数列的解题技巧

数列的解题技巧

编稿：林景飞 审稿：张扬 责编：严春梅 【命题趋向】

从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势：

1. 等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有. 2. 数列中

与

之间的互化关系也是高考的一个热点.

3. 函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.

4. 解答题的难度有逐年增大的趋势, 还有一些新颖题型, 如与导数和极限相结合等. 因此复习中应注意：

1. 数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决. 如通项公式、前n 项和公式等.

2. 运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量

、

（或），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.

3. 分类讨论的思想在本章尤为突出. 学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意

和

两种情况等等.

与

的转化；将一些数列转

4. 等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外. 如

化成等差（比）数列来解决等. 复习时，要及时总结归纳.

5. 深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.

6. 解题要善于总结基本数学方法. 如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.

7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.

【考点透视】

1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.

2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解答简单的问题.

3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题.

4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位. 高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏. 解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分

度. 有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法. 应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.

【例题解析】

考点一：正确理解和运用数列的概念与通项公式

理解数列的概念, 正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式. 1．（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以

表示第n 堆的乒乓球总数，则

____________（答案

____________；

用n 表示）.

……

思路启迪：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是1，3,6,10, …，推测出第n 层的球数。

解答过程：显然

.

第n 堆最低层（第一层）的乒乓球数，总

数

相

当

于

前

n

堆

乒

乓

球

的

低

层

，第n 堆的乒乓球数数

之

和

，

即

所以：

2．（2007年湖南卷理）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第____________行；第61行中1的个数是

____________．

第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1

…… …………………………………

思路启迪：计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。 解：第1次全行的数都为1的是第=1行，

=3行， =7行，

第2次全行的数都为1的是第 第3次全行的数都为1的是第 ······，

第次全行的数都为1的是第 第61行中1的个数是25=32．

考点二：数列的递推关系式的理解与应用

行；

在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形 ，转化为常见的类型进行解题。 如叠加法：若到数列

的通项. ，

，

，…，

且

；我们可把各个关系式列出来进行叠加求和，可得

∴

再看叠乘法：且，可把各个商列出来求积。

另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题。

3．（2007年北京卷理）数列），

且

中，

，

（

是常数，

成公比不为的等比数列．

（I ）求的值；（II ）求 思路启迪：（1）由

的通项公式．

成公比不为的等比数列列方程求；

（2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出公式. 解： （I ） 因为 当 （II ）当

时，时，由于

，

，

，

，

，

，

，

，解得．

或

．

与n 之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项

成等比数列，所以

，不符合题意舍去，故

所以 又 当 所以

，

，故

．

．

时，上式也成立，

．

小结：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.

则

( )

4．数列

满足，，…．若，

（Ａ） （Ｂ） ３ （Ｃ） ４ （Ｄ） ５

思路启迪：对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用. 解答过程1：

，

.

相叠加得.

解答过程2：

，

，

.

，

，

.

由得：

，

解答过程3：

，因为，所以.

由得：

从而；；…；.

叠加得：.

，

， 从而.

小结：数列递推关系是近几年高考数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。

对连续两项递推 对连续三项递推的关系

，则上递推关系式可化为

考点三：数列的通项

与前n 项和

，可转化为

，如果方程或

； 有两个根.

之间的关系与应用

与的关系：，数列前n 项和时，一定要注意条件

的式子问题时，通常转化为只含

中,

和通项是数列中两个重

要的量，在运用它们的关系式证

是否适合。解决含

与

，求通项时一定要验或者转化为只

, 若数列

的式子.

5．（2006年辽宁卷） 在等比数列

等于（ ） (B)

(C)

, 前项和为

也是等比数列, 则 (A)

(D)

命题目的：本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。 过程指引：因数列

为等比，则

，因数列

也是等比数列，则

即

6. 已知在正项数列

中，或者只含

表示前n 项和，且的递推关系式.

时，

；

，即

，求

.

，所以

，故选择答案C.

思路启迪：转化为只含 解答过程1：由已知 当 又

时，

，得当，代入已知有. ，故

，

.

∴数列 故

是首项为.

，公差的等差数列，

解答过程2：由已知，得当n=1时，；

当 所以

时，因为

，

，所以

，

.

，因为

，所以

.

考点四：数列中与n 有关的等式的理解与应用

得到另外的式子。也可以把

对数列中的含n 的式子，注意可以把式子中的n 换为

n 取自然数中的具体的数1，2，3…等，得到一些等式归纳证明.

7．（2006年福建卷）已知数列

的通项公式； 满足

(

), 证明:

满足

(

)

（Ⅰ）求数列 （Ⅱ）若数列

是等差数列;

思路启迪：本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。把递推关系式变形转化。 解答过程： （I ）解：∵ ∴ （II ）证法一：∵ ∴ ∴

即

①

②

是以

即

，∴

为首项，2为公比的等比数列。 （

）

，

②－①，得

③－④，得 故

考点五：等差、等比数列的概念与性质的理解与应用 在等差、等比数列中，已知五个元素

是等差数列.

④

，即 ③

， 即

中的任意三个，运用方程的思

和公差

或，

想，便可求出其余两个，即“知三求二”。本着化多为少的原则，解题时需抓住首项（或公比）。另外注意等差、等比数列的性质的运用. 例如 （1）等差数列 等比数列 （2）等差数列数列，且公差 为

；

中（.

中，项数n 成等差的项中，

；

也成等差数列.

.

）的前n 项和为

，则

中，若中，若的前n 项为

，则

，则，则

.

；

成等差

等比数列成等比数列，且公比 （3）在等差数列 （4）在等差数列

在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式. 注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.

8．（2006年江西卷）已知等差数列

的前n 项和为＝（ ）

，若

，

且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则

A ．100 B. 101 C.200 D.201

命题目的：考查向量性质、等差数列的性质与前n 项和。 过程指引：依题意，

，故选A

9．（2007年安徽卷文、理）

某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 是一个公差为

, 因此，历年所交纳的储备金数目

,

， …

的等差数列. 与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，

而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率 为（

）, 那么, 在第年末，第一年所交纳的储备金就变为

，……. 以

与

（

，第二年所交

纳的储备金就变成 （Ⅰ）写出 （Ⅱ）求证

表示到第年末所累计的储备金总额.

）的递推关系式； ，其中{

}是一个等比数列，{

}是一个等差数列.

命题目的：本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数字模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力. 解： （I ）我们有 （II ）

=…=

在①式两端同乘1+r，得

②－①，得

②

，对

反复使用上述关系式，得

①

即

记，，则

，其中{}是等比数列，且首项为，公比为

；是等差数列，且首项为，公比为.

点评：解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．

考点六：等差、等比数列前n 项和的理解与应用

等差、等比数列的前n 项和公式要深刻理解。等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次

函数；等比数列的前n 项和公式

是关于n 的指数函数，当

10．（2007年广东卷理）已知数列, 则k=（）

时，

（.

），因此可以改写为

的前n 项和, 第k 项满足

A ．9 B ．8 C ．7 D ．6

思路启迪：本小题主要考查数列通项和等差数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力． 解：此数列为等差数列， 足:且

是以q 为公比的等比数列.

； 证明数列

是等比数列；

11．（2007

年湖北卷文）已知数列

和

满

，由5

（Ⅰ）证明： （Ⅱ）若

（Ⅲ）求和：.

命题目的：本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力． 解法1：

（I ）证：由 （II ）证：

，有，

，

，

．

，

∴

是首项为5，以

为公比的等比数列．

．

（III ）由（II ）得，，于是

当时，

故

解法2：

（I ）同解法1（I ）．

（II ）证：

是首项为5，以

（III ）由（II ）的类似方法得

当

为公比的等比数列．

，又，

，

． 时

，

．

，．

，．

考点七：数列与函数的迭代问题

．下同解法1．

由函数迭代的数列问题是近几年高考综合解答题的热点题目，此类问题将函数与数列知识综合起来，考察函数的性质以及函数问题的研究方法在数列中的应用，涉及的知识点由函数性质、不等式、数列、导数、解析几何的曲线等，另外函数迭代又有极为深刻的理论背景和实际背景，它与当前国际数学主流之一的动力系统（拓扑动力系统、微分动力系统）密切相关，数学家们极为推崇，函数迭代一直出现在各类数学竞赛试题中，近几年又频频出现在高考数学试题中.

上，

12．（2006年山东卷）已知数列

中，，点在直线y=x

其中n=1,2,3…. (Ⅰ) 令 (Ⅱ) 求数列

，求证的通项；

是等比数列；

(III)设、分别为数列、的前n 项和, 是否存在实数，使得数列

为等差数列？若存在，试求出. 若不存在, 则说明理由.

是等比数列；对

可由已知用叠加法求出求。

思路启迪：利用等比的定义证明求出

与

便可顺利求出第三问.

解答过程：

（I ）由已知得

又

，

是以为首项，以为公比的等比数列.

（II ）由（I ）知， ，，…， 将以上各式相加得：

（III ）解法一：

存在，使数列是等差数列.

数列是等差数列的充要条件是

即

、是常数

（

又 当且仅当，即时，数列为等差数列.

解法二：存在，使数列是等差数列.

由（I ）、（II ）知，，

.

又.

∴.

当且仅当时，数列是等差数列.

13（2007年陕西卷理） 已知各项全不为零的数列的前k 项和为 且（），其中

（Ⅰ）求数列

的通项公式；

（II ）对任意给定的正整数

，数列满足

. 求

.

.

∴

.

，

思路启迪：注意利用 解：

解决问题．

（Ⅰ）当，由及，得．

当 因为

时，由，所以

，

．从而

．故

，得

．

．

（Ⅱ）因为，所以．

所以

故

考点八：数列综合应用与创新问题

数列与其它数学知识的综合性问题是高考的热点，全面考察数学知识的掌握和运用的情况，以及分析问题解决问题的能力和思维的灵活性、深刻性、技巧性等，涉及的数学思想方法又从一般到特殊和从特殊到一般的思想、函数与方程的思想、探索性思想等。 时

14．（2006年湖南卷）在（

）个不同数的排列

与

中，若

（即前面某数大于后面某数），则称构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的的逆序数为

，如排列21的逆序数

总数称为该排列的逆序数. 记排列

，排列321的逆序数则

=____________，

.

=____________，的表达式为____________；

命题目的：考查排列、数列知识.

过程导引：由已知得

15．设

是定义在

，，.

上的单调可导函数. 已知对于任意正数，

都有 （Ⅰ）求

，并求的值；

，且.

（Ⅱ）令 （Ⅲ）设 数列 求证：

是曲线

，证明数列在点

，

是等差数列； 处的切线的斜率（

），

的前项和为

.

思路启迪：根据已知条件求出函数中要求．

解答过程：

的关系式，求出的递推关系式然后可求解题

（Ⅰ）取，；

再取，则，即

，

∵

是定义在

上的单调函数

∴，解得，或（舍去）.

（Ⅱ）设，则，

再令，则，即

∵是定义在上的单调函数

∴，即，解得：或，

又，则，，

由，所以是等差数列.

（3）由（2）得，，则

所以；

又当时，，

则 故.

16．（2007年广东卷理）已知函数，

是方程

个根

，

是的导数；设

，（n=1,2,……）

（1）求

的值；

（2）证明：对任意的正整数n ，都有；

（3）记（n=1,2,……），求数列{}的前n 项和．

思路启迪：（1）注意应用根与系数关系求的值；

（2）注意先求

；

的两

，

（3）注意利用 解： （1）∵

，

的关系．

是方程的两个根，

∴，．

（2）， ，∵ ∴由基本不等式可知

同样，…， （3） 而，即， 同理， 又 .

，

（当且仅当（n=1,2,……）．，

，

，

时取等号），∴

，