函数的概念
中小学1对1课外辅导专家
龙文教育学科教学案
教师:李鹏贞学生: 日期:______ 星期: ____时段: ______
教导主任签字: ___________
龙文教育教务处
Li1解 ①f (x ) =(x -1) 0的定义域为{x |x ≠1},
g (x ) =1的定义域为实数集R ,它们定义域不同,所以它们不表示同一函数;
②f (x ) =x 的值域是R ,g (x ) =x 的值域是[0,+∞) ,它们的值域不同,所以它们不表示同一函数;
③f (x ) =x 2与f (x ) =(x +1) 2的对应关系不同,所以它们不表示同一函数;
④f (x ) =|x |与g (x ) =x 的定义域都为实数集R ,值域都为[0,+∞) ,对应关系相同,所以它们是同一函数.
Li2解 (1)f (2)=4+2-1=5.
1⎫⎛1⎫2⎛1⎫(2)f ⎛⎝x 1⎭=⎝x +1⎭+⎝x +1⎭-1 13=1. x x
(3)f (x ) =5,即x 2+x -1=5.
由x 2+x -6=0,得x =2或x =-3.
⎧x +1≥0⎧x ≥-1⎪⎪Li3解 (1)依题意,⎨⇒⎨, ⎪⎪2-x ≠0x ≠2⎩⎩
1∴函数f (x ) x +1+{x |x ≥-1且x ≠2}. 2-x
⎩ ⎧⎧⎪⎪|x -2|+2≥0⎨(2)依题意,⇒⎨7⎪3x +7≠0x ≠-⎩⎪ x ∈R 3
∴函数y |x -2|+2+7⎫⎧⎨x |x ∈R ,x ≠-⎬. 3⎭⎩13, 的定义域为 3x +7
⎧⎪x +1≠0(3)依题意,⎨,得x 0
故定义域为(-∞,-1) ∪(-1,0) .
(4)∵函数f (x ) 的定义域为[2,3],故2≤x ≤3.
由2≤x +2≤3,得0≤x ≤1,∴f (x +2) 的定义域为[0,1].
(5)∵函数f (x +3) 的定义域为[-5,-2],
即-5≤x ≤-2,∴-2≤x +3≤1,
⎧⎪-2≤x +1≤1∴⎨, ⎪-2≤x -1≤1⎩
得F (x ) =f (x +1) +f (x -1) 的定义域为[-1,0].
Li4错解 函数的定义域为R ,即k 2x 2+3kx +1≠0对任意的实数x 恒成立,∴Δ=9k 2-4k 2
错因分析 本题忽视了k =0的讨论,误认为k 2x 2+3kx +1一定是二次函数. 正解 问题转化为:求使k 2x 2+3kx +1≠0成立的k 的值.
-8(1)k =0时,y =8,定义域为R ,∴k =0符合题意. 1
2(2)k ≠0时,k >0,
∴k 2x 2+3kx +1≠0,即Δ=9k 2-4k 2
2kx -8综上,k =0时函数y R . k x +3kx +1
Kao1解析 要使函数有意义,需
⎧⎧⎪x (x -1) ≥0,⎪x ≥1或x ≤0,⎨解得⎨ ⎪x ≥0,⎪x ≥0. ⎩⎩
∴函数的定义域为{x |x ≥1}∪{0}.
答案 C
x 211Kao2解析 y ==1-,由x 2+1≥1,得0
11∴-1≤-,∴0≤1-
∴值域为[0,1).
答案 [0,1)
Zi1答案 B
解析 函数的定义域和值域可能是有限集,也可能是无限集,但不能是空集,故选B. Zi2答案 B
解析 B 中的图象与垂直于x 轴的直线可能有两个交点,显然不满足函数的定义,故选
B.
Zi3答案 D
解析 A ,B 中两函数的定义域不同,C 中的两个函数对应关系不同,故选D. Zi4答案 B
解析 选项A 、C 都是整式函数,符合题意,选项D 中,对任意实数x 都成立. Zi5答案 D
解析 A 、B 不满足存在性,C 不满足任意性.
C .[-4,-2] D .[2,4]
Zi6答案 B
⎧⎪-2≤x ≤4解析 由⎨,可得-2≤x ≤2. ⎪-2≤-x ≤4⎩
11Zi7解 (1)f (2)==,g (a ) =a 2+2; 1+23
1⎫2119(2)f (2)g [f (2)]=⎛+2 ⎝3⎭39
11f [g (x )]=f (x 2+2) =. 1+(x +2) 3+x
Zi8解 由已知得⎨⎧0
用数轴法,讨论(1)当a =0时,x ∈(0,1];
1(2)当a ≤-时,x ∈∅,即函数不存在; 2
1(3)a
自主学案
例1解(1)对于任意一个非零实数x,
2这个函数也可以表示为f (x ) =x ≠0) . x
1例2解 (1)函数y =3-x 的定义域为R ; 2
⎧⎧1-x ≥0,⎪x ≤13(2)要使函数有意义,需⎨⇔⎨⇔x ≤1且x ≠0,所以函数y =⎪x ≠011-x ⎩⎩11-x ≠022被x 为以确定,所以当x ≠0时,x →是函数,x x
的定义域为{x |x ≤1且x ≠0}=(-∞,0) ∪(0,1];
⎧⎪-x ≥0,(3)要使函数有意义,需⎨2 ⎪2x -3x -2≠0⎩
x ≤0,⎧⎪1⇔⎨1⇔x ≤0且x ≠2. ⎪⎩x ≠2且x ≠-2
-x 故函数y = 2x -3x -2
1⎫11⎧⎨x |x ≤0且x ≠=⎛-∞,-⎫∪⎛-0⎤; 2⎭⎝2⎭⎝2⎦⎩
2x +3≥0,⎧⎪(4)要使函数有意义,需⎨2-x >0,
⎪⎩x ≠0.
3解得-x
所以函数y =2x +3- 11 2-x x
33⎧⎫⎨x |-≤x
例3解 (1)f (x ) 的定义域为R ,g (x ) 的定义域为{x |x ≥0},两个函数的定义域不同,故不是同一函数.
(2)g (x ) =x =|x |,两个函数对应关系不同,故不是同一函数.
(3)g (x ) =x ,两者的定义域和对应关系相同,故是同一函数.
(4)f (x ) 的定义域为(-∞,2) ∪(2,+∞) ,g (x ) 的定义域为R ,故不是同一函数. 例4解 (1)函数的定义域为A ={0,1,2,3},分别令x =0,1,2,3得相应的函数值分别为0,-1,0,3,于是知,函数的值域为{-1,0,3}.
11(2)f (0)=1,f (1),f (2)=. 25
容易看出,这个函数当x =0时,取得最大值,当自变量x 的绝对值逐渐变大时,函数值逐渐变小并无限接近于0,但永远不会等于0.
1⎧⎫从而可知,这个函数的值域为⎨y |y =x +1,x ∈R ⎬=(0,1]. ⎩⎭