美国加州小学数学教材编写特点研究

【摘 要】 本文主要通过结合美国在2000年颁布的《原则和标准》，对美国加州的小学数学教材――California Mathematics的教材编写特色进行分析。其中，笔者单以“数与运算”部分的内容为主要研究对象。本文以静态研究为主要研究方式，采用文献研究法、内容分析法、统计法等方法，对该教材中“数与运算”知识的编写理念、内容和呈现形式进行定性和定量分析。从研究中笔者发现，California Mathematics版教材的编写特色主要在于：严格按照《原则和标准》的要求进行编写；知识内容的编排上符合布鲁姆“螺旋式上升”的教材编写要求，整套教材的内容循序渐进，符合儿童认知发展规律；素材选择重视知识的实际运用和问题解决，并以问题解决为主线进行整章的编写；在文本设计、图片选取方面，文字与图片比重协调，配图考究。总的来说，整套教材的编写严谨细致，具有实际效用。

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【关 键 词】 CM版小学数学教材 ； 数与运算；编写特点

【作者简介】 牛梦雪，天津市津南区小站第六小学教师。

一、导论

“为什么我们的学校总是培养不出杰出人才？”著名的钱学森之问困扰着一代代的教育工作者。教材作为教师进行教学的好帮手，在教学过程中扮演着重要的角色。笔者欲通过对美国小学数学教材的研究来探索：到底美国的小学教材有何特点？其在编写过程中能否达到“螺旋上升式”的教材编写要求？

笔者认为，从1989年美国出台《学校数学的课程与评价标准》，历经1991年《数学教学专业标准》，1995年《学校数学教育的评估标准》，再到2000年《原则和标准》的正式出版，美国小学数学教材在编写中所面临的问题，以及美国数学教育改革走过的风雨历程或能为我国的课程改革提供一定的借鉴作用。虽然我国对教材的研究和评价已日趋成熟，但由于各国各地区在不断进行着课程的改革和教材的优化，故对教材的研究始终是一个富有探索空间的领域。

在《原则和标准》中，将数学教育的标准归纳为以下几个部分：数与运算、代数、几何、度量、数据分析与概率、问题解决、推理与证明、交流、关联和表征，共十个大类。笔者在研究的过程中以我国2011版新课标为隐性参考对象，从其中选取“数与运算”这一部分作为主要研究对象，期望能对我国小学数学教科书的相关部分改革有所启示。

在我国课程改革如火如荼进行的大背景下，许多专家和学者也对东西方的数学课程教材设计怀有极高的研究热情，这也为本研究的开展提供了较全面的参考和指引。

二、CM版教材中“数与运算”内容的教材编写概述

美国大多数州的学制为“五三四制”，即小学五年、初中三年、高中四年。《原则和标准》中根据美国的学制也对“数与运算”做出明确的具体要求：①理解数、表征的方法、数量关系及数系；②理解运算的意义及各运算间的联系；③熟练地计算并进行合理的估算。也就是说，数与运算既包含对数的认识，分类和性质，同时也包括数和算数的深刻理解和熟练运算。在CM版教材中，每一册书都将数感（Number Sense）作为第一章，足以见得数感在儿童最初接触数学中所应占有的重要地位。我国将数感纳入到课程标准是在2001年，但是在教材的编写过程之中却没有像CM版的教科书一样，在目录上很明确地将其标识出来，当做一个基础的章节来学习。数学的学习是儿童生活经验的延伸和提高。根据皮亚杰的认知发展阶段理论来看，小学阶段的儿童处于具体运算阶段（7～11岁），该时期的儿童在认知结构上已经发生很大的重组和改造，具有一定的思维弹性，对质量守恒概念图1目录中用红色标识出的“代数学”的掌握也已趋近成熟和稳定。CM版教材在内容的比例安排上符合儿童的认识和思维水平发展的特征，有利于培养儿童的抽象思维、空间想象思维和创新意识。

仅次于“数与运算”的是代数，这是因为代数的基本概念和模型的学习是跟数与运算的学习密不可分的。在该版教材的目录上，都明确的将教材中涉及到代数内容的部分标注出来（如图1）。

数和数的运算的学习贯穿于整个小学阶段，学生对于它的学习重点在于：发展数感、理解数和运算以及进行熟练的算数运用。其中，“发展数感”是CM版教材中“数与运算”部分在教材编写中应重视的“核心概念”，主要包含有以下几个方面：

1. 数的理解。包含对自然数、分数、小数和百分数的理解。在对自然数的理解中主要为对1000以内的数的理解，并在理解数的表征的过程中提升学生的数感。以Grade1 Chapter1的Patterns and Number Sense（模式和数感）为例进行分析结果如下：

CM版教材运用“数苹果”的方式开门见山的引入0～10的数字表征。其既呈现“苹果”这一具体的物象，同时直观地列出各数间的大小关系，便于学生感受数字之间的大小关系，产生0到10之间是逐次递增的数字逻辑（如图2）。

数学符号的学习，是学生打开数学学习大门的至关重要的一把钥匙。除要理解自然数的意义外，也要掌握数的认、读、写的方式。因此，笔者将我国人教版（2011版）与CM版在数的书写的教材表现上进行了对比（如图3）。

可以看出两者之间的相同点在于：（1）有具体实物呈现；（2）数字的表征都给出书写的表格，要求书写规范；（3）给出范例描摹。不同在于：（1）取图：人教版采用乡村生活的情境，符合我国的基本国情。而CM版采用的是与导入中相同的实物，有利于建立量和表征之间的联系；（2）人教版是顺序书写，CM版的采用的是乱序书写；（3）前者循序渐进地体现由具体的实物到图形到点数再到抽象的数字符号的过程，在数字符号的下方还有对应的珠子。笔者认为，该配图再现出思维的发展进程，便于儿童抽象思维的发展，但是排版不够直观；（4）人教版呈现多个的示范数字，便于学生在书写时养成规范书写的习惯。而CM版则只给出1个范例，给学生以展现自我个性的空间。总之，两版教科书在数的书写的教材展现上各有所长。 　　与自然数的学习区别较大的是分数、小数和百分数的理解。该部分主要集中于中高年级。主要原因是，这类数的学习需要建立在对基本的“自然数”的学习之上。对不同年级的学习要求也是层层递进。在Grade2中，对于分数的学习在于掌握分数的书写方法，要求掌握“1/2到1/12”的简单分数，并能够进行大小判断。而Grade3对分数的学习着重对分数意义的理解、对“单位1”概念的初步感知和灵活的运用（包括同分母的加减运算和与小数的转换）。Grade4逐渐侧重于分数的通分、约分等分数的基本性质的学习，以及运算。

“单位1”对小学生来说是比较不容易理解的抽象概念。故该书安排在Grade3，其引入“Models（模型）”来帮助学生掌握“单位1”的概念（如图4）。并且，在例题中也分别用三角形、四边形等来代表。由于其基本采用的是“规―例”的知识呈现方式，不够直观和明显，我认为类似于此的概念应当使用更加具体形象的图示来呈现，这样才更适应学生的认知情况。

2. 位值和估算。数的理解和数感的培养，离不开对位值知识的理解和掌握，在CM版教科书中有以上的三章是着重于对“位值”概念的理解和实际应用。

Estimate（估算）一词最早出现是在Grade1 Chapter8，其以Key Vocabulary（关键概念）的形式出现。 在学生掌握位值之间的关系之后的巩固练习中，有一题为“Estimate about how many. Circle the answer. （估算并选择答案）”此题结合估算能力的考察，并引入100以内数的大小比较。在对100以内的数的学习中，其重点除了在与对个位（ones）和十位（tens）的意义的理解外，还在于整十的估算（estimating with groups of ten）。如要求以10为一个群组来画圈，并估计总共有多少（如图5）。

由位值的意义学习到100以内数的大小的比较的内容安排来说，其充分考虑上下知识点之间的衔接，做到“位值”知识的承前启后。承前体现在本章的最开始巩固数的位值关系，是对Grade1 Chapter13： Place Value（位值）一章的回忆和深化，夯实基础。启后体现在为Grade3 Chapter1：Place Value and Number Sense（位值和数感）的学习做出铺垫。对100以内数的估算和比较实际上蕴含的就是位值和数感之间的关系。有了本章的学习，在Grade3的学习会更加有条不紊，有利于之后对三位数的学习。

3. 运算与数感。该部分是“数与运算”知识内容的核心部分，主要将其细化为对运算的理解和对运算的熟练化。运算的学习划分为四部分：整数加减法的学习、整数乘除法的学习、分数和小数加减法的学习、分数和小数乘除法的学习。以下是以年级为划分，从以上四个部分的角度和对运算的理解以及对运算的熟练化两个维度来进行分析。

【Grade1】

整数加减法理解，主要通过图示来建立。图6为Grade1 Chapter2在对数的理解的呈现过程，先看图编故事，并用球来表示螃蟹的数量关系。接着引入部分整体板，让学生理解“Part（加数）”和“Whole（和）”的意义。最后用骰子抽象到加法等式和竖式的书写（加法的逆运算――减法，与之同理）。

在对运算策略的学习过程中，其重点强调运算定律的学习和“一题多解”的重要性。培养学生运用多种不同的方法来进行运算，并掌握适合自己的方法。在对12以内的数的计算中其主要呈现的方法有：数数法（count on 1，2 or3）、数轴法（use a number line to add）、倍数法（doubles）。在对20以内的数的加减法策略学习中，重点强调同一结果的不同运算过程和倍数法。

【Grade2】

Grade2在知识的编排上趁热打铁，首先进行加减法运算策略的教学。其重点为交换律，在加/减法的运算策略中，呈现了数轴数数法（count on to add/count back to subtract）；倍数法（doubles/use doubles to subtract）例如：6+6=12、5+5=10；近似倍数法（near doubles）例如：6+6=12+（doubles） 6+7=13（doubles plus1） 6+5=11（doubles minus1）；凑10法（make 10）。变式练习采用：三个数相加如何进行简便运算，其中暗含加法结合律的使用。

对于运算的理解，教材在编排时选择的对象为：整十数的相加（add tens）；凑整为十法（regroup ones to tens），如：27+5=20+10+2=32；只加十位或个位（count on tens and ones），如26+3=29、26+30=56。对三位数的加减法计算强调对运算结果的估算的学习，要求学生在计算三位数的加减法之前进行估算，以此来提升学生数感和对数量关系的把握。在乘法概念的学习中，其由平均分（equal groups）引入，进而建立起乘法与加法之间的联系――重温加法（repeated addition），最后以“数组（Arrays）”这一乘法模型来进行乘法的运算过程演示，同时教授乘法交换律。紧随其后的是除法概念的学习，在该部分的学习中，其主要是在除法与减法之间建立联系，之后通过平均分（find equal share）和与同班进行平均分（equal groups with remainders）两个环节，加深对除法的理解，同时促进学生的合作意识，也为下一章节学习分数做出良好的准备。在本章中并没有出现“九九乘法表”。

【Grade3】

第三册的学习重点为加减法的熟练应用和乘除法运算的进一步理解和熟练应用。

加法的学习重点在运算定律的学习和多位数加法的和的估算。本册书的核心概念中提出：加法交换律、加法结合律的运算定律模型，同时提出计算最优化数学思想；再以具体的情境为题，考察学生的问题解决能力；最重要的是涉及到对多位数加法的和的估算（将加数化为整十整百的数进行运算）；贯穿在其中的一节是专门解决钱的加法问题（add money）；最后是较大数的加法（add greater numbers），也是整部书中四位数的运算第一次被提到。而对于减法的学习，其重点在加减法竖式的验算和多位数减法的差的估算。对乘法概念的理解和Grade1一样，采用“数组”的形式进行，并加入对乘法的应用。依序学习一位数乘以0～10的结果，总结一个10以内的数乘以0～10的结果，并用“乘法表”表示出来，该部分也涉及乘法结合律和交换律的学习。反之，对于除法的学习和应用，其主要是以“平均分”为抓手，力求采取多种计算方法来进行运算，并采取引入乘法和除法的关系来加深学生对“除法是乘法的逆运算”的理解。主要采用的模型是数轴，在整章的学习中涵盖以1～9为除数的除法的计算。 　　【Grade4】

本册书的学习的重点明显由加减法转向乘除法，对于数感的学习也由“数”转向“运算”，内容涉及整数和小数的加减法，重难点是借位减法。对于分数和小数的学习，本册书分别用两个独立的章节。分数学习方面，教材着重强调“单位1”的概念，并用多种例子来呈现（如图7）。

同时，对于通分和约分的学习把握“等值”这一概念，帮助学生理解“分数的分子和分母同时乘以或除以同一个非0的数，分数的大小不变”。教材也将带分数的书写和计算编入，并突出通过数的大小的比较来培训学生的数感。在该部分的练习题中还穿插着一元一次不等式的计算。本书最为重要的是对乘除法的学习，集中于对一位、两位乘数或除数的学习。在准备阶段，其运用数轴和区域图的模型来进行乘法的理解和计算的引入（如图8），接着便是大量的巩固练习。在这基础之上，用“乘法表”强调乘法和除法之间的关系，并借用大量的问题解决题来强化对乘除法的应用。学习上，也对学生提出更高的要求。从内容上看，更倾向于对计算值的估算的学习和对问题解决策略的选择，从Grade4中可以明显的体会到，CM版教材更注重的是学生反复的练习和巩固，以及在问题解决中学会用多种方解决实际问题。鼓励学生运用不同的计算方法进行计算，并选取适合自己的方法掌握，向学生渗透“最优化”的数学思想。

【Grade5】

本册书的重点内容在于分数和小数的加减运算和乘除运算，以及分数和小数直接的转换，还加入对百分数的理解和运用，但在运算部分并不做较高要求。

在小数的加减法中，其主要运用数轴和位值的数学模型学习数的大小比较、用四舍五入的方法进行加减法的估算、将小数加减法运用到问题中解决；对于小数和分数的关系，主要通过将分数条和数轴相对应的方式将分数在数轴上表示出来、强化对通分和约分的理解、对非正常分数（带分数）进行介绍、最重要的是对分数和小数的互换进行重点的练习。本章的学习中，异分母分数（含带分数）的相加减是一个重难点，图9为异分母分数加法的模型，通过分数条和通分的方法来计算；同样的，对于分数与小数的乘除法，其主要也是采用引入模型的方法来教学，之后运用大量的例习题来巩固运用。并且在分数和小数乘除法的学习过程中，重点强调计算过程中对计算结果估计的重要性。

总的来说在“数与运算”部分教材内容的选取上，我们可以总结出――下几个特点：①内容选取上：对数的理解选择常见的万以内的自然数、分数、小数、百分数，运算主要针对数的加减运算和乘除运算；②强调对数的整体感知、对数的性质的理解、不同数的不同使用场所、数与数之间的相互转化；③教材编排中，倾向于学生位值的理解、对数大小的比较和估算在数的理解中的重要作用；④数的运算的学习，也是由浅入深，层层递进：由整数到分数、小数，由加减法到乘除法，由1位数之间的计算到多位数的计算；⑤大量运用数轴、矩阵、分数条等数学模型，加深对数的理解和对运算的掌握，强调对运算结果估算的重要性；⑥计算过程中，强调对结果的估算。

CM版教材的编写重点在提升学生对数学的理解能力上。虽然应用类的题目所占比重并不很高，但是“问题解决三部曲”模块很好地弥补了这一漏洞，甚至可以说是锦上添花。开放性问题的比重也很小，但Grade3-Grade5每一章都至少有一道开放性题目。足以见得，开放性题目的不可替代的地位。单纯的从运算的角度来说，该教材对一步运算和无运算十分重视，对二步及以上的运算要求极低，从这个角度来说，CM版教材对运算的难度略低于我国。笔者还发现，各个章节中的无运算的题目中，除了对概念的考察之外，重要的是对“估算”技能的考察，在习题的编写过重中也十分重视对“数感”的培养。

四、CM版教材编写的总体特点概述

通过分析，我们看到在CM版严格按照《原则和标准》的要求，循序渐进地安排学习内容。在此基础之上，结合学生认知发展水平和理解水平的发展规律进行教学内容的编排，并且相同维度的学习内容在不同年级都有出现（详见附录一）。例如，Grade2-Grade4中都有“Fractions（分数）”。显而易见的，在不同的学习阶段，其所学的内容和难度逐步提升，根据各阶段儿童知识和能力的发展水平也提出不同的标准，从而呈现一种“螺旋式上升”趋势，符合布鲁纳“螺旋式课程编写”的思想。这些学科的基本知识随着学生年龄的增长不断的拓展深化，能够更有效地把握学生的最近发展区，促进学习能力的提升。

CM版教材的习题类型丰富多样，正式课文中的例题和随堂练习的图片丰富，用色鲜亮。课后的检测练习中则是以题目为主，配图较少，色调以简单的绿色、或黑白灰为主。整体上将授课内容和练习模块明显的区分出来，对比鲜明。教材很重视“数感”的培养和提升学生对数学概念的理解能力、问题解决的技能。

CM版教材的编排虽然整体框架结构复杂，但逻辑清晰，模块分明。最重要特征在于顺序性、整体性、协调性。而顺序性不仅仅体现在其知识内容再选取过程的循序渐进上，同时也体现在其在教材的编写过程中各个环节的布局。整个章节的环节安排环环相扣，有利于知识的掌握和学习。

通过对CM版教材编写特点的分析与总结，笔者体会到：一本精心编写的教材就是一本不会说话的老师，是学习过程中十分重要的工具。当下，“教师与教科书”的关系已经超出传统的教师仅仅用教科书教书的含义，更多的是将教科书作为教学资源，综合利用各种课程资源进行有效且高效的教学。不可否认的，教科书在我国的教育过程中发挥着举足轻重的作用，尤其是教育资源匮乏的边远地区，教课书甚至成为唯一的教育资源。作为一名教师，我们应心怀感恩的对待我们手中的教材，尽己所能的去认识它，读懂它，运用它。这样才能让无声的教材有声，让知识成为力量！