让学生参与概念形成的全过程_基于_APOS理论_的教学设计及思考
教学论坛
(2011年第5期 初中版)
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让学生参与概念形成的全过程
基于 APOS 理论 的教学设计及思考
312000 浙江省绍兴市第一初级中学教育集团 徐 伟
1 引言
APOS 理论 是美国数学教育家杜宾斯基在数学教育研究的实践中提出的关于概念教学的一种理论模型. 该理论认为:学生学习数学概念的过程其实是一种自我心理建构的过程, 在这个过程中学生只有调整自己的认知结构或改造外部的认知结构, 使得主客观彼此一致, 才能建构起新的认知结构. 一般来说, 这一建构过程要经历四个阶段:活动阶段(A ction) 、过程阶段(Process) 、对象阶段(O bject) 和图式阶段(Sche m e), 取这四个阶段英文单词的首个字母, 故命名为 APOS 理论 , APOS 理论 的科学性和实用性为数学概念教学提供了有力的理论支持. 现结合绍兴市优质课大赛中某位选手的设计片段, 谈谈 APOS 理论 应用于概念教学的一些思考.
本次大赛所选的内容是浙教版 数学 八年级(上) 第七章第二节第1课时的 认识函数(1) . 该参赛选手的教学设计科学而合理, 其过程基本分为活动、过程、对象、图式四个阶段, 并把 理解数学 、 理解学生 、 理解教学 这三个课堂教学的基本要素融于其中. 2 教学设计与意图
2. 1 活动阶段 在情境里感知
问题1 本校要召开秋季运动会, 八(2) 班同学准备买某种水果. 若水果的单价是10元/千克, 八(2) 班的同学买了x 千克, 所需金额为y 元, 请填写表格:
数量x (千克) 金额y (元)
15
20
25
30
x
填写下表(保留三个有效数字)
助跑速度v (米/秒) 跳远的距离s (米)
7. 5
8
8. 5
通过设计以上两个问题, 让学生在活动阶段用身边的情境感知新知识, 润物无声 地体验、探究情境中两个变量之间的关系, 这种探究式教学的设计, 可以让学生亲身经历函数概念的形成过程, 切身感受函数概念中的几个关键词的科学性与合理性, 从而可加深学生对概念的理解, 对于刚学习抽象函数概念的学生来说, 这样做尤为重要.
2. 2 过程阶段 在感知中思考
过程阶段 是学生对 活动阶段 内容的思考与提炼, 这个思考与提炼过程对学生来讲也许很抽象、很痛苦, 犹如黎明(函数概念得出) 前的黑暗, 但却是必不可少的. 通过 活动阶段 的操作感知, 学生对函数的概念有了一些感性的认识, 但只是表面的、浅层的, 这时需要教师在这个阶段及时地引导、启发.
教师引导:在问题1这个变化过程中, 有两个变量x, y , 对x 的每一个确定的值, y 都有唯一确定的值. 同样在问题2这个变化过程中, 有两个变量v, s , 对v 的每一个确定的值, s 都有唯一确定的值.
学生总结(教师适当补充):一般地, 在某个变化过程中, 设有两个变量x , y, 如果对于x 的每一个确定的值, y 都有唯一确定的值, 那么就说y 是x 的函数, x 叫做自变量.
y =10x, s =0. 085v , 这两个函数用等式来表示, 这种表示函数关系的等式, 叫做函数解析式, 简称函数式. 用函数解析式表示函数的方法也叫解析法.
上面两个问题:y =10x 中, 是 的函数, 2
能否用含有x 的代数式来表示y?
问题2 小强在今年的校运会跳远比赛中跳出了满意一跳, 其跳远的距离s(米) 与助跑的速度v (米/秒) 有
关.
s 2
2
s =0. 085v 中, 是 的函数, 是自变量.
以上面两个问题情境为载体, 分析两个变量的对应关系, 挖掘它们的共性, 进而归纳出函数的概念. 这个过程阶段的设计是对活动阶段内容的思考、反省和抽象的需要, 是揭示概念的本质特征、发现数学不变关系、发展学生能力的需要.
2. 3 对象阶段 在思考时辨析
在数学教学中, 引导学生对课堂中的发现进行整理、补充和完善, 并用简练的文字、符号或图形表示发现的结论. 在 对象阶段 , 教师可引领学生将函数作为一个新的对象来认识, 对其进行形式化、工具化地表达.
2. 3. 1 函数表示方法
函数y =10x, s =0. 085v . (解析法)
数量x (千克) 金额y (元)
15150
20200
25250
3030085. 44
8. 56. 14
x
2
2
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2. 3. 2 函数值
请你思考:对于函数y =10x, 当x =50时, 能求得y 的值吗? 怎么求?
如图2, 图象表示1500米赛跑时热量消耗W (焦) 与身体质量x (千克) 之间的关系.
图2
当x =30千克时, 函数值W =.
由于函数值的概念与代数式值的概念比较相似, 因此紧接函数表示方法后研究函数值, 目的是让学生感悟函数值的概念与代数式值的概念之间的联系.
助跑速度v (米/秒) 跳远的距离s (米)
7. 5
4. 78
2. 4 图式阶段 在辨析后储存
回顾、辨析和反思对概念教学来说特别重要, 此时教师需要做的是帮助学生明确概念的本质属性和非本质属性, 揭示蕴含在概念中的知识技能和思想方法, 以便于概念以一种完整的心理图式储存于学生的大脑中.
(1) 回眸思考:小强在今年的校运会跳远比赛中跳出了满意一跳, 其跳远的距离s(米) 与助跑的速度v(米/秒) 有关. 根据经验, 跳远的距离s =0. 085v (0
分别求当v =6, v =10时的函数值, 并说明他们的实际意义;
当v =16时, 函数值有意义吗? 为什么?
2
(列表法)
运动会前一天某时间段内气温变化如图1所示:
图1
(2) 本次运动会八(2) 班取得了非常好的成绩, 班主任王老师准备让小刚去买笔记本作为运动员的奖品.
批发单价与批发数量之间的关系如下表:
(图象法)
此处呈现出函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法, 引导学生自主探究、归纳、
价值.
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y 是x 的函数吗? 为什么?
分别求当x =30, 40, 60和120时的函数值, 并说明他们的实际意义;
若笔记本的批发单价为2. 3元, 你能确定笔记本的数量吗?
函数概念的掌握是一个循序渐进的过程, 因此教师需设计一定的练习来巩固新知、深化概念, 这里问题2中的第(3) 小题的设计目的是让学生体会函数概念中 一对一 与 多对一 的思想, 这样的设计有利于学生有效理解此本质属性和蕴含于函数概念中的思想方法. 3 AP O S 理论 应用于概念教学的几点思考3. 1 理解数学, 为概念教学的顺利展开做好准备
APOS 理论 为我们提供了一种概念教学的有效策略, 但作为教师首先必须理解我们所教的数学, 理解该数学知识包涵的内容、方法和科学价值. 只有这样, 才能在概念教学展开时做到心中有底、左右逢源, 随时都能把握住精彩的生成. 众所周知, 此概念在历史上经历了二百多年、三次修正的过程, 才归纳、总结、抽象、概括为现行初中课本中函数的概念, 函数概念是初中数学最抽象、学生最难学的内容. 鉴于此, 编者在编教材时, 也充分考虑到让学生参与函数概念形成的全过程, 把传授知识与培养能力两个目标结合起来. 此文把自己对函数的独特理解融于设计之中, 不但考虑到了函数概念的历史形成过程, 也充分考虑了函数概念的精确性与科学性. 3. 2 理解学生, 让学生亲生经历概念形成的全过程
APOS 理论 强调学生的学习是一个主动建构的过程, 每个学习者都以自己的原有的认知结构为基础对新的信息进行编码, 建构自己的理解; 如果没有学生的主动参与、自行建构, 即使教师讲得天花乱坠, 也只能是 强按牛头喝水 , 学生最多也只是记住概念的定义, 而不会灵活应用, 效果可想而知. 更何况, 函数是学生进入初中以来第一次碰到的内容, 且概念本身具有高度的抽象性, 学生理解函数概念相当的困难. 因此, 为了让学生尽快、有效地掌握函数的概念, 教师应以学生身边的问
, 学. 此文中这位教师就以学校刚举行的运动会为情境来设计问题, 大大调动了学生的学习积极性, 课堂上学生反应很好.
3. 3 理解教学, 为构建概念的心理图式做好保障
APOS 理论 揭示了概念形成的规律性和概念习得的层次性, 它符合数学知识的形成规律和学生学习的认知规律. 学生从感知到掌握概念是一个循序渐进的过程, 不可能一蹴而就, 特别是作为一个贯穿于整个中学阶段的核心概念, 函数的概念教学更应采用循序渐进的方式, 在教学中教师应让学生经历概念形成的全过程, 通过让学生对现实世界的观察和体会, 来发现某些事物的共同属性, 进而抓住事物的本质特征进行提炼、归纳、概括. 此文中设计者通过几个与函数概念相关的事例来归纳它们的共同本质特征, 其设计既符合学生的认知规律, 又能让学生体会到函数来源于生活、应用于生活的道理.
在概念教学中, 我们还需注意的是在初始阶段应给予学生大量正面的例子, 以此来构建学生自己对概念的认识. 另一方面, 概念的辨析对学生来讲也很有必要, 例如此文中设计了当函数值确定时, 自变量不唯一的例子, 这样的设计对学生进一步理解函数的概念是比较有效的.
参考文献
1 曾庆丰, 吴明龙, 孙延洲. 基于数学核心概念、思想方法的教学案例[J].中学数学教学参考, 2009
2 雷晓丽, 马岳, 章建跃. 一节以函数历史发展为主线的函数概念探究课[J].中学数学教学参考, 2009
3 刘金英. 理解数学课堂教学的三要素[J].中学数学教学参考, 2010, 7
4 邬云德. 基于 APOS 理论 的课例 圆(1) [J].中学数学, 2010, 9
5 张伟俊. 基于A PO S 理论的数学概念教学策略的实践与思考[J].中学数学教学参考, 2010, 12
6 徐伟. 函数概念课教学示例[J].中学数学教学参考, 2011
(收稿日期20110309)