空间向量的应用二
济宁一中高二年级下学期数学理科练习(二)
立体几何中的向量方法复习学案(二)
1.(2014·课标全国Ⅱ)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为( ) 12302A. B. C. D.105102
2.(2016·课标全国乙)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,平面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.
(1)证明:平面ABEF⊥EFDC; (2)求二面角E-BC-A的余弦值.
热点一 利用向量证明平行与垂直
设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α,β的法向量分别为μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3)则有: (1)线面平行
l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0. (2)线面垂直
l⊥α⇔a∥μ⇔a=kμ⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2. (3)面面平行
α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3. (4)面面垂直
α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v=0⇔a2a3+b2b3+c2c
3=0.
例1 如图,在直三棱柱ADE—BCF中,面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直,点M为AB的中点,点O为DF的中点.运用向量方法证明:
(1)OM∥平面BCF; (2)平面MDF⊥平面EFCD.
跟踪演练1 如图,在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,点E,F分别是PC,PD的中点,PA=AB=1,BC=2.
(1)求证:EF∥平面PAB; (2)求证:平面PAD⊥平面PDC.
热点二 利用空间向量求空间角
设直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).平面为μ=(a3,b3,c3),v=(a4,b4,c4)(以下相同). (1)线线夹角
π
设l,m的夹角为θ(0≤θ≤),
2
|a1a2+b1b2+c1c2||a·b|
则cos θ=|a||b|a1+b+ca+b+c11222(2)线面夹角
π设直线l与平面α的夹角为θ(0≤θ,
2|a·μ|
则sin θ=|cos〈a,μ〉|.
|a||μ|(3)面面夹角
设平面α、β的夹角为θ(0≤θ
|μ·v|
|cos〈μ,v〉
|. |μ||v|
α,β的法向量分别
例2 (2015·江苏)如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BADπ
=PA=AD=2,AB=BC=1. 2
(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;
(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.
跟踪演练2 如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,底面△ABC是直角三角形,AB=AC=1,AA1=2,点P是棱BB1
→→
上一点,满足BP=λBB1 (0≤λ≤1).
1
(1)若λ=,求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值;
32
(2)若二面角P—A1C—B,求λ的值.
3
热点三 利用空间向量求解探索性问题
存在探索性问题的基本特征是要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立.解决这类问题的基本策略是先假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论,然后在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假设;否则,给出肯定结论.
例3 如图所示,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,E为BC的中点.
(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值;
(2)在线段AN上是否存在点S,使得ES⊥平面AMN?若存在,求线段AS的长;若不存在,请说明理由.
跟踪演练3 如图,已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB,且AB=BP=2,AD=
AE
=1,AE⊥AB,且AE∥BP.
(1)设点M为棱PD的中点,求证:EM∥平面ABCD;
2
(2)线段PD上是否存在一点N,使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于?若存在,试确定点N的位置;若
5不存在,请说明理由.
1
如图,在五面体中,四边形ABCD是矩形,AB∥EF,AD⊥平面ABEF,且AD=1,AB=EF=22,AF=BE=2,
2点P、Q分别为AE、BD的中点.
(1)求证:PQ∥平面BCE; (2)求二面角A-DF-E的余弦值.
→3→1→1→
1.已知平面ABC,点M是空间任意一点,点M满足条件OM=++,则直线AM( )
488A.与平面ABC平行 B.是平面ABC的斜线 C.是平面ABC的垂线 D.在平面ABC内
→→
2.如图,点P是单位正方体ABCD—A1B1C1D1中异于A的一个顶点,则AP·AB的值为( )
A.0 C.0或1
B.1 D.任意实数
3.在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,12).若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则( ) A.S1=S2=S3 C.S3=S1且S3≠S2
B.S2=S1且S2≠S3 D.S3=S2且S3≠S1
4.如图,三棱锥A-BCD的棱长全相等,点E为AD的中点,则直线CE与BD所成角的余弦值为( )
A.C.3
633 6
B.32
1D.2
5.已知正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于( ) A.
→→
6.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动,则DC·AP的取值范围是________.
7.在一直角坐标系中,已知点A(-1,6),B(3,-8),现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角,则折叠后A、B两点间的距离为________.
→→→→→→→→→8.已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,①(A1A+A1D1+A1B1)2=3A1B12;②A1C·(A1B1-A1A)=0;③向量AD1与向量A1B→→→的夹角是60°;④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|AB·AA1·AD|.其中正确命题的序号是________
.
61023
B. C. D.4422
9.如图所示,正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直,△ABE是等腰直角三角形,AB=AE,FA=FE,∠AEF=45°.
(1)求证:EF⊥平面BCE;
(2)设线段CD,AE的中点分别为点P,M,求证:PM∥平面BCE.
10.如图所示的多面体中,EA⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,AC⊥BC,且AC=BC=BD=2AE=2,点M是AB的中点.
(1)求证:CM⊥EM;
(2)求平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值.
11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sin α的取值范围是( )
A.[
3
1] 3
B.[
6
,1] 3
C.[
622332D.[1]
3
12.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在直线BC1上运动时,有下列三个命题:①三棱锥A-D1PC的体积不变;②直线AP与平面ACD1所成角的大小不变;③二面角P-AD1-C的大小不变.其中真命题的序号是________.
13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E、F分别为BB1、CD的中点,则点F到平面A1D1E的距离为______________.
14.如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1=AB=AC=1,点E,F分别是CC1,BC的中点,AE⊥A1B1,点D为棱A1B1上的点.
(1)证明:DF⊥AE;
(2)是否存在一点D,使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为说明点
D的位置,若不存在,说明理由.
14
?若存在,
14