H 0 : 0 , H1 : 0 .
( 2) 取定显著水平
X 0 ~ N (0,1) ( 3) 选取统计量z / n
(4) 由查表得z , 其中( z ) 1
2 2
2
, 得否定域 z z
2
x 0 (5) 计算观察值z , 若 z z , 则否定H 0 . 2 / n
2 . 2未 知 , 检 验 关 于 的 假 设
步骤:
(这种方法称为 t 检验)
(1)提出假设H 0 : 0 , H1 : 0 .
( 2) 取定显著水平
X 0 ~ t ( n 1) ( 3) 选取统计量t S/ n
(4) 由查表得t ( n 1), 得否定域 t t ( n 1)
2
2
x 0 (5) 计算观察值t , 若 t t ( n 1), 则否定H 0 . 2 s/ n
例1.某批矿砂的5个样品中的镍含量经测定为(x%)： 3.25,3.27,3.24,3.26,3.24,设测定值服从正态分布. 问在=0.01下能否接受假设：这批矿砂的平均镍 含量为3.25. 解 (1)假设H 0 : 3.25, H1 : 3.25
( 2) 0.01, n 5
X 0 ( 3 )t ~ t ( n 1) S n
(4)查表得t 0.01 (4) t0.005 (4) 4.6041
2
否定域为 | t | 4.6041
1 5 (5)而x xi 3.252, 5 i 1
否定域为 | t | 4.6041
5 1 S 2 ( xi x )2 1.70 10 4 4 i 1
t
3.252 3.25 1.30 10 2 5
0.345 否定域
接受假设H 0 ,即认为这批矿砂的平均镍含量为3.25.
例2 已知某炼铁厂铁水的含碳量在正常情况下服 从正态分布，即X~N(4.55,0.1082),某日抽查５炉铁水 得含碳量如下 ４.２８ ４.４０ ４.４２ ４.３５ ４.３７ 问：该日铁水含碳量有无显著性变化（α=0.05）？ 解 按题意需检验
H 0 : 4.55, H1 : 4.55
2
选用z检验，x 4.364, z z0.025 1.96,由z检验法 知拒绝域为
| z |
X 0
0 / n
z0.025 1.96
这里0 4.55，n 5, 经计算有
4.36 4.55 | z | 3.93 1.96 0 / n 0.108 / 5
由于z落入拒绝域，故拒绝H0,该日铁水含碳量 有显著性变化.
X 0
注意
在假设H 0 : 0下还有容许假设H1 , 其中H1可能是H1 : 0 ; H1 : 0 ; H1 : 0 称H 0为原假设, H1为备选假设.
从而假设检验一般有:
双边检验 : H 0 : 0 , H1 : 0 右边检验 : H 0 : 0 , H1 : 0
即 H 0 : 0,H1 : 0
左边检验 : H 0 : 0 , H1 : 0
即 H 0 : 0,H1 : 0
单边检验
右边检验
H 0 : 0,H 1 : 0
X 0 P t (n 1) S n
左边检验
拒绝域为
T t (n 1)
H 0 :
0,H 1 : 0
拒绝域为
X 0 P t (n 1) S n
T t (n 1)
2已知, 用z检验 2未知, 用t检验 X 0 X 0 否定域 方 z / n ~ N (0,1) t S / n ~ t ( n 1) 法
双边检验 右边检验 左边检验
| z | z
| t | t (n 1)
2
2
z z
t t (n 1)
z z
t t (n 1)
例3.已知用某种钢生产的钢筋的强度(kg/mm2)服从正 态分布，且均值0=52.00.今改变钢的配方，从新 法炼钢后生产的钢筋中抽取7根，测得强度为： 52.45,48.51,56.02,51.53,49.02,53.38,54.04， 问新法所生产的钢筋其强度的均值μ是否有明 显的提高？(=0.05)
解 (1) H 0 : 0 52.00, H1 : 0
( 2) 0.05, n 7
X 0 ( 3 )t ~ t ( n 1) S n (4)查表得t0.05 (6) 1.94, 否定域为t 1.94
1 7 (5)而x xi 52.14, 7 i 1
7 1 S 2 ( xi x )2 ( 2.70)2 6 i 1
52.14 52.00 t 0.1372 否定域 2.70 7
接受H 0 , 认为强度无明显提高.
2 ( 这 种 方 法 叫 检验) 3. 未 知 , 检 验 关 于 的 假 设
2
2 2 (1) 双边检验H 0 : 2 0 , H1 : 2 0
设统计量 2
2 2
2
( n 1) S 2
2 0
2 2 1 2
~ 2 ( n 1)
则P{ 或
2
} ,
如图
2
2
否定域为(0 (n 1)) ( (n 1) )
2 1 2 2
y
2
2
2
2
x
2
O 2 1
2 2 ( 2)右边检验H 0 : 2 0 , H1 : 2 0
由P{ }
2 2
2 得否定域 2 (n 1)
2 2 ( 3)左边检验H 0 : 2 0 , H1 : 2 0
由P{
2
2 1
}
2 1
得否定域
2
(n 1)
ex3.测定某种溶液中的水分，由它的10个测定值算出 x 0.452(%) ,S=0.037，设测定值总体服从正 态分布，试在5%的显著性水平下，分别检验假设:
(1) H 0 :
0.5; H1 :
0.5
(2) H 0 :
解 (1) 2未知,
0.04; H1 :
0.04
X 0 选取t ~ t ( n 1), 其中 0.05, n 10 S n 查表得t0.05 (9) 1.8331, 否定域为t 1.8331 0.452 0.5 而t 4.1024 否定域 否定H 0 . 0.037 10
( 2)选取
2
( n 1) S 2
2
~ ( n 1), 其中 0.05, n 10
2
2 2 查表得1 ( 9 ) 0.05 0.95 (9) 3.325,
否定域为0 3.325
2
2 9 ( 0 . 037 ) 否定域 而 2 7 . 7006 (0.04)2
接受H 0 .
三.两个正态总体均值与方差的检验 2 2 设X ~ N ( 1 , 1 )与Y ~ N ( 2 , 2 )分别有样本 ( X1 , X 2 , X m )与(Y1 ,Y2 ,Yn ),
2 样本均值为X与Y , 样本方差为S x 与S 2 y.
2 1 . 已 知 12 , 2 , 关 于 1 2的 检 验
2 2 (1)已知 1 , 2 , 检验假设H 0 :
1 2 , H1 : 1 2
此时选取统计量z
X Y
2 1
m n 对于给定的小概率 , 有P{| z | z }
2
2 2
~ N (0,1)
否定域为 | z | z , 其中( z ) 1
2 2
2
类似地
2 2 ( 2)已知 1 , 2 , 检验假设H 0
: 1 2 , H1 : 1 2
则否定域为z z , 其中( z ) 1
2 2 ( 3)已知 1 , 2 , 检验假设H 0 : 1 2 , H1 : 1 2
则否定域为z z , 其中( z ) 1
设X ~ N ( 1 , 2 )与Y ~ N ( 2 , 2 )分别有样本
( X1 , X 2 , X m )与(Y1 ,Y2 ,Yn ),
2 2 样本均值为X与Y , 样本方差为S x与S y .
2 2 . 12 2 2 未 知 , 关 于 1 2的 检 验
2 2 (1) 1 2 2未知, 检验假设H 0 : 1 2 , H1 : 1 2
此时选取统计量 t X Y
2 2 ( m 1 ) S ( n 1 ) S 1 1 x y m n mn2
~ t ( m n 2)
对于给定的小概率 , 有P{| t | t }
2
否定域为 | t | t (m n 2)
2
类似地
2 ( 2) 1 2 2
未知, 检验假设H 0 : 1 2 , H1 : 1 2
2
则否定域为t t (m n 2)
2 2 ( 3) 1 2 2未知, 检验假设H 0 : 1 2 , H1 : 1 2
则否定域为t t (m n 2)
2 2 设X ~ N ( 1 , 1 )与Y ~ N ( 2 , 2 )分别有样本
( X1 , X 2 , X m )与(Y1 ,Y2 ,Yn ),
3.
2 2 样本均值为X与Y , 样本方差为S x与S y . 2 1 , 2 未 知 , 关 于 12 2 的检验
2 2 2 (1)1 , 2未知, 检验假设H 0 : 1 2 , H1 : 1 2 Sx 此时选取统计量F 2 ~ F ( m 1, n 1) Sy
2 2
对于给定的小概率 , 有
P{F F (m 1, n 1)}
2
2
P{F F1 (m 1, n 1)}
2
2 2
2
即P{F F (m 1, n 1)或F F1 (m 1, n 1)}
否定域为 0 F F1 ( m 1, n 1)或F ( m 1, n 1) F
2 2
类似地
2 2 2 2 ( 2)1 , 2未知, 检验假设H 0 : 1 2 , H1 : 1 2
则否定域为F F (m 1, n 1)
2 2 2 2 ( 3)1 , 2未知, 检验假设H 0 : 1 2 , H1 : 1 2
则否定域为F F1 (m 1, n 1)
例4.今有两台机床加工同一零件，分别取6个及9个零件 测其口径，数据记为 ( x1 , x2 , x6 )及( y1 , y2 , y9 ),
计算得 xi 204.6, xi2 6978.93,
2 y 370 . 8 , y j j 15280.173, j 1 j 1
6
6
i 1 9
i 1 9
假设零件口径服从正态分布，给定显著性水平=0.05, 问是否可以认为这两台机床加工零件口径的方差无显 著性的差异？ 解
2 (1) H 0 : 1 2 2 , H1 2 :1 2 2
( 2) 0.05, m 6, n 9
2 Sx ( 3)选取F 2 ~ F ( m 1, n 1) Sy
(4)查表
得F0.05 (5,8) F0.025 (5,8) 4.82,
1 F1 0.05 (5,8) F0.975 (5,8) 0.148 2 F0.025 (8,5)
2
否定域为F 4.82或F 0.148
6 1 1 1 2 2 2 (5)而S x ( xi 6 x ) [6978.93 ( 204.6)2 ] 0.414 5 i 1 5 6
S2 y
1 9 2 ( x j 9 y2 ) 8 j 1 1 1 [15280.173 ( 370.8)2 ] 0.401625 8 9
2 Sx 0.414 F 2 1.031 否定域 S y 0.401625
接受H 0 ,即认为这两台机床加工零件口径的方差 无显著性差异.
例5.某香烟厂生产两种香烟，独立地随机抽取容量大 小相同的烟叶标本测其尼古丁含量的毫克数，实 验室分别作了6次测定，数据记录如下： 甲：25，28，23，26，29，22 乙：28，23，30，25，21，27 试问这两种香烟的尼古丁含量有无显著性差异？给定 显著性水平α=0.05，假设含量服从正态分布并具有公 共方差. 解 (1) H 0 : 1 2 , H1 : 1 2
( 2) 0.05, m n 6
( 3)选取t X Y 1 1 (m m n
2 1) S x 2 ( n 1) S y
~ t ( m n 2)
mn2
(4)查表得t ( m n 2) t0.025 (10) 2.2281
2
否定域为 | t | 2.2281
(5)而x 25.5, y
2 25.67, S x
2 7.5, S y
11.067
得t 0.097 否定域
接受H 0 ,即认为这两种香烟的尼古丁含量无显著性差异.
例6: 研究机器A和机器B生产的钢管的内径 ，
随机抽取机器 A 生产的管子18 只，测得样本方差
s 0 .3 4 ( m m ) ；抽取机器B生产的管子13只，
2 1 2
测得样本方差
s 0 .2 9 ( m m ) 。设两样本相互独
2 2 2
立，且设由机器A,机器B生产的管子的内径分别服 从正态分布
2 i
N (1, ) , N ( 2 , )
2 1
2 2
，这里
i , ( i 1, 2 ) 均未知。作假设检验:(取 0 .1 )
H 0 : , H 1 : .
2 1 2 2 2 1 2 2
解： 此处
n 1 1 8 , n 2 1 3 , F (1 8 1,1 3 1) F 0 .1 (1 7 ,1 2 ) 1 .9 6
由（3.4）式拒绝域为
现在
2 1
s12 1.96. 2 s2
s 0 .3 4 , s 0 .2 9 , s
2 2
2 1
s 1 .1 7 1 .9 6
2 2
故接受
H0 .
三、假设检验的两类错误
假设检验会不会犯错误呢？ 由于作出结论的依据是下述
小概率原理
不是一定不发生
小概率事件在一次试验中基本上不会发生 .
如果H0成立，但统计量的实测值落入否定 域，从而作出否定H0的结论，那就犯了“以真 为假”的错误 .
如果H0不成立，但统计量的实测值未落 入否定域，从而没有作出否定H0的结论，即 接受了错误的H0，那就犯了“以假为真”的 错误 .
请看下表
假设检验的两类错误
实际情况
决定 H0为真 H0不真
拒绝H0
接受H0
第一类错误
正确
正确
第二类错误
犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= , P{接受H0|H0不真}= .
显著性水平 为犯第一类错误的概率.
两类错误是互相关联的，
当样本容量固定时， 一类错误概率的减少导致另一类错误概率的增加. 要同时降低两类错误的概率 , 或者要 在 不变的条件下降低 ，需要增加样本容量.
和的关系就像 翘翘板，小就 大， 大就小
你不能同时减 少两类错误!
5.4.3 假设检验中的大样本方法
前面的各假设检验中均假设总体X服从正态 分布。在总体X的概率分布未知，但样本容量n 充分大时，根据中心极限定理知，可以近似地 应用前面的各种假设检验方法。（例略）
基本概念
假设 H 0 : 0
H1 : 0
x 0
原假设
(双边)备择假设 检验统计量 显著性水平
统计量 z 正小数α
n
x 0 P{ k} P拒绝H 0 | H 0为真 n
区域
C :| z | k
(H0的)拒绝域
拒绝域的边界点 z 2 , z 2
接受H0
拒绝域
临界点
u
拒绝域
u
拒绝H0
z 2
临界点
z 2
u
拒绝H0
检验问题提法: 在显著性水平α下,检验假设 H 0 : 0 ; H1 : 0 双边检验
H 0 : 0 ; H1 : 0 即 H 0 : 0,H1 : 0 H 0 : 0 ; H1 : 0 即 H 0 : 0,H1 : 0
左边检验 右边检验
单正态总体方差已知时均值的
双边检验拒绝域
类似可得:
| z | z
2
左边检验拒绝域 z z x 0 P{ z } P拒绝H 0 | H 0为真 n
右边检验拒绝域 z z x 0 P{ z } P拒绝H 0 | H 0为真 n
方差 2未知情形 — t 检验法
(1) 双边检验 H 0 : 0 , H1 : 0 , 对于给定的显著性水平 , 查分布表得 k t 2 ,
x 0 | t 2 ( n 1), 可得拒绝域为 | t || s n
右边检验: 拒绝域为
(2)
H 0 : 0 , H1 : 0 , x 0 t t ( n 1). s n H 0 : 0 , H1 : 0 , x 0 t t ( n 1). s n
(3)
左边检验:
拒绝域为
2 检验法 2 2 (1) 检验假设 H 0 : 2 0 , H1 : 2 0 .
拒绝域为
2
n1
(2)
02 2 右边检验: H 0 : 2 0 , H 1 : 2 02 ,
拒绝域为
或
2
n1
2 0
S 2 12 2 ( n 1)
2 S 2 2 ( n 1).
2
n1
2
2 0
S ( n 1).
2 2
2 0 2 2 0
(3)
左边检验:
拒绝域为
H 0 : , H1 : , n1 2 2 2 2 S 1 ( n 1).
0
正态总体的假设检验一览表
H0
H1
条件 方差
检验统计量及分布
拒绝域
0 0
0 0
0 0
Z
X 0 ~ N (0,1) n
z z 2
z z
2
已知
z z
t t 2 ( n 1)
0 0
0 0 0
0
方差
T
2
未知
t t ( n 1) X 0 ~ t ( n 1) S n t t ( n 1)
H0
H1
2 0 2 0
条件
检验统计量及分布
拒绝域
2 12 / 2 ( n 1) 或
2
2 02
2 02
2
均值
未知 方差 12 , 22 已知
2
( n 1) S
2
02
2 12 / 2 ( n 1)
2 2 ( n 1)
2 02
2 02
~ 2 ( n 1)
2 12 ( n 1)
| z | z / 2
1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0
1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0
Z
X Y 0
2 1
n1
2 2
n2 ~ N (0,1)
z z
z z
1 2 0 1 2 0
1 2 0 1 2 0
X Y 0 | t | t / 2 ( n1 n2 2) 方差 T 12 , 22 Sw 1 1 t t ( n1 n2 2) n1 n2 未知,但 2 ~ t ( n1 n2 2) t t (n1 n2 2) 12 2
练习： 对甲、乙两种玉米进行评比试验，得如下产量资料 甲：951 966 1008 1082 983 乙：730 864 742 774 990 问这两种玉米的产量差异有没有统计意义？ 0.05
解：再对均值作检验：H 20 : 1 2 ,
H 21 : 1 2
x 998.0, s12 51.52 ;
由 T
2 y 820.0, s2 108.62
因为已假设方差相等，故用 T 检验。
998 820 51.52 4 108.62 4 1 1 8 5 5
3.31 2.306 t0.025 8
所以拒绝原假设 H20，即认为两种玉米的产量差异 有统计意义。
练习： （P161 Ex20）测得两批电子器材的样本的电阻为： （单位：） 第一批：0.140 0.138 0.143 0.142 0.144 0.137 第二批：0.135 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140 设这两批器材的电阻均服从正态分布，试检验 2 H0：12 2 ( 0.05) 解 这是一个两正态总体的方差检验问题，用F检验法
2 2 假设 H 0 : 12 2 ; H1 : 12 2
由样本观测数据得
2 S12 0.00282 ; S2 0.00272 所以 F 1.108
而 F10.025 (5,5) 0.13993; F0.025 (5,5) 7.14638
所以，接受原假设，即可认为两批电子器材的方差相等
例:比较甲,乙两种安眠药的疗效。将20名患者分成两 组,每组10人.其中10人服用甲药后延长睡眠的时数分 别为1.9, 0.8, 1.1, 0.1, -0.1, 4.4, 5.5, 1.6, 4.6, 3.4; 另10人服 用乙药后延长睡眠的时数分别为0.7, -1.6, -0.2, -1.2, -0.1, 3.4, 3.7, 0.8, 0.0, 2.0.若服用两种安眠药后增加的睡眠时 数服从方差相同的正态分布.试问两种安眠药的疗效 有无显著性差异?(=0.10) 解: H 0 : 1 2 ; H1 : 1 2
H 0下, T Sw X Y ~ t (18) 1 10 1 10
由p{ T t0.05 (18)} 0.05，即得拒绝域 T t0.05 (18) 1.7341.
这
里: x 2.33, s1 2.002
y 0.75, s2 1.789
2 9s12 9s2 sw 1.898 18
| t |
sw
| x y| 1.86 1.7341 1 10 1 10
拒绝H0
认为两种安眠药的疗效有显著性差异
H 0 : 1 2 ; H1 : 1 2
H 0下, T Sw
上题中,试检验是否甲安眠药比乙安眠药疗效 显著?
X Y ~ t (18) 1 10 1 10
由p{T t0.1 (18)} 0.1，即得拒绝域 T t0.1 (18) 1.3304
这里:t=1.86>1.3304,故拒绝H0,认为甲安眠药比乙安 眠药疗效显著
上题中,试检验是否乙安眠药比甲安眠药疗效 显著?